Math�matiques, DNB Asie Pacifique 2021.

Exercice 1 24 points
Pour chacun des six �nonc�s suivants, �crire sur la copie le num�ro de la question et la r�ponse choisie.
Il ya une seule r�ponse correcte par �nonc�.
On rappelle que toutes les r�ponses doivent �tre justifi�es.
1) Le nombre 126 a pour diviseur 252 ; 20 ; 6 vrai.
126 / 6 = 21.
2) On consid�re la fonction f d�finie par : f (x) = x² −2.
L’image de 2 par f est -2. Faux. f(2) = 2²-2 = 2.
f(-2) =0. Faux. f(-2) = (-2)²-2 =4-2= 2.
f(0) = -2. Vrai. f(0) = 0²-2 = - 2.
3) Dans la cellule A2 du tableur ci-dessous, on a saisi la formule
= −5*A1*A1+2*A1−14
puis on l’a �tir�e vers la droite.

Quel nombre obtient-on dans la cellule B2 ? -65 vrai ; 205 ; 25.
-5 x(-3)²+2x(-3)-14= -45-6-14= -65
4) Les solutions de l’�quation x² = 16 sont . . .
-8 et 8 ; -4 et 4 vrai ; -32 et 32.
x = � racine carr�e (16).
5) 2�2⁴⁰⁰ est �gal � . . .2⁴⁰¹ vrai ; 4⁴⁰⁰ ; 2⁸⁰⁰.
2^(400+1) = 2⁴⁰¹.

6) La largeur et la hauteur d’une t�l�vision suivent le ratio 16 : 9. Sachant que la hauteur de cette t�l�vision
est de 54 cm, combien mesure sa largeur ?
94 cm ; 96 cm vrai ; 30,375 cm .
L / h = 16 / 9.
Si h = 54 cm, L = 54 x16 / 9 = 96 cm.
54 / 16 x 9 =30,375 cm.

Exercice 2 (21 points)
Le quadrilat�re ABCD est un carr� de c�t� de longueur 1 cm. Il est not� carr� ①.
Les points A, B, E et H sont align�s, ainsi que les points A, D, G et J.
On construit ainsi une suite de carr�s (carr� ① carr� ②, carr� ③, . . . ) en doublant la longueur du c�t� du carr�, comme illustr� ci-dessous pour les trois premiers carr�s.
La figure n’est pas en vraie grandeur.

1. Calculer la longueur AC.
Diagonale du carr� de c�t�1 : AC = racine carr�e (2) = 2^� ~1,414 cm.
2. On choisit un carr� de cette suite de carr�s.
Aucune justification n’est demand�e pour les questions 2. a. et 2. b.
a. Quel coefficient d’agrandissement des longueurs permet de passer de ce carr� au carr� suivant ?
Coefficient :multipli� par 2.
b. Quel type de transformation permet de passer de ce carr� au carr� suivant ?
sym�trie axiale, homoth�tie, rotation, sym�trie centrale, translation.
Homoth�tie de centre A et de rapport 2.
c. L’affirmation � la longueur de la diagonale du carr� ③ est trois fois plus grande que la longueur de la diagonale du carr� ①� est-elle correcte ?
Faux : AI = 2 AF = 4 AC.
3. D�terminer, � l’aide de la calculatrice, une valeur approch�e de la mesure de l’angle AJB au degr� pr�s.
tan ( AJB) = AB / AJ = 1 / 4 = 0,25 ; mesure de cet angle : ~14�.

Exercice 3 (21 points)
Voici un algorithme :

1. Justifier que si on choisit le nombre N de d�part �gal � 18, le r�sultat final de cet algorithme est 28.
18 >15 oui.
100-18 x 4 = 28.
2. Quel r�sultat final obtient-on si on choisit 14 comme nombre N de d�part ?
14 < 15.
2x(14+10) =48.
3. En appliquant cet algorithme, deux nombres de d�part diff�rents permettent d’obtenir 32 comme r�sultat final. Quels sont ces deux nombres ?
Soient x et y ces deux nombres.
x > 15 : r�sultat :100-4x = 32.
4x = 100-32 ; x = 68 / 4 ; x = 17.
y < 15 : r�sultat : 2(y+10)=32.
2y +20 = 32.
2y = 12 ; y = 6.

4. On programme l’algorithme pr�c�dent :

a. Recopier la ligne 3 en compl�tant les pointill�s :
ligne 3 : si r�ponse > 15 alors
b. Recopier la ligne 6 en compl�tant les pointill�s :
ligne 6 : dire 2*(r�ponse +10) pendant 2 secondes.
5. On choisit au hasard un nombre premier entre 10 et 25 comme nombre N de d�part.
Quelle est la probabilit� que l’algorithme renvoie un multiple de 4 comme r�sultat final ?
Nombres premiers possibles :11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23.
N = 11 : r�sultat : 2(11+10)=42 ; ce n'est pas un multiple de 4.
N = 13 : r�sultat : 2(13+10)=46 ; ce n'est pas un multiple de 4.
N = 17 : r�sultat :100 -4 *17 = 32, multiple de 4.
N = 19 : r�sultat :100 -4 *19 = 24, multiple de 4.
N = 23 : r�sultat :100 -4 *23 = 8, multiple de 4.
3 possibilit�s sur 5 ; la probabilit� d'obtenir un multiple de 4 est 3 / 5 = 0,6.