Math�matiques BTS Opticien-lunetier 05/21.

Math�matiques BTS Opticien-lunetier 05/21.

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Exercice 1.(10 points).
En vue de la commercialisation d'un nouveau mod�le de lunettes solaires, une grande cha�ne de magasins d'optique r�alise une anqu�te aupr�s de 10 000 clientse co�t de revient pour la production d'une paire de lunettes de ce mod�le s'�l�ve � 55 €.
A. Ajustement d'un nuage de points.
1. Compl�ter la troisi�me ligne du tableau.

Prix � l'unit� € (x)
60
80
120
160

Nombre d'acheteurs potentiels ( N(x)
3000
2000
900
400

z = ln(N(x))
8,00
7,60
6,80
5,99

2. D�terminer une �quation de la droite d'ajustement du nuage de points.
z = -0,02 x +9,21.
3. Montrer que N(x) =10 000 e^-0,02x.
ln(N(x)) =-0,02 x +9,21.
N(x) = e^-0,02x * e^9,21 ~10 000 e^-0,02x.
4. Estimer le nombre d'acheteurs potentiels si le prix de vente est de 100 € la paire.
N(x) = 10 000 e^-2 ~1353.

B. Mod�le discret.
1.a. Montrer que deux diminutions successives de 33 % correspondent � une diminution globale de 55 %.
Prix pay� : 100(1-0,33) = 67 ; 67 (1-0,33) ~45.
Diminution 100-45 = 55 ; ( 55 %).
b. A chaque augmentation du prix de 20 €, le nombre d'acheteurs potentiels diminue d'environ 33 %. Justifier.
(3000-2000) / 3000 ~0,33 ( 33 %) ;
(2000-900) / 2000 ~0,55 soit 2 diminutions successives de 33 %.
(900-400) / 900 ~0,55 soit 2 diminutions successives de 33 %.
c. D�terminer le r�el q positif tel que q²⁰ = 0,67.
ln(q²⁰) = ln(0,67) ; 20 ln(q) = ln(0,67) ; ln (q) = ln(0,67) / 20 ~ -0,02.
q = e^-0,02 ~0,98.
2. Hypoth�se : chaque augmentation d'un euro du prix entra�ne une diminution de 2 % du nombre d'acheteurs potentiels.
On consid�re la suite (u_n) d�finie par :
u₀ = 10 000 ; u_n+1 = u_n-0,02 u_n.
a. Justifier que (u_n) est une suite g�om�trique.
u_n+1 = 0,98u_n : suite g�om�trique de raison 0,98.
b. Exprimer un en fonction de n.
u_n = u₀ x0,98ⁿ = 10 000 x0,98ⁿ.
c. Calculer u1₀₀.
u₁₀₀ = 10 000 x0,98¹⁰⁰ ~1326.

C. Mod�le continu.
On consid�re l'�quation diff�rentielle (E) : y' +0,02 y = 0.
1. D�terminer les solutions de (E).
f(x) = A e^{-0,02 x} avec A une constante.
2. D�terminer la solution qui v�rifie f(0) = 10 000.
1000 = A e⁰ = A ;
f(x) = 10 000 e^{-0,02 x} .

D. Etude de la fonction f(x) = 10 000 e^-0,02x sur [0 ; +oo[.
On pose B(x) =(x-55) f(x).
1. On donne la d�riv�e de B(x) : B '(x) = -200(x-105) e^-0,02x.
a. Donner le signe de B'(x) sur [0 ; 300].
e^-0,02x > 0 ; -200 < 0.
Si x appartient � [0; 105], B'(x) >0.
Si x appartient � [105; 300], B'(x) < 0.
b. Donner le tableau de variations de B.

2.a Justifier que B(x) repr�sente le b�n�fice en euros.
Nombre de ventes : f(x).
Co�t de production d'une paire : 55.
Prix de vente d'une paire : x.
B�n�fice sur une paire (x-55).
B�n�fice : (x-55) f(x).
b. Quel est le prix de vente pour un b�n�fice maximum ?
105 €.

