Math�matiques,
brevet M�tropole, La R�union 2020.
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Exercice
1. QCM 20 points.
1. On donne la s�rie de nombres suivante :10 ; 6 ; 2 ; 14 ; 25 ; 12 ; 22.
La m�diane est :12 ; 13 ; 14.
Ranger les nombres par ordre croissant : 2 ; 6 ; 10 ; 12 ; 14 ; 22 ; 25.
La m�diane est le quatri�me nombre soit 12.
2.
Un sac opaque contient 50 billes bleues, 45 rouges, 45 vertes et 60
jaunes. Les billes sont indiscernables au toucher. On tire une bille au
hasard dans ce sac. La probabilit� que cette bille soit jaune est :60 ;
0,3 ; 1 /60.
60 cas favorables sur 200 possibles ; probabilit� de tirer une bille jaune : 60 / 200 = 30 / 100 = 0,3.
3. La d�composition de 2020 en facteurs premiers est :
2 x 10 x101 ; 5 x 5 x101 ; 2 x 2 x 5 x 101.
4. La formule qui permet de calculer le volume d'une boule de rayon R est : 2pR ; pR2 ; 4 / 3 pR3.
5. Une homoth�sie de centre A et de rapport -2 est une transformation qui :
agrandit les longueurs ; r�duit les longueurs ; conserve les longueurs.
Exercice
2. 20 points.
On consid�re le programme de calcul suivant :.
Choisir un nombre.
Ajouter 7 � ce nombre.
Soustraire 7 au nombre de d�part.
Multiplier les deux r�sultats pr�c�dents.
Ajouter 50.
1. Montrer que si le nombre choisi au d�part est 2, alors le r�sultat obtenu est 5.
2+7 =9 ; 2-7=-5 ; -5 x9 = -45 ; -45+50 = 5.
2. Quel est le r�sultat obtenu si le nombre de d�part est -10 ?
-10+7 = -3 ; -10-7=-17 ; -3 x(-17) =51 ; 51 +50 = 101.
3. Un �l�ve
s'aper�oit qu'en calculant le double de 2 en ajoutant 1, il obtient 5,
le m�me r�sultat que celui qu'il a obtenu � la question 1.
Il pense que le programme de calcul revient � calculer le double du nombre de d�part et � ajouter 1. A-t-il raison ?
-10 x2 = -20 ; -20 +1 = -19 diff�rent de 101. Il a donc tord.
4 Si x est le nombre de d�part, montrer que le r�sultat du programme de calcul est x2+1.
Soit x le nombre de d�part :(x+7) (x-7) +50 = x2-49+50 = x2+1.
b. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au d�part du programme de calcul pour obtenir 17 comme r�sultat.
x2+1 =17 ; x2 = 16 ; x = �4.
Exercice 3. 23 points.
Une entreprise fabrique des portiques pour installer des balancoires sur des aires de jeu.
ABC est un triangle isoc�le en A. H est le milieu de [BC]. (MN) et (BC) sont parall�les.
1. D�terminer la hauteur AH du portique, arrondie au cm pr�s.
AB2 =AH2+BH2.
AH2 =3422-(290 / 2)2 =95939 ; AH~310 cm.
2. Les barres de maintient doivent �tre fix�es � 165 cm du sommet (AN = 165 cm). Montrer que MN ~140 cm.
Les triangles ABC et AMN sont semblables.
AC / AN = BC / MN ; MN = BC . AN / AC=290 x 165 / 342~140 cm.
3. Montrer que le co�t minimal d'un tel portique s'�l�ve � 196,98 €.
Une poutre en bois de diam�tre 100 mm, de longueur 4 m : 12,99 €.
4 poutres en bois de diam�tre 100 mm, de longueur 3,5 m : 4 x11,75 =47 €.
Deux barres de maintien lat�rales en bois de longueur 1,5 m :( une barre de 3 m coup�e en deux ) 6,99 €.
Ensemble des fixations : 80 €.
Deux balancoires : 50 €.
Total : 196,98 €.
4. L'entreprise veut vendre ce portique �quip� 20 % plus cher que son co�t minimal. D�terminer ce prix de vente.
196,98 x1,20 = 236,38 €.
5. Pour des raisons de s�curit�, l'angle BAC doit �tre compris entre 45� et 55�. Ce portique respecte t-il cette condition ?
sin BAH = BH / AB = 145 / 342 =0,424 ; l'angle BAH vaut environ 25 �.
L'angle BAC vaut 25 x2 = 50 �. La condition est respect�e.
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Exercice 4. 23 points.
Une association propose diverses activit�s pour occuper les enfants pendant les vacances. Plusieurs tarifs sont propos�s.
Tarif A : 8 € la demi-journ�e.
Tarif B : une adh�sion de 30 € donnant droit � un tarif pr�f�rentiel de 5 € par demi-journ�e.
Un fichier sur tableur a �t� pr�par� pour calculer le co�t � payer en
fonction du nombre de demi-journ�es d'activit�s pour chacun des tarifs.
1. Compl�ter le tableau.
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A
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B
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C
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D
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E
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F
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1
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Nombre de demi-journ�es
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1
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2
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3
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4
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5
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2
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Tarif A
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8
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16
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24
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32
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40
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3
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Tarif B
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35
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40
|
45
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50
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55
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2. Retrouver parmi les r�ponses suivantes la formule qui a �t� saisie dans la cellule B3 avant de l'�tirer vers la droite.
=8*B1 ; =30*B1+5 : =5*B1+30*B1 ; =30+5*B1 ; =35.
3. On consid�re les fonctions f et g qui donnent les tarifs � payer en fonction du nombre x de demi-journ�es d'activit�s.
Tarif A :f(x) = 8 x ; tarif B : g(x) = 30 +5x.
Quelle est celle qui traduit une situation de proportionnalit� ?
f(x) = 8 x traduit une situation de proportionnalit�.
4. Repr�senter la fonction f sur le graphique suivant. La fonction g a �t� repr�sent�e.
5. D�terminer le nombre de demi-journ�es d'activit�s pour lequel le tarif A est �gal au terif B.
30+5x = 8x ; 30 = 3x ; x = 10.
6. Avec un budget de 100 €, d�terminer le nombre maximal de demi-journ�es auquelles on peut participer.
Tarif A : 100 / 8 = 12,5 soit 12 demi-journ�es.
Tarif B : 100-30 = 70 ; 70 / 5 = 14 demi-journ�es.
Exercice 5. 14 points.
On cherche � dessiner une �olienne avec le logiciel Scratch ; elle est form�e de 3 pales qui tournent autour dun axe central.
La figure ci dessous repr�sente une pale.
DEC est un triangle isoc�le en D ; B est le milieu de [EC] ; [AB] est perpendiculaire � [EC].
1.a Montrer que l'angle ECD est �gal � 10�.
Somme des angles d'un triangle : 180� = 85� +85� + angle ECD ; l'angle ECD mesure 10 �.
b. Le script "pale" permet de tracer une pale.
Pourquoi la valeur indiqu�e dans le bloc de la ligne 6 est-elle 95 ?
180�-85� = 95�.
c. Par quelle valeur doit-on compl�ter la ligne 8 ?
180-10=170�.
2. Dans le script �olienne, par quelle valeur doit-on compl�ter la boucle " r�p�ter" ?
Il faut r�p�ter 3 fois la boucle pour dessiner 3 pales.
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