Math�matiques BTS groupe B 09/20.

Math�matiques BTS groupe B 09/20.

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Exercice 1.
Un jouet est un bonhomme de neige mont� sur un ressort. On comprime le jouet au sol et une fois rel�ch�, celui-ci est propuls� dans les airs � une certaine hauteur et retombe ensuite sur le sol. Le mouvement est suppos� vertical. On souhaite �tudier la hauteur atteinte en fonction du nombre d'ann�es d'utilisation. La hauteur atteinte est mod�lis�e par une solution de l'�quation diff�rentielle (E) :
y" +2y'+y = 3.
y est une fonction de la variable x, dur�e d'utilisation en ann�es.
A. R�solution de l'�quation diff�rentielle.
1. R�soudre dans R, l'�quation y" +2y'+y=0.
Equation caract�ristique : r² +2r +1 =0.
Discriminant D = 2²-4 x1 = 0 ; solution unique r =(-2+0) / 2 = -1.
f(x) = (Ax +B) e^-x avec A et B des constantes r�elles.
2. D�terminer la valeur de k, constante r�elle, pour que la fonction g(x) = k soit solution de (E).
g'(x) = g"(x) = 0 ; k = 3.
3. En d�duire les solutions de (E).
f(x) = (Ax +B) e^-x +3.
4. D�terminer la fonction f, solution de (E) telle que f(0) = 4 et f(2) = 5e^-2+3.
f(0)=4 =B+3 ; B = 1.
f(2) =(2A+1) e^-2+3 =5e^-2+3.
(2A+1) e^-2 =5e^-2 ; 2A+1 = 5 ; A = 2.
f(x) = (2x +1) e^-x +3.
B. Etude de la fonction f.
On note C la courbe repr�sentative de f.
1. Quelle hauteur peut atteindre le jouet lors de la premmi�re utilisation ?
x = 0 ; f(0) =4 dm.
2. Quelle hauteur peut atteindre le jouet apr�s 6 mois d'utilisation ?
x = 0,5 ; f(0,5) = 2e^-0,5 +3 ~4,21 dm.
3. On admet que la limite en plus l'infini de x e^-x = 0.
a. D�terminer la limite de f en plus l'infini.
f(x) = 2xe^-x +e^-x+3.
En plus l'infini : limite de 2xe^-x = 0 ; limite de e^-x = 0 ; limite de f(x) = 3.
b. En d�duire que la courbe C admet une asymptote D. Tracer cette droite. Interpr�ter.
La courbe C admet une asymptote d'�quation y = 3. La hauteur maximale atteinte au bout d'un grand nombre d'ann�es est 3 dm.

4.a Justifier que f '(x) = (1-2x)e^-x.
On pose u = 2x+1 et v =e^-x ; u' = 2 ; v' = -e^-x.
u'v +v'u =2e^-x -(2x+1)e^-x =(1-2x)e^-x.
b. Etudier le signe de f '(x) et en d�duire le tableau de variation de f.
e^-x >0 ; f '(x) a le signe de 1-2x.
f '(x) = 0 pour x = 0,5 ; f '(x) > 0 pour x appartenent � [0 ; 0,5] et f '(x) < 0 pour x > 0,5.

5. On admet que F(x) = (-2x-3)e^-x +3x est une primitive de la fonction f. Calculer l'aire du plan comprise entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'�quation x = 0 et x = 2.
A = F(2) -F(0) = - 7e^-2 +6 + 3=9-7e^-2 ~8,05 unit�s d'aire soit 8,05 x4 =32,21 cm².

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Exercice 2. Groupe B₁.
Des billes doivent avoir un diam�tre de 12,7 mm.
A. Loi normale.
On note X une variable al�atoire qui, � chaque bille associe son diam�tre en mm. X suit la loi normale de moyenne �=12,7 et d'�cart type s.
1. QCM. On admet que P(12,6 < X <12,8)~0,95.
La valeur de l'�cart type est : 0,05 vrai ; 0,1 ; 0,15 ; 0,2.
95 % : les observations sont comprises dans l'intervalle [�-2s ; �+2s].
2. Donner la probabilit�, arrondie au centi�me, qu'une bille pr�lev�e au hasard dans la production ait un diam�tre strictement sup�rieur � 12,8 mm.
P(X >12,8) = 1-P(X < 12,8 )= 1-0,9772 ~0,02.

B. Probabilit�s conditionnelles.
L'�quipementier propose ses billes en c�ramiques plus l�g�res � deux marques automobiles A et B. On choisit au hasard une bille dans la production.
La probabilit� que la bille soit achet�e par la marque A est 0,3. La probabilit� qu'elle soit achet�e par la marque B est 0,7.
Sachant qu'elle a �t� achet�e par la marque A, la probabilit� que la bille soit utilis�e dans le roulement d'un nouveau prototype est 0,75.
On note les �v�nements :
A : la bille est achet�e par la marque A.
B : la bille est achet�e par la marque B.
R : la bille est utilis�e dans le roulement d'un nouveau prototype.
1.a. Donner la valeur de P_A(R)
0,75.
1.b. D�montrer que P(A n R) = 0,225.
P(A n R) =P(A) x P_A(R) =0,3 x0,75 =0,225.
2. On admet que P(R) = 0,9.
a. Justifier que P(B n R) = 0,675.
Formule des probabilit�s totales : P(R) = P(A n R) + P(B n R).
P(B n R) =0,9 -0,225 =0,675.
b. En d�duire la valeur arrondie au centi�me de P_B(R).
P_B(R) = P(B n R) / P(R) =0,675 /0,9~0,75.
3. Calculer la probabilit� qu'une bille ait �t� achet�e par la marque A sachant qu'elle est utilis�e dans un nouveau prototype.
P_R(A) =P(R n A) / P(R) =0,225 / 0,9 =0,25.

