Math�matiques,
DNB Centres �trangers 2021.
Dur�e 2 heures ;
not� sur 100 points.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
..
..
|
.
.
|
..
..
......
...
|
Exercice
1. 24 points.
1. D�composer 360 en produit de facteurs premiers.
360 = 23 x32 x5.
2. A partir du triangle BEJ, rectangle isoc�le en J, on a obtenu par pavage la figure suivante :
a. Quelle est l'image du triangle BEJ par la sym�trie d'axe (BD) ?
Triangle BJF.
b. Quelle est l'image du triangle AMH par la translation qui transforme le point E en B ?
Triangle EFM.
c. Par quelle transformation passe t-on du triangle AIH au triangle AMD ?
Homoth�tie de centre A et de rapport 2.
3. Calculer en d�taillant.
4. Sachant que le diam�tre de la lune est d'environ 3474 km, la valeur qui approche le mieux son volume est :
12,3 1017 km3 ; 1 456 610 km3 ; 18 1011 km3 ; 2,2 1010 km3 .Vrai.
Rayon = R =3474 / 2 = 1737 km
Volume V = 4 /3 p R3 =4 / 3 x3,14 x17373~ 2,2 1010 km3 .
5. On consid�re un
triangle RST rectangle en S. Compl�ter le tableau. ( Arrondir la valeur des angles � l'unit� ).
tan a = RS / TS = 10 / 24 = 0,417 ; a ~23�.
� = 90-23 ~67�.
P�rim�tre : 10 +24 +26 =60 mm.
Aire : RS x ST / 2 = 10 x 24 / 2 = 120 mm2.
6. Un rectangle ABCD a pour longueur
160 cm et pour largeur 95 cm.
Les diagonales mesurent exactement 186 cm. Faux.
Diagonale2 = longueur2 + largeur2= 1602
+952 =34625.
Les diagonales mesurent environ 186,077 cm.
Exercice
2. (21 points).
Partie 1.
On lance un d� �quilibr� � 6 faces et on note le num�ro de la face du dessus.
1. Donner les issues possibles.
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
2. Quelle est la probabilit� de l'�v�nement A : " on obtient 2".
P(A) = 1 / 6.
3. Quelle est la probabilit� de l'�v�nement B : " on obtient un nombre impair".
3 cas facorables ( 1 ; 3 ; 5) sur 6 vas possibles.
P(B) = 0,5.
Partie 2.
On lance simultan�ment 2 d�s �quilibr�s � six faces, un rouge et un
vert. On appelle "score" la somme des num�ros obtenus sur chaque d�.
1. Quelle est la probabilit� de l'�v�nement C " le score est 13" ? Comment qualifie-t-on cet �v�nement ?
Le score maximum est 6 +6 = 12.
P(C) = 0 ; �v�nement impossible.
2. Dans le tableau � double entr�e, on remplit chaque case avec la somme des num�ros obtenu sur chaque d�.
Compl�ter le tableau et donner la liste des scores possibles
Scores possibles : 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12.
3.a D�terminer la probabilit� de l'�v�nement D : le score est 10".
3 cas favorables sur 36 possibles.
P(D) = 3 /36 = 1 /12.
b. D�terminer la probabilit� de l'�v�nement E : le score est un multiple de 4".
Multiples de 4 : 4 ; 8 ; 12.
9 cas favorabmes sur 36 possibles.
P(E) = 9 / 36 = 0,25.
c. D�montrer que le score obtenu a autant de chance d'�tre un nombre premier qu'un nombre strictement plus grand que 7.
Nombres premiers : 2 ; 3 : 5 ; 7 et 11 : 15 possibilit�s.
Nombres strictement sup�rieurs � 7 : 8 ; 9 ; 10 ; 11 et 12 : 15 possibilit�s.
La probabilit� est la m�me est vaut 15 / 36 = 5 /12.
|
|
....
|
Exercice 3. (16 points).
Un professeur propose � ses �l�ves trois programmes de calculs, dont 2 sont r�alis�s avec un logiciel de programmation.
1.a Montrer que si on choisit 1 comme nombre de d�part, le programme A affiche : on obtient 3.
