Math�matiques BTS groupe D 09/20.

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 Exercice 1.
A. Evolution de la population de poissons au fil des mois dans certains aquariums.
1. Dans un aquarium, il y a initialement 10 poissons. La population augmente de 30 % chaque mois. Quel est le nombre de poissons au bout de 5 mois ? 12 ; 50 ; 160 ; 37 vrai.
10 x1,35 =37.
2. Dans un aquarium, au temps t =0, il y a 10 poissons. On mod�lise le nombre de poissons pr�sents dans l'aquarium par une fonction g. Cette fonction est solution de l'�quation diff�rentielle y' +0,3 y =0 v�rifiant la condition initiale g(0 ) =10.
 g est d�finie par : g(t) = 10e0,3t ; g(t) = 10e-0,3t vrai ; g(t) = 10+ e0,3t ; g(t) = 10+ e-0,3t.
Solution g�n�rale de l'�quation diff�rentielle : g(t) = A e-0,3 t, avec A une constante.
g(0) = 10 = A.

Partie B. Etude statistique.
On cherche � �valuer l'effet d'un pesticide que l'on peut trouver dans les rivi�res, sur la diminution de la fertilit� d'une population de poissons. On dispose de 8 aquariums contenant chacun 10 poissons de la m�me esp�ce et de l'eau avec diff�rentes quantit�s de ce pesticide. Au bout d'un mois on rel�ve le nombre total d'oeufs pondus par les poissons des diff�rents aquariums.
Num�ro de l'aquarium
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
Concentration en pesticide ( mg / L) xi.
 0
 1
 4
 5
 6
 7
 8
 10
Nombre d'oeufs pondus  Ni
 249
 248
 246
 230
 130
 50
 40
 35
yi= -ln(250 / Ni-1). 5,52
 4,82
 4,12
 2,44
 0,08
 -1,39
 -1,66
 -1,86
Un ajustement affine n'est pas appropri�. On effectue un changement de variable y = -ln(250 / N-1).
1. Compl�ter le tableau.
 2 et 3. D�terminer le coefficient de corr�lation lin�aire de la s�rie statistique (xi ; yi). Interpr�ter. D�terminer une �quation de la droite d'ajustement.
y = -0,857 x +5,905.
y dminue de 0,859 chaque fois que x augmente de 1 mg / L.
4. On note N(x) la fonction mod�lisant le nombre d'oeufs pondus dans un aquarium en un mois, en fonction de la concentration x en pesticide ( en mg / L).
a. V�rifier que n(x) est solution de l'�quation 250 / N(x)-1 = e0,857 x-5,905.
y = -0,857 x +5,905= -ln(250 / N-1).
 ln(250 / N-1)=0,857 x -5,905.
250 / N-1= e0,857 x-5,905.
b. En d�duire que N(x) = 250 / (1+e0,857 x-5,905).
250 / N(x)=1+ e0,857 x-5,905.
N(x) /250 = 1 /(1+ e0,857 x-5,905)
N(x) = 250 / (1+e0,857 x-5,905).

Partie C. Etude de fonction.
On consid�re la fonction d�finie sur [0 ; +oo[ par f(x) =250 / (1+0,003 e0,9x).
1. Calculer la limite de f(x) en plus l'infini.
e0,9x tend vers plus l'infini ; 1+0,003 e0,9x tend vers plus l'infini ; f(x) tend vers z�ro.
2.a. V�rifier  que f '(x) = -0,675 e0,9x / (1+0,003 e0,9x)2.
On pose u = 250 ; v =1+0,003 e0,9x ; u' = 0 ; v' =0,003 x0,9e0,9x =0,0027e0,9x ;
(u'v-v'u) / v2 =(-250*0,0027e0,9x) / (1+0,003 e0,9x)2.
f '(x) = -0,675 e0,9x / (1+0,003 e0,9x)2.
b. Etudier le signe de f '(x) et donner le sens de variation de f(x).
e0,9x et (1+0,003 e0,9x)2 sont positifs.
f '(x) < 0 et f(x) est strictement d�croissante.
3. Tracer la courbe repr�sentative de f(x).