C . Test d'hypoth�se au seuil de 5 %.
On note Y la variable al�atoire qui � chaque bille produite associe son diam�tre en mm. Y suit la loi normale de moyenne � et d'�cart type s = 0,045.
On pr�l�ve au hasard un �chantillon de 200 billes dans la production. L'hypoth�se H₀ est � =12,7. L'hypoth�se H₁ est � diff�re de 12,7.

1.a. Sous l'hypoth�se H₀, justifier que la variable al�atoire suit la loi normale de param�tres 12,7 et d'�cazrt type 0,003.
suit la loi normale de param�tres 12,7 et d'�cart type s / n^� =0,045 / 200^� = 0,045 / 14,14 ~0,003.
b. Calculer la valeur du r�el h, tel que sous l'hypoth�se H₀, on ait : P(12,7 -h < < 12,7 +h) =0,95..
h = 1,96 s =1,96 x 0,003 ~0,006.
2. Enoncer la r�gle de d�cision du test.
Intervalle de confiance :[12,7-0,006 ; 12,7 +0,006) soit [12,694 ; 12,706].
Si la moyenne appartient � cet intervalle, H₀ est valide, sinon H₁ est valide.
3. Sur un �chantillon de 200 billes pr�lev� au hasard dans la production, on a relev� un diam�tre moyen de 12,71 mm. L'�quipementier peut-il remettre en cause le diam�tre annonc� de billes ? Justifier.
12,71 n'appartient pas � l'intervalle [12,694 ; 12,706] ; l'hypoth�se H₀ est rejet�e, H₁ est valide. Le diam�tre moyen des pi�ces est remis en cause.

Exercice 2. Groupe B₂.
La fonction �chelon unit� U est d�finie par : U(t) = 0 si t < 0 et U(t) = 1 si t > 0.
On consid�re un syst�me �lectrique entr�e-sortie. On note s le signal de sortie associ� au signal d'entr�e e. Les foncations e et s sont nules pour t < 0. On admet que le fonctions e et s admettent des transform�es de Laplace not�es respectivement E et S. La fonction de transfert H du syst�me est d�finie par S(p) = H(p) x E(p).
On consid�re le signal d'entr�e e d�fini sur R par e(t) = U(t)-2U(t-1) et la fonction H d�finie sur ]0 ; +oo[ par H(p) = 1 / (p+1).
1.a. Calculer e(0,5) et e(2).
e(0,5) = U(0,5)-2U(-0,5).
U(-0,5) = 0 ; U(0,5) = 1 ; e(0,5) = 1.
e(2) = U(2)-2U(1).
U(2) = 1 ; U(1) = 1 ; e(2) = 1-2 = -1.
b. Tracer la courbe repr�sentative de la fonction e. On pourra calculer e(-0,5), e(0), e(0,9), e(1).
e(-0,5) =U(-0,5)-2U(-1,5) = 0.
e(0) =U(0)-2U(-1) = 1.
e(0,9) =U(0,9)-2U(-0,1) = 1.
e(1) =U(1)-2U(0) = -1.
Si t < 0, e(t) = 0 ; si 0 < t < 1 ; e(t) = 1 ; si t > 1, e(t) = -1.

2. Pour tout p > 0, d�terminer E(p), E �tant la transform�e de Laplace du signal e.
Si 0 < t < 1 ; e(t) = 1 : E(p) = 1 / p.
Si t > 1, e(t) = -1 : E(p) = -1 / p.
3.a. Donner l'expression de S(p).
S(p) = H(p) x E(p) =1 / (p+1)E(p).
Si 0 < t < 1 ; S(p) =1 / [p(p+1)].
Si t > 1; S(p) = -1 / [p(p+1)].
b. V�rifier que pour tout t >0 : 1 / [p(p+1)] = 1 /p -1 /(p+1).
1 /p -1 /(p+1) =( p+1-p) / [p(p+1)] = 1 / [p(p+1)].
c. Justifier alors que pour tout p >0 : S(p) =1/p-1/(p+1) -2e^-p / p+2e^-(p+1)/(p+1).

4. Compl�ter le tableau suivant et en d�duire l'expression de s(t) sur [0 ; 1[.

Transform�e
1 /p
1 / (p+1)
e^-p / p
e^-p / (p+1)

Original
1
e^-t
e^-t(t-0) U(t-1) e^-t(t-1) U(t-1)

5. On admet que l'expression de s sur [1 ; +oo[ est s(t) = (2e1)e^-t-1.
a. Calculer s(1).
s(1) =2e1 *e^-1-1 = 1
b. Compl�ter la courbe repr�sentative de s(t).

c. Donner la limite de la fonction s en plus l'infini.
e^-t tend vers z�ro et s(t) tend ves -1.

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