Math�matiques BTS groupe A 09/20. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. .. .. . . .. .. ...... ... Exercice 1. Un technicien d�cide d'ins�rer en amont du variateur une inductance de ligne. A. Etude du mod�le th�orique. On note i1 la fonction d�finie et d�rivable sur [0 ; +oo[ qui mod�lise le courant ( A) induit dans cette inductance en fonction du temps t (s). A t=0, i1(0) = 0. L'�quation r�gissant l'�volution du courant i1 dans le circuit est : Ldi1/dt +Ri1 = E. L : inductance (H), R : r�sistance (ohm), E= 6 V : diff�rence de potentiel dans le circuit ( V). Dans cette partie R = 0,5 ohm, L = 0,015 H. 1. Justifier que la fonction i1 est solution de l'�quation diff�rentielle (E1) 3y'+100y = 1200. 0,015 i'1 +0,5 i1 = 6 ; diviser par 0,005 : 3 i'1+100 i1=1200. 2. On rappelle que l'�quation diff�rentielle ay'+by = 0 ( a et b r�els et a non nul) admet pour solution : y(t) = K exp(-b/ a t), avec K constante r�elle. a. Donner les solutions de l'�quation diff�rentielle (E0) 3y' +100 y =0. y = K exp(-100 t / 3). b. D�terminer une fonction constante y0, solution particuli�re de (E1). y0 = 12. c. En d�duire les solutions de (E1). y = K exp(-100 t / 3) +12. 3. Montrer que pour tout r�el positif ou nul : i1(t) = 12-12 exp(-100 t / 3). i1(t) = K exp(-100 t / 3) +12 et i1(0) = 0. 0 = K+12 ; K = -12. i1(t) = 12-12 exp(-100 t / 3). 4. On note i'1 la fonction d�riv�e de i1. Calculer i'1(t) et en d�duire que la fonction i1(t) est croissante sur [0 ; +oo[. i'1(t) =1200 / 3exp(-100 t / 3) = 400exp(-100 t / 3). exp(-100 t / 3) est strictement positif ; i'1(t= >0 et i1(t) strictement croissante. 5. On a trac� la courbe G qui repr�sente la fonction i1. On note T la tangente � cette courbe  en son point d'abscisse x = 0. a. D�terminer une �quation de la droite T et tracer cette droite sur le graphique. Coefficient directeur de T : i'1(0) =400. Le point de coordonn�es (0 ;  0) appartient � T. Equation de T : y = 400 t. B. Contr�le des valeurs de R et de L. Sur le sch�ma ci-dessous, la courbe C repr�sente l'intensit� du courant enregistr�e. La droite (D) repr�sente la tangente � C en t = 0. Le point de coordonn�es (0,02 ; 12) appartient � D. On admet que i2(t) = E/R(1-exp(-R / L t)) 1.a. Conjecturer graphiquement la limite de la fonction i2 quand t --> +oo. Quand t tend vers plus l'infini, i2 tend vers 12 A. 1.b. Montrer que R =0,5 ohm. exp(-R / L t)) tend vers z�ro quand t tend vers plus l'infini et i2(t) tend vers E / R. E / R = 12 ; R = E /12 = 6 /12 = 0,5 ohm. 2.a Justifier que la droite D a pour �quation y = 600 t. Equation de cette droite passant par l'origine : y = at. Le point de coordonn�es (0,02 ; 12) appartient � D. 12 = 0,02 a ; a = 12 /0,02 =600. b. D�terminer i'2 (t) puis i'2(0) en fonction de E et L. En d�duire la valeur de L. i'2(t) = E / L exp(-R / L t)) ; i'2(0) = E / L = 600. L = E /600 = 6 / 600 = 0,01 H. C. V�rification de la norme. On note j le nombre complexe de module 1 et d'argument p / 2. L'inp�dance complexe de l'inductance en ligne est Z = R+jLw. R = 0,5 ohm ; L = 0,01 H et f = 50 Hz. 1. Calculer le module