Par la suite on admet que la fonction f mod�lise le nombre d'oeufs pondus par mois dans un aquarium, en fonction de la concentration x en pesticide ( mg / L) sur l'intervalle [0 ; 50 ].
4. La concentration efficace m�diane CE50 est la concentration qui correspond � une diminution de 50 % du nombre d'oeufs pondus par mois par rapport � une eau sans pesticide. D�terminer cette concentration CE50 � 0,1 pr�s.
250 / (1+0,003 e0,9x) = 125 ; 1+0,003 e0,9x = 2 ; 0,003 e0,9x = 1 ;
 e0,9x = 1 /0,003 ; 0,9x = ln(1/0,003) ~5,809 ; x ~ 5,809 / 0,9 ~6,5 mg / L.
5. On donne une primitive de f(x) : F(x) = -2500 / 9 ln(e-0,9x+0,003).
Estimer � l'unit� pr�s, le nombre d'oeufs pondus par mois, pour des concentrations en pesticide comprises entre 4 et 6 mg / L.
(F(6) / F(4) ) / (6-4).
-2500 / 18[ ln(e-0,9x6+0,003)- ln(e-0,9x4+0,003)] ~ -138,89 (-4,89 +3,495 ) ~ 194.

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 Exercice 2.
A. Taux d'h�moglobine chez les femmes en France.
L'an�mie se d�finit par un taux d'h�moglobine  dans le sang inf�rieur ou �gal � 12 g / dL.
Une femme est en polyglobulie si son taux d'h�moglobine est sup�rieur ou �gal � 16 g/ dL.
Soit T la variable al�atoire associ�e le taux d'h�moglobine. T suit la loi normale d'esp�rance � =14 et d'�cart type s = 1,15.
1. D�terminer la probabilit� qu'une femme soit en an�mie.
P(T < 12) =0,041.
2. En d�duire sans la calculatrice, la probabilit� qu'une femme soit en polyglobulie.
P(T >16)=P(T < 12) =0,041, par raison de sym�trie.

B. pr�visions d'erreurs d'analyses.
Un laboratoire proc�de � 300 d'analyse de taux  d'h�moglobine chaque mois. La probabilit� qu'une analyse soit erron�e est 0,005. On note X la variable al�atoire qui, � tout �chantillon de 300 analyses, associe le nombre d'analyses erron�es de cet �chantillon.
1. Quelle loi suit la variable X ? Justifier et donner les param�tres de cette loi.
Les pr�levements sont ind�pendants et leur nombre est fix� � n = 300.
Chaque tirage peut d�boucher seulement sur 2 r�sultats  : la probabilit� qu'une analyse soit erron�e est constante p = 0,005. La probabilit� qu'une analyse soit bonne est q = 1-p = 0,995.
La loi binomiale B(n=300, p = 0,005) est valide.
  2.a. D�terminer  la probabilit� qu'aucune des 300 analyses ne soit erron�e.
P(X =0) =0,22.
b. Calculer P(2 < X < 4) et interpr�ter.
P(X =2) + P(X=3) +P(X=4) =0,251 75 +0,125 67 +0,04689 ~0,42.
La probabilit� qu'il y ait 2, 3 ou 4 analyses erron�es  est �gale � 0,42.

C. D�lai des r�sultats des analyses.
Le laboratoire affirme que le d�lai moyen est de 60 minutes.
On souhaite tester cette hypoth�se � l'aide d'un test bilat�ral au seuil de 95 %. On note m le d�lai moyen pour fournir le r�sultat.
Hypoth�ses : H0 : m = 60 et H1 : m diff�re de 60.
On admet que suit la loi normale d'esp�rance m et d'�cart type 1,5.
b. Calculer la valeur du r�el h, tel que sous l'hypoth�se H0, on ait : P(60 -h < < 60 +h) =0,95..
h = 1,96 s =1,96 x 0,1,5 ~2,94.
2. Enoncer la r�gle de d�cision du test.
Intervalle de confiance :[60-2,94 ; 60 +2,94) soit [57,06 ; 62,94].
Si la moyenne appartient � cet intervalle, H0 est valide, sinon H1 est valide.
3. Sur un �chantillon de 100 analyses, on a relev� un d�ai moyen de 62,5 minutes. Que peut-on en conclure ,
62,5 appartient  � l'intervalle [57,06 ; 62,94] ; l'hypoth�se H0 est  valide.



  

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