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Exercice 2. (10 points).
Une entreprise fabrique des branches de lunettes de trois types appel�s type1, type 2 et type 3.
A. Loi normale.
Une branche de lunette de type 1 est consid�r�e comme acceptable si sa longueur exprim�e en mm est comprise entre 149 et 151 mm. Une branche est pr�lev�e au hasard dans la production. On note X la variable al�atoire qui, � chaque branche associe sa longueur.
X suit la loi normale de moyenne 150 et d'�cart type 0,5.
1.QCM. La valeur approch�e de la probabilit� qu'une branche de lunette soit acceptable est : 0,95 vrai ; 0,98 ; 0,99.
P(X < 149) =0,02275 ; P(X < 151) =0,9772 ; P(149 < X < 151) =0,9545 ~0,95.
2. A l'aide de la feuille de calcul suivante, d�terminer le plus grand nombre r�el a tel que P(X > a) >0,96.

a = 149,12.

B. Loi binomiale et loi de Poisson.
On consid�re un nombre important de branches de type 2. Dans ce stock, 2 % des branches de lunettes ne sont pas acceptables. On pr�l�ve au hasard 100 branches de ce stock. On note Y la variable al�atoire, qui � tout pr�l�vement de 100 branches, associe le nombre d'entre elles qui ne sont pas acceptables.
1.a Justifier que Y suit une loi binomiale dont on pr�cisera les param�tres.
On choisit 100 branches de mani�re identique, ind�pendante. Deux issues sont possibles " la branche est acceptable " ou" la branche n'est pas acceptable".
On r�p�te 100 fois une �preuve de Bernoulli.
Y suit une loi binomiale de param�tre n =100 ; p = 0,02.
b. Calculer la probabilit� P(Y < 2).
P (Y < 2)=0,677 ~0,68.
2. On admet que l'on peut approcher la loi de probabilit� de Y par une loi de Poisson.
a. D�terminer le param�tre de cette loi.
l = np = 100 x0,02 = 2.
b. On note Y₁ une varaible al�atoire qui suit cette loi de Poisson. Calculer la probabilit� P(Y₁ < 2).
P (Y₁ < 2)=0,677 ~0,68.

C. Test d'hypoth�se.
La norme pr�voit que la longueur des branches de type 3 est de 150 mm.
On note Z la variable al�atoire qui, � chaque branche pr�lev�e dans la production, associe sa longueur en mm. Z suit une loi normale de moyenne inconnue � et d'�cart type 0,5.
On d�signe par Z_moy la variable al�atoire qui, � chaque �chantillon de 100 branches pr�lev�es, associe la moyenne de leurs longueurs.
Hypoth�se nulle H₀ : � = 150.
Hypoth�se alternative H₁ : � diff�re de 150.
Seuil de signification du test : 0,05.
1. Sous l'hypoth�se nulle H₀ on admet que Z_moy suit une loi normale de moyenne 150 et d'�cart type 0,5 / 100^� = 0,05.
Sous cette hypoth�se, d�terminer un r�el positif h tel que P(150-h < Z_moy < 150 +h).
P(150-2s < Z_moy < 150 +2s).
h = 2s = 2 x 0,05 = 0,1.
2. Enoncer la r�gle de d�cision permettant d'utiliser le test.
Si Z_moy est compris entre 149,9 et 150,1 l'hypoth�se H₀ est retenue au risque d'erreur de 5 %. Sinon on retient H₁.
3. Un contr�leur pr�l�ve un �chantillon de 100 branches. Il constate que la moyenne des longueurs est 150,2 mm. Quelle sera sa d�cision ?
150,2 n'appartient pas � [149,9 ; 150,1]. L'hypoth�se H₀ est rejet�e ; l'hypoth�se H₁ est retenue.

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