Soit x le nombre initial :
r�sultat = 3 (1+x) -3 =3x ; si x = 1, r�sultat = 3.
b. Montrer que si on choisit 2 comme nombre de d�part, le programme B affiche : on obtient -15.
Soit x le nombre initial :
r�sultat = (3+x) (x-5) ; si x = 2, r�sultat = -15.
2. Soit x le nombre de d�part, qu'elle expression obtient-on � la fin de l'�x�cution du programme C ?
7x+3-x=6x+3.
3. Un �l�ve affirme qu'avec un des trois programmes on obtient toujours le triple du nombre choisi. A-t-il raison ?
A : r�sultat = 3(1+x-1) =3x. Vrai.
B : r�sultat = (3+x) (x-5)
C : r�sultat = 3(2x+1).
4.a R�soudre (x+3)(x-5) =0.
x+3 = 0 soit x = -3.
x-5=0 soit x = 5.
b. Pour quelles valeurs de d�part le programme B affiche-t-il z�ro ?
B affiche z�ro si le nombre de d�part est 5 ou -3.
5. Pour quelle(s) valeur(s) de d�part le programme C affiche-t-il le m�me r�sultat que le programme A ?
3x=6x+3 ; 3x+3=0 ; x =-1.
Exercice 4. 19 points.
Aur�lie est partie de l'altitude 251 m et arrive au sommet du col � l'altitude 393 m.
Les droites (AB) et (DB) sont perpendiculaires. Les droites (AC) et
(CE) sont perpendiculaires. Les points A, D et E sont align�s. Les
points A, B et C sont align�s. AD = 51,25 m ; DB = 11,25 m.
1. Justifier que CE = 142 m.
EC =393 -251 = 142 m.
2.a. Montrer que les droites (DB) et (EC) sont parall�les.
Les droites (DB) et (EC) �tant toutes deux perpendiculaires � la droite (AC), elles sont donc parall�les.
b. Montrer que DE ~596 m.
Les triangles ADB et AEC sont semblables :
EC / DB = AE / AD.
AE = EC x AD / DB = 142 x 51,25 / 11,25 =648,9.
DE = AE -AD = 648,9 - 51,25 =595,6 ~596 m.
3. Aur�lie roule � une vitesse moyenne de 8 km / h ; si elle part � 9h55 du point D, � quelle heure arrivera-t-elle au point E ?
8 /3,6 ~2,222 m /s.
596 /2,222 =268 s ou 4,47 min environ 4 min 28 s.
4. La pente d'une route se calcule de la mani�re suivante :
pente = d�nivel� / longueur horizontale parcourue.
Montrer que la pente de cette route est de 22 %.
Pente = BD / AB.
AB2 = AD2-BD2 =51,252 -11,252 = 2500 ; AB = 50 m.
11,25 / 50 =0,225 ( 22,5 %).
Exercice 5. (20 points).
Une station de ski propose � ses clients trois formules pour la saison d'hiver.
A : 36,50 € par jour de ski.
B : abonnement 90 € pour la saison + 18,50 € par jour de ski.( ski plus).
C : 448,50 € pour toute la saison ( ski total).
1. Compl�ter le tableau suivant :
Nombre de jours de ski
|
2
|
6
|
10
|
Formule A
|
73
|
36,5 x6=219
|
365
|
Formule B
|
127
|
90+6 x18,5=201
|
90+185=275
|
Formule C
|
448,50
|
448,50 |
448,50 |
2. On d�signe par x le nombre de jours de ski.
f(x) = 90 +18,5 x ; g(x) = 448,5 ; h(x) = 36,5 x.
a. La quelle des trois repr�sente une relation de proportionnalit� ?
h(x) = 36,5 x.
b. Associer chaque fonction aux formules A, B, C.
A : h(x) ; B : f(x) ; C : g(x).
c. Calculer le nombre de jours de ski pour lequel le montant � payer avec les formules A et B est identique.
36,5 x = 90+18,5 x.
18x=90 ; x =90 / 18 = 5.
3. On a repr�sent� graphiquement les trois fonctions.
a. Associer � chaque droite la bonne fonction.
b. Avec un budget de 320 €, pendant combien de jour peut-on skier ?.
A partir de combien de jours de ski, la formule C est-elle la plus avantageuse ?
|
|
