Math�matiques BTS groupe C 09/20.

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 Exercice 1.
A la sortie d'un four, un solide dont la temp�rature est de 70�C est plac�, pour le refroidir, dans une pi�ce dont la temp�rature ambiante reste constante �gale � Tamb = 20�C. Le solide peut �tre emball� pour exp�dition d�s que sa temp�rature passe au dessous de 40�C. On d�signe par T(t) la temp�rature de l'objet en �C du solide � l'instant t ( exprim� en minute).
T ' (t) repr�sente la vitesse de refroidissement de l'objet � l'instant t. La loi de Newton �tablit que cette vitesse est proportionnelle � la diff�rence de temp�rature du solide et de la temp�rature ambiante, soit :
T '(t) = k (T(t) - Tamb) o� k est une constante.
Partie A.
1. La constante k d�pend des mat�riaux. Pour le solide k = -0,007. Montrer que T est solution de l'�quation diff�rentielle :
(E) : y '+0,07 y = 1,4.
T '(t) = k (T(t) - Tamb) = -0,07 (T(t) +0,07 x20 = -0,07 T(t) +1,4
T '(t) +0,07 T(t) = 1,4.
 2. R�soudre dans [0 ; + oo[, l'�quation diff�rentielle (E0) : y' +0,07 y = 0.
y = A e-0,07 t avec A une constante.
3 . QCM. Une solution particuli�re de (E) est la fonction d�finie par :
f(t) = 20 vrai ; f(t) = 1,4 ; f(t)= 20 t.
4. En d�duire la solution g�n�rale de (E).
y = A e-0,07 t +20.
5.a. Donner T(0).
T(0) = 70.
 b. D�terminer une expression de la temp�rature du solide � l'instant t.
T(t) = A e-0,07 t +20 ; T(0) = 70 =A+20 ; A = 50.
T(t) = 50e-0,07 t +20.
Partie B.
On admet que t(t) = 50e-0,07 t +20. On donne C la courbe repr�sentative de la fonction T.
1. A l'aide du graphique :
a. D�terminer la temp�rature du solide au bout de 10 minutes.
b. d�terminer au bout de combien de temps le solide peut �tre emball� pour exp�dition.

2.a. Etablir les variations de T sur [0 ; +oo[.
D�riv�e T ' = 50 x(-0,07) e-0,07t = -3,5 e-0,07t .
e-0,07t >0, donc T ' < 0 et T est strictement d�croissante.
b. Expliquer pourquoi la temp�rature du solide ne peut atteindre 18 �C.
Le solide est dans une pi�ce dont la temp�rature est maintenue constante � 20 �C.
c. D�terminer au dixi�me pr�s la temp�rature moyenne du solide lors des 10 premi�res minutes.

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 Exercice 2.
A. Le tableau suivant donne l'�volution des ventes de v�los � assistance �lectrique en France entre 2007 et 2017.
ann�e
 2007
 2009
 2011
 2013
 2015
 2017
rang de l'ann�e xi
 0
 2
 4
 6
 8
 10
nombre v�los vendus ( milliers) ni
 10
 23
 37
 57
 102
 278
yi=ln(ni)
 2,30
 3,13
 3,61
 4,04
 4,62
 5,63
Donn�es : observatoire du cycle.
1. a. Compl�ter le nuage de points.

 b. Expliquer pourquoi un ajustement affine ne semble pas envisageable.
Les points ne sont pas align�s.
2. On pose yi = ln(ni). Compl�ter la derni�re ligne du tableau.
3. On s'int�resse � l'ajustement affine de yi en fonction de xi.
y =0,3074 x +2,3528.
Si l'�volution se poursuit de la m�me mani�re, quel devrait �tre en milliers le nombre de v�los vendus en 2020 ?
x =13 ; y = 0,3074 x13 +2,3528 =6,349.
n = e6,349 ~572 milliers.

 B . On �tudie l'autonomie en km de ces v�los. Soit X la variable al�atoire qui, � chaque v�lo pris au hasard dans la production, associe son autonomie en km. X suit la loi normale de moyenne � =81 et d'�cart type s = 4.
1. D�terminer P(X > 84).
P(X > 84) = 1 - P(X < 84) = 1-0,773 =0,227.
  2. QCM.
Une valeur approch�e � l'unit� du r�el d tel que P(X < d)=0,1 est : 88 ; 81 ; 76 vrai . Interpr�ter le r�sultat.
La probabilit� que l'autonomie soit inf�rieure � 76 km est �gale � 0,10.

C. 4 % des batteries pr�sentent un d�faut et sont non conformes. Soit Y la variable al�atoire qui, � tout lot de 100 batteries pris au hasard dans la production,  associe le nombre de batteries non conformes.
1. Quelle loi suit la variable Y ? Justifier et donner les param�tres de cette loi.
Les pr�levements sont ind�pendants et leur nombre est fix� � n = 100.
Chaque tirage peut d�boucher seulement sur 2 r�sultats  : la probabilit� qu'une batterie soit non conforme est constante p = 0,04. La probabilit� qu'une batterie soit conforme est q = 1-p = 0,96.
La loi binomiale B(n=100, p = 0,04) est valide.
2.a. D�terminer P(Y < 5).
Y =0, ou 1, ou 2, ou 3, ou 4.
P(Y < 4) =0,629.
b. Interpr�ter ce r�sultat.
La probabilit� qu'il y ait moins de 5 batteries non conforme est �gale � 0,629.
3. D�terminer la probabilit� que dans ce lot toutes les batteries soient conformes.
P(Y = 0)=0,017.
4. Calculer E(Y) et interpr�ter.
E(Y) = n p = 100 x0,04 = 4.
En moyenne, il y a 4 batteries non conformes dans un lot de 100 batteries.



  

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