G�om�trie, fonction exponentielle, fonction logarithme et convexit�, bac Am�rique du Nord 2021.

On consid�re le cube suivant. I est le milieu du segment [EF] ; J est le milieu du segment (BC] ; K est le milieu du segment [AE].

1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parall�les ? Justifier.
A(0 ; 0 ; 0) ; I( 0,5 ; 0 ; 1).
Coordonn�es d'un vercteur directeur de la droite (AI) : 0,5 ; 0 ; 1.
K( 0 ; 0 ; 0,5 ) ; H(0 ; 1 ; 1)
Coordonn�es d'un vercteur directeur de la droite (KH) : 0 ; 1 ; 0,5.
Les vecteurs directeurs de ces droites n'�tant pas colin�aires, les droites (AI) et (KH) ne sont pas parall�les.
2. a. Donner les coordonn�es des points I et J.
I( 0,5 ; 0 ; 1) ; J( 1 ; 0,5 ; 0).
b. Montrer que les vecteurs suivants sont coplanaires.
E(0 ; 0 ; 1) ; C( 1 ; 1 ; 0).

L'un des vecteurs est une combinaison lin�aire des deux autres : ces vecteurs sont donc coplaniares.
On consid�re le plan P d'�quation x +3y -2z +2=0 ainsi que les droites d₁ et d₂ d�finies par leurs repr�sentation param�triques respectives :
x = 3+t ; y = 8-2t ; z = -2+3t.
x = 4+t ; y = 1+t ; z = 8+2t ; t r�el.
3. Ces droites sont-elles parall�les ? Justifier.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite d₁ : 1 ; -2 ; 3.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de la droite d₂ : 1 ; 1 ; 2.
Les vecteurs directeurs de ces droites n'�tant pas colin�aires, les droites ne sont pas parall�les.
4. Montrer que la droite d₂ est parall�le au plan P.
Dans l'hypoth�se o� le plan P et la droite d₂ sont s�cants, les coordonn�es du point d'intersection v�rifient :
x +3y -2z +2=0 et x = 4+t ; y = 1+t ; z = 8+2t .
4+t +3(1+t) -2(8+2t) +2 = 0.
-11+0 t =0, c'est impossible.
L'hypoth�se est rejet�e ; le plan P et la droite d₂ sont parall�les.
5. Montrer que le point L(4 ; 0 ; 3) est le projet� orthogonal du point M(5 ; 3 , 1) sur le plan P.
Coordonn�es d'un vecteur normal au plan P : (1 ; 3 ; -2).
Coordonn�es du vecteur ML : (1 ; 3 ;-2).
Ces deux vecteurs sont donc colin�aires.
L appartient-il au plan P ?
Si L appartient au plan P : x_L +3y_L -2z_L +2=0.
4 +3*0-2*3+2=0 est v�rifi�.
Le point L(4 ; 0 ; 3) est donc le projet� orthogonal du point M(5 ; 3 , 1) sur le plan P.

Fonction exponentielle, convexit�.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Justifier.
Affirmation 1. Pour tout r�els a et b, (e^a+e^b)² = e^2a+e^2b. Faux.
(e^a+e^b) (e^a+e^b) =e^a .e^a +e^a .e^b +e^b .e^a +e^b .e^b =e^a+a +2e^a+b +e^b+b .
Affirmation 2. Dans le plan muni d'un rep�re, la tangente au point A d'abscisse 0 � la courbe repr�sentative de la fonction f d�finie sur R par f(x) =-2+(3-x)e^x admet pour �quation r�duite y = 2x+1. Vrai.
Calcul de f '(x) en posant u = 3-x et v = e^x ; u' = -1 ; v' = e^x.
f '(x) = u'v+v'u = -e^x +(3-x)e^x= (2-x)e^x.
Coefficient directeur de la tangente � la courbe en x=0 : f '(0) = 2.
Le point de coordonn�es (0 ; f(0) soit (0 ; 1) appartient � la tangente.
Equation de la tangente : y = 2x +b ; 1 =2*0+b ; y = 2x+1.

Affirmation 3. La limite en plus l'infini de e^2x-e^x+3/x est �gale � z�ro. Faux.
e^2x(1-1/e^x+3/(xe^2x)).
En plus l'infini : 1/e^xet 3/(xe^2x) tendent vers z�ro ; e^2x tend vers plus l'infini.

Affirmation 4. L'�quation 1-x+e^-x =0 admet une seule solution appartenant � [0 ; 2]. Vrai.
Soit f(x) = 1-x+e^-x ; f '(x) = -1-e^-x.
f '(x) est n�gaitivesur [0 ; 2] ; f (x) est strictement d�croissante sur cet intervalle de f(0 )=2 � f(2) =-1+e^-2 ~-0,86.
D'apr�s le th�or�me de la bijection, l'�quation f(x) = 0 poss�de une seule solution sur [0 ; 2].

Affirmation 5. La fonction g d�finie sur R par g(x) = x²-5x+e^x est convexe. Vrai.
g'(x) = 2x-5+e^x.
g"(x) =2+e^x >0.
La d�riv�e seconde �tant positive sur R, la fonction est convexe.