Math�matiques BTS groupe B1 M�tropole Antilles Polyn�sie 05/21.

Math�matiques BTS groupe B1 M�tropole Antilles Polyn�sie 05/21.

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Exercice 1.(10 points).
On note f(t) la hauteur en m�tre du centre de gravit� de l'h�licopt�re par rapport au sol � l'instant t, exprim� en seconde..
A. Equation diff�rentielle.
La fonction f est solution de l'�quation diff�rentielle (E) : y" +3y'+2y=4
1.a. R�soudre dans R l'�quation r²+3r+2=0.
Discriminant D = 3²-4 x2 = 1.
Solutions : r₁ = (-3+1) / 2 = -1 ; r₂ =(-3-1) / 2 = -2.
b. En d�duire les solutions de l'�quation diff�rentielle y" +3y'+2y=0.
f(t) = A e^-t +Be^-2t, avec A et B des constantes.
2. Soit k un nombre r�el. On d�finit la fonction constante g sur [0 ; +oo[ par g(t) = k.
D�terminer k pour que g(t) soit solution de (E).
g' = 0 ; g" = 0 ; repport dans (E) : 2k = 4 ; k = 2.
3. En d�duire l'ensemble des solutions de (E).
f(t) = A e^-t +Be^-2t+2.

B Etude de la fonction f.
On admet que la fonction f correspondant � la hauteur du centre de gravit� de l'h�licopt�re est d�finie sur [0 ; +oo[ par :
f(t) = - e^-t +1,5e^-2t+2.
On donne sa courbe repr�sentative.

1. D�terminer la hauteur du centre de gravit� de l'h�licopt�re au moment de l'atterissage � t = 0.
f(0) = - e^-0 +1,5e^-0+2= -1+1,5 +2 = 2,5 m.
2.a. Calculer la limite de f(t) en plus l'infini.
Les exponentielles tendent vers z�ro en plus l'infini et f(t) tend vers 2.
b. En d�duire que la courbe admet une asymptote dont on donnera son �quation.
En plus l'infini la courbe est confondue avec la droite asymptote d'�quation y = 2.
3.a A l'aide du graphique, conjecturer le sens de variation de la fonction f.
Sur [0 ; 1] la fonction est d�croissante.
Sur [1 ; +oo[ la fonction est croissante.
b. On donne f '(t) = e^-t -3e^-2t.
Montrer que f '(t) peut s'�crire sous la forme f '(t) = e^-2t(e^t-3).
f '(t) = e^-2t+t -3e^-2t=e^-2t x e^t-3e^-2t=e^-2t(e^t-3).
c. R�soudre sur [0 ; +oo[ l'in�quation e^t-3 >0.
e^t >3 ; t > ln(3).
d. En d�duire le signe de f '(t).
e^-2t est toujours positif. Le signe de f '(t) est celui de e^t-3.
Si t > ln(3), f '(t) est positive ; si t appartient � [0 ; ln(3)], f '(t) est n�gative.
e. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

C. Etude locale.
Un logiciel donne la partie r�guli�re du d�veloppement limit� � l'ordre 2 de la fonction f au voisinage de z�ro.
2,5 -2t +2,5t².
1.a Le d�veloppement limit� de la fonction f au voisinage de z�ro est :
2,5 -2t +2,5t² ; faux
2,5 -2t +2,5t²+t²e(t), avec e(t) tend vers z�ro quant t tend vers +oo ; faux
2,5 -2t +2,5t²+t²e(t), avec e(t) tend vers z�ro quant t tend vers z�ro. Vrai.

1.b. Une �quation de la tangente T � la courbe au point d'abscisse z�ro est :
y=2,5 ; faux.
y = 2,5 -2t ; vrai.
y=2,5 -2t +2,5t²; faux.
2. Etudier la position relative de la courbe C et de la tangente T au voisinage de z�ro.
f(t) -y =2,5 -2t +2,5t²-( 2,5 -2t )= 2,5t² >0.
T est en dessous de C.