de Z. w = 2 p f = 6,28 x50 = 314 rad /s. |Z| =(R2+(Lw)2)� =(0,25+3,142)� =3,18 ohms. 2. Le r�seau est aliment� par une tension de 230 V. La chute de tension U aux bornes de l'inductance est donn�e par U = |Z| Ieff. Ieff = 3,5 A. La chute de tension U doit �tre comprise entre 3% et 5 % de la tension d'alimentation du r�seau. La chute de tension est-elle conforme ? Justifier. U =3,18 x3,5 =11,1 V. 11,1 / 230 x100 = 4,8 %. Donc conformit�. ... .... Exercice 2. A. Une entreprise fabrique diff�rents mod�les d'ampoules LED. 1. Les ampoules LED MR0011 de 3 W ont une dur�e de vie annonc�e �gale � 35 000 heures. On mod�lise cette dur�e de vie par une variable al�atoire D suivant une loi normale de moyenne � = 35 000 et d'�cart type s = 1000. a. On donne 3 graphiques. L'un des trois repr�sente la fonction densit� de la variable D et, en gris, la probabilit� P(33 000 < D < 37000). Quel est ce graphique ? Justifier. b. Calculer la probabilit� qu'une ampoule fonctionne plus de 37 000 h. P(D > 37000) = 1- P(D < 37000) =1-0,977 = 0,023. 2. L'entreprise fabrique d'autres ampoules ayant les formes suivantes : 20 % sont de forme �pi de ma�s ; 50 % sont de forme sph�rique ; 30 % sont de forme flamme. 90 % des ampoules de forme �pi de ma�s ont une dur�e de vie d'au moins 50 000 h ; 30 % des ampoules de forme sph�rique ont une dur�e de vie d'au moins 50 000 h ; 50 % des ampoules de forme flamme ont une dur�e de vie d'au moins 50 000 h. On pr�l�ve au hasard une ampoule dans la production. On consid�re les �v�nements suivants : E : forme �pi de ma�s ; S : forme sph�rique ; F : forme flamme ; V : dur�e de vie d'au moins 50 000 h. a. Compl�ter l'arbre pond�r�. b. Calculer P(F n V)=0,3 x0,5 =0,15. c. Calculer P(V). d. Calculer PV(E)= P(V n E) / P(V) =0,18 /0,48 =0,375. B . La tension simple � la sortie de l'onduleur s'exprime par v(wt), o� v est une fonction paire, p�riodique de p�riode T = 2p et d�finie par : v(x) = 300 si 0 < x < p/6 ; v(x) = 150 si p/6 < x < p/2 ; v(x) = -150 si p/2 < x < 5 p/6 ; v(x) = -300 si 5 p/6 < x < p. 1. Compl�ter la repr�sentation graphique de la fonction v sur l'intervalle [ -3 p/2 ; 3 p/2 ].   On admet que la fonction v est d�veloppable en s�rie de Fourier. 2. Justifier que bn=0 pour tout entier n > 1. v est une fonction paire ; sin(nx) est une fonction impaire ; les termes sin(nx) sont donc nuls. 3. Montrer que a0 = 0. 4. Calculer les int�grales suivantes : Ecrire les int�grales qu'il reste � calculer pour obtenir l'expression de an en fonction de n. On ne demande pas de les calculer. 5. On admet que pour tout entier n > 1, on a an = 300 / (np) [sin ( np/6) +2sin (np/2) +sin(5np/6)]. Compl�ter le tableau : valeur de n 0 1 2 3 4 5 6 7 valeur approch�e de an 0 286,5 0 0 0 57,3 0 -40,9 6.a. Compl�ter le spectre des amplitudes An associ� � la fonction v pour n allant de 0 � 7. An = (an2+bn2)�. b. Calculer le taux de distorsion T =(a22+a32+a42+a52+a62+a72)� / a1. T =(57,32 +40,92)� / 286,5 =0,24. (24 %) Cette valeur est sup�rieure � 10 %, la commande n'est pas adapt�e.

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