Math�matiques, brevet Polyn�sie 2020.

Math�matiques, brevet Polyn�sie 2020.

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Exercice 1. 22 points.
Programme de calcul :
Choisir un nombre de d�part.
Ajouter 2 � ce nombre.
Elever au carr� le r�sultat.
1. Quel nombre obtient-on si on choisit -7 comme nombre de d�part ?
-7+2 = -5 ; (-5)²=25.
2. D�velopper et r�duire l'expression (2x-3)(4x+1).
8x²+2x-12x-3 =8x²-10x-3.
3. Sur la figure suivante, les droites (AB) et (DE) sont parall�les. Les points A, C et D sont align�s. Les points B, C et E sont align�s. Calculer la longueur CB.

Relation de Thal�s : BC / CE = AC / CD ; BC / 1,5 =3,5 / 1 ; BC = 1,5 x 3,5 =5,25 cm.

4. Un article co�te 22 €. Son prix baisse de 15 %. Quel est son nouveau prix ?
100-15 = 85 ; coefficient multiplicateur : 0,85.
22 x 0,85 =18,7 €.

5. On donne les salaires mensuels des employ�s d'une entreprise. D�terminer le salaire m�dian et l'�tendue des salaires.

Salaire mensuel ( € )
1300
1400
1500
1900
2000
2700
3500

Effectif
11
6
5
3
3
1
1

Effecti total : 30 ; 30 / 2 = 15.
Le salaire m�dian est le 15^� salaire soit 1400 €.
L'�tendue est : 3500-1300=2200 €.

6. Quel est le plus grand nombre premier qui divise 41 895 ?
41 895 = 3 x 3 x 5 x 7 x 7 x19.
R�ponse : 19.

Exercice 2. 15 points.
On souhaite r�aliser une frise compos�e de rectangles. On �crit le programme ci-dessous..

1. Quelles sont les coordonn�es du point de d�part du trac� ?
x = 0 ; y = 40.
2. Combien de rectangles sont dessin�s par le script principal ?
5 rectangles.
3. Dessiner � main lev�e la figure obtenue avec le script principal.

4.a Sans modifier le script principal, on a obtenu la figure ci-dessous compos�e de rectangle de longueur 40 pixels et de largeur 20 pixels. Proposer une modification du bloc rectangle pour obtenir cette figure.

R�p�ter 2 fois
Avancer de 20.
Tourner de 90� dans le sens des aiguilles d'une montre.
Avancer de 40.
Tourner de 90� dans le sens des aiguilles d'une montre.
Relever le stylo.
b. O� peut-on ajouter l'instruction " Ajouter 1 � la taille du stylo " dans le script principal pour obtenir la figure ci-dessous ?

Rectangle.
Ajouter 40 � x.
Ajouter -20 � y.
Ajouter 1 � la taille du stylo.

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Exercice 3. 26 points.
On consid�re le motif initial suivant :
Il est compos� d'un carr� de c�t� 5 cm et d'un triangle EDC rectangle et isoc�le en D.
Partie 1.
1. Donner sans justification, les mesures des angles DEC et DCE.
45 �.
2. Montrer que le c�t� [DE] mesure environ 3,5 cm.
DE² +DC² = 2 DE² = EC² ;
DE = EC / racine carr�e(2) ~5 / 1,414 ~3,5 cm.
3. Calculer l'aire du motif initial.
Aire du carr� + aire du triangle = 5² +3,5 x3,5 / 2 =31,25 ~31 cm².
Partie 2.
On r�alise un pavage du plan en partant du motif initial en utilisant diverses transformations.

Dans chacun des cas suivants, donner sans justifier une transformation du plan qui permet de passer :
a. Du motif 1 au motif 2.
Rotation de centre B, de 90� dans le sens des aiguilles d'une montre.
b. Du motif 1 au motif 3.
Translation qui transforme B en J, C en I.
c. Du motif 1 au motif 4.
Sym�trie de centre B.
d. Du motif 2 au motif 3.
Sym�trie par rapport � la droite (GH).

Partie 3.
Suite � un agrandissement de rapport 1,5 de la taille du motif initial, on obtient un motif aggrandi.
1. Construire en vrai grandeur le motif aggrandi.

2. Par quel coefficient doit-on multiplier l'aire du motif initial pour obtenir l'aire du motif aggrandi ?
Chaque c�t� est multipli� par 1,5.
L'aire est donc multipli�e par 1,5² = 2,25.

Exercice 4. 16 points.
Jean poss�de 365 albums de bandes dessin�es. Afin de trier les album, il les range par s�rie et classe les s�ries en trois cat�gories : franco-belges ( 23 "Ast�rix" , 33 "tintin", 45 Lucky-Luke" ), comics ( 35 "Batman", 90 " Spider-Man") et mangas ( 85 "One-Piece", 65 " Naturo").
Il choisit un album au hasard.
1. a. Quelle est la probabili� que l'album choisi soit un "Lucky-Luke" ?
45 / 365 =9 / 73 ~0,123.
1. b. Quelle est la probabili� que l'album choisi soit un "comics" ?
(35 + 90) / 365 =125 / 365 = 25 / 73 ~0,342.
1. c. Quelle est la probabili� que l'album choisi ne soit pas un mangas ?
45 / 365 =9 / 73 ~0,123.
(365 -85-65) / 365 =215 / 365 =43 / 73 ~0,59.
2. Tous les albums de chaque s�rie sont num�rot�s dans l'ordre de sortie en librairie et chacune des s�ries est compl�te du num�ro 1 au dernier num�ro.
a. Quelle est la probabilit� que l'album choisi porte le num�ro 1 ?
7 s�ries, donc 7 num�ros 1 sur 365 albums.
7 / 365 ~0,019.
b. Quelle est la probabilit� que l'album choisi porte le num�ro 40 ?
4 s�ries, donc 4 num�ros 40 sur 365 albums.
4 / 365 ~0,011.

Exercice5 . 21 points.
On consid�re les fonctions f et g suivantes :
f(t) = 4 t+3 ; g(t) =6t.
On donne leurs repr�sentations graphiques.

1. Associer chaque droite � sa fonction.
La droite (d₁) passe par l'origine : fonction lin�aire g(t) = 6t.
La droite (d₂) ne passe pas par l'origine : fonction affine f(t) = 4t +3.
2. R�soudre par la m�thode de votre choix l'�quation g(t) = f(t).
6t = 4 t+3 ; 2t = 3 ; t = 1,5.
Coordonn�es du point d'intersection des droites : (1,5 ; 9 ).
Camille et Claude d�cident de faire exactement la m�me randonn�e mais Camille part 45 minutes avant Claude. Camille marche � la vitesse constante de 4 km / h et Claude � 6 km / h.
3. Au moment du d�part de Claude, quelle est la distance d�ja parcourue par Camille ?
45 minutes = 0,75 heure ; 4 x 0,75 = 3 km.
On note t le temps �coul�, ( en heures) depuis le d�part de Claude.Ainsi t=0 correspond au moment du d�part de Claude.
4. Expliquer pourquoi la distance en km parcourue par Camille en fonction de t peut s'�crire 4t +3.
A la date t=0, Camille a parcouru 3 km puis, chaque heure, il parcourt 4 km.
Distance parcourue par Camille : 4 t +3.
5. D�terminer le temps que mettra Claude pour rattraper Camille.
Distance parcourue par Claude : 6 t.
Date du rattrapage : 4t+3 = 6 t ; t = 1,5 heures = 1 h 30 min.

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