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Exercice 2. (10 points).
A. Loi binomiale.
La probabilit� qu'une voiture pr�lev�e au hasard parmi les garages d'une ensigne automobile soit r�par�e le jour m�me de sa r�ception est 0,7.
On interroge 100 clients de cette enseigne. On note X la variable al�atoire qui, � chaque �chantillon de 100 clients interrog�s, associe le nombre de clients dont le v�hicule est r�par� le jour m�me.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on pr�cisera les param�tres.
On interoge 100 clients de mani�re ind�pendante. Deux issues sont possibles " voiture r�par�e le jour m�me " ou" voiture non r�par�e".
On r�p�te 100 fois une �preuve de Bernoulli.
X suit une loi binomiale de param�tre n =100 ; p = 0,7.
2. Calculer l'esp�rance de X et interpr�ter.
E = np = 70 ; en moyenne sur100 voitures, 70 sont r�par�es le jour m�me.
3. Calculer l'�cart type de la variable X.
s = (np(1-p)^� =(100 x 0,7 x0,3)^� ~4,6.
4. Calculer la probabilit� que, sur un �chantillon de 100 clients, exactement 60 clients r�cup�rent leur voiture r�par�e le jour m�me.
P(X = 60) =C₁₀₀⁶⁰ x0,7⁶⁰ x0,3⁴⁰ ~0,00849 ~0,008.

B . Approximation par une loi normale de moyenne 70 et d'�cart type 4,6.
On note Y la variable al�atoire de loi normale N(70 ; 4,6).
1. Calculer la probabilit� qu'au moins 80 voitures sur un �chantillon de 100 soient r�par�es le jour m�me.
P (Y > 79,5)=1 - P(Y < 79,5) = 1-0,9805 ~0,019.
2. Calculer la probabilit� que le nombre de voitures sur un �chantillon de 100, r�par�es le jour m�me soit compris entre 60 et 80.
P(Y < 59,5) =0,01123 ; P(Y < 80,5) =0,9888 ; P(59,5 < Y < 80,5) =0,9888-0,01123 =0,978.

C. Probabilit�s conditionnelles.
Un garage de cet enseigne poss�de deux ateliers. Les v�hicules sont trait�s soit par l'atelier 1, soit par l'atelier 2.
1 r�pare 60 % des v�hicules et le reste est r�par� par l'atelier 2.
1 % des v�hicules r�par�es par 1 pr�sente un d�faut de r�paration ; 2,5 % des v�hicules r�par�es par 2 pr�sente un d�faut de r�paration.
On pr�l�ve au hasard un v�hicule r�par� par ce garage.
On d�finit les �v�nements suivants :
A : "v�hicule r�par� par l'atelier 1".
B : "v�hicule r�par� par l'atelier 2".
D : " d�faut de r�paration sur le v�hicule"
1. En d�duire P(A), P(B), P_A(D) et P_B(D).
2. Calculer P(A n D) et P(B n D).
Calculer la probabilit� qu'un v�hicule pr�sente un d�faut de r�paration.

D. Intervalle de confiance.
L'enseigne organise une enqu�te de satisfaction. Elle interroge 100 clients.
Soit F la variable al�atoire qui a tout �chantillon associe la fr�quence dans cet �chantillon de clients satisfaits.
F suit la loi normale N(n ; p).
Pour l'�chantillon pr�lev�, on constate que 87 clients sont satisfaits.
1. Donner une estimation de la proportion inconnue p.
p = 0,87.
2. D�terminer un intervalle de confiance centr� sur f de la proportion p avec un coefficient de confiance de 95 %.
1,96 ( p(1-p) / 100)^� =1,96 x(0,87 x0,13 /100)^�=0,066.
Intervalle de confiance : [0,87-0,066 ; 0,87 +0,066) soit [ 0,804 ; .0,936 ]

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