Math�matiques, DNB Am�rique du Nord 2021.

Exercice 1. Vrai ou faux, justifier. 26 points.
1. On consid�re la fonction d�finie par f(x) =3x-7. Faux.
L'image par f du nombre -1 est 2.
f(-1) = 3(-1)-7 = -10.
2. Soit E = (x-5)(x+1).
E a pour forme d�velopp�e : x²-4x-5. Vrai.
(x-5)(x+1) = x²+x-5x-5 = x²-4x-5.
3. n est un nombre positif.
Lorsque n =5, le nombre 2ⁿ+1 est premier. Faux.
2⁵+1 = 32+1 = 33. Ce nombre n'est pas premier. ( ces diviseurs sont 1, 3, 11 et 33).
4. On a lanc� 15 fois un d� � six faces non truqu� et on a not� les fr�quences d'apparition :

Num�ro de la face	1	2	3	4	5	6
Fr�quece d'apparition	3 /15	4 /15	5 /15	2 /15	1 /15	...

La fr�quence d'apparition du 6 est z�ro. Vrai.
La fr�quence d'apparition du 6 est not�e x / 15.
(3 +4 +5+2+1+x) / 15 =1 = 15 / 15.
15 +x =15 ; x = 0.
5. On consid�re un triangle RAS rectangle en S.
[AS]=80 cm ; l'agle ARS mesure 26 �.
Le segment [RS] mesure environ 164 cm. Vrai.

tan 26 = AS / RS ; RS = AS / tan 26 = 80 / tan 26 =164 cm.
Les vecteurs directeurs de ces droites n'�tant pas colin�aires, les droites ne sont pas parall�les.
6. Un rectangle ABCD a pour longueur 160 cm et pour largeur 95 cm.
Les diagonales mesurent exactement 186 cm. Faux.
Diagonale² = longueur² + largeur²= 160² +95² =34625.
Les diagonales mesurent environ 186,077 cm.

Exercice 2. (21 points).
Un athl�te a r�alis� un triathlon d'une longueur totale de 12,9 km.
Epreuve 1 : natation 400 m ; �preuve 2 : cyclisme ; �preuve 3 : course � pied 2,5 km.
Entre 2 �preuves il doit sur place changer d'�quipement.
Le graphe suivant repr�sente la distance parcourue ( km) en fonction du temps ( minute).

Le point M a pour abscisse 42 et pour ordonn�e 10,4.
1. Au bout de combien de temps, l'athl�te s'est-elle arr�t�e pour effectuer son premier changement d'�quipement ?
14 minutes.
2. Quelle est la longueur du parcours de l'�preuve de cyclisme ?
12,9 -0,4 -2,5 =10 km.
3. Quelle est la dur�e de la course � pied ?
11,5 minutes.
4. Parmi les trois �preuves, pendant laquelle l'athl�te a �t� le moins rapide ?
Epreuve 1 : vitesse = 0,4 / 14 ~0,029 km / min.
Epreuve 2 : vitesse = 10 / 27 ~0,37 km / min.
Epreuve 3 : vitesse =2,5 /11,5 ~0,22 km / min.
L'athl�te a �t� le moins rapide en natation.
5. La vitesse moyenne de l'athl�te sur l'ensemble du parcours est-elle sup�rieure � 14 km / h ?
On consid�re que les changements d'�quipement font partie du triathlon.
distance (km) / dur�e (minute) = 12,9 / 57 =0,226 km / min soit 0,226 x 60 = 13,6 km / h < 14 km / h.

Exercice 3. 16 points.

OB = AB. H est le sym�trique de D par rapport � O.
La figure a �t� obtenue en utilisant plusieurs rotations de centre O et d'angle 45�.
La figure est sym�trique par rapport � l'axe DB et par rapport au point O.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Justifier.
1. Donner deux carr�s diff�rents, images l'un de l'autre par la sym�trie axiale d'axe DB.
2 et 8 ; 3 et 7 ; 4 et 6.
2. Le carr� 3 est-il l'image du carr� 8 par la sym�trie centrale de centre O ?
Non, par cette sym�trie, l'image de 3 est le carr� 7.
3. On consid�re la rotation de centre O qui transforme le carr� 2 en le carr� 5. Pr�ciser l'image de [EF] par cette rotation.
[HI].

Exercice 4. 16 points.
On dispose d'un carr� partag� en 9 cases blanches de m�mes dimensions.
Quatre instructions permettent de changer l'aspect de certaines cases.
A : case centrale noircie.
B : la case en bas � gauche et en haut � droite sont noircies.
C : la case m�diane � gauche et la case m�diane � droite sont noircies.
E : inversion des couleurs.
Si une case est d�ja noire et si l'instruction demande de la noircir, aloors elle reste noire.
On dispose au d�part d'un motif dont toutes les cases sont blanches.
1. Repr�senter le motif obtenu avec la suite d'instruction AB.

2. Quelles ont les deux propositions permettant d'obtenir le motif suivant

ABC ; CE ; BCEC ; CAEA.
3. Donner la suite d'instructions donnant le motif suivant.

ABE.