Math�matiques
BTS groupe D2 M�tropole Antilles Polyn�sie 05/21.
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Exercice 1.(10 points).
Une
usine produit de la viande hach�e. On souhaite �valuer la dur�e de
conservation de cette viande hach�e dans une chambre froide � 0�C.
Partie A.
Voici le relev� du nombre de germes putr�fiants par cm2 tous les 5 jours � la surface d'un �chantillon de viande hach�e conserv�e dans la chambre froide.
1. Compl�ter la troisi�me ligne du tableau.
Nombre de jours de conservation ti
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0
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5
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10
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15
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20
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Nombre de germes par cm2 Ni
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1000
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4000
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199 000
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5 960 000
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48 600 000
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zi = ln(Ni)
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6,91
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8,29
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12,20
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15,60
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17,70
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2. D�terminer une �quation de la droite d'ajustement du nuage de points Mi(ti, zi).
z = 0,58 t +6,36.
3. Placer les points sur le graphique et tracer la droite d'�quation z = 0,6 t+6,4.
4. Cette droite est un ajustement du nuage de points ; ce mod�le reste valable jusqu'au 30� jour de conservation. Donner une estimation du nombre de germes putr�fiants par cm2 pour un stockage de 25 jours.
z = 0,6 x 25 +6,4 =21,4 ; N = e21,4 ~ 1,967 109= 1967 millions.
B. Etude de la fonction f(t) =600e0,6t sur [0 ; +oo[.
On admet que la fonction f mod�lise le nombre de germes par cm2 sur la surface de la viande conserv�e en chambre froide
1. D�terminer la limite de f en plus l'infini et interpr�ter.
Quand t tend vers plus l'infini, f(t) tend vers plus l'infini.
Le nombre de germes augmente au cours du temps et devient tr�s grand.
2 Calculer la d�riv�e f '(t).
f '(t) = 600 x0,6e0,6t =360e0,6t.
3. En d�duire le sens de variation de la fonction f(t).
La d�riv�e est strictement positive et la fonction f(t) est strictement croissante. Le nombre de germes cro�t ind�finiment..
4.a On d�finit le r�el m de la fa�on suivante :
Sans calculer m, interpr�ter sa valeur.
m = nombre moyen de germes par cm2 entre le 5� et le 10� jour de conservation.
b. Donner une primitive de la fonction f.
F =600 / 0,6e0,6t = 1000 e0,6t.
c. En d�duire que m = 200e6-200e3.
m = 1 /5 [1000 e0,6x10-1000 e0,6 x5]=200e6-200e3.
5.
On admet que la viande hach�e peut �tre commercialis�e si, lorsqu'elle
quitte l'usine, la concentration de germes � sa surface est strictement
inf�rieure � 3000 germes par cm2.
a. R�soudre l'in�quation f(t) < 3000.
600e0,6t < 3000 ; e0,6t < 5 ; 0,6 t < ln(5) ; t < ln(5) / 0,6 ( ~2,7)
b. En d�duire si l'usine peut conserver la viande hach�e plus de 2 jours avant la commercialiser.
Oui car le nombre de germes d�passe 3000 par cm2 au bout de 2,7 jours.
6. La viande peut �tre vendue � des particuliers tant que le nombre de germes par cm2 ne d�passe pas 27 000.
a. Donner la valeur num�rique donn�e par l'algorithme suivant en justifiant.
J=0
N=600
Tant que N < 27 000
J = J+1
N=600*e0,6*J
Fin tant que
Afficher J.
600*e0,6*J < 27000 ;
e0,6*J < 27 000 / 600 ; e0,6*J < 45 ; 0,6 J < ln(45) ; J < ln(45) / 0,6 soit environ 6 jours.
b. Interpr�ter cette valeur.
La limite de consommation est de l'ordre de 6 jours.
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Exercice 2. (10
points).
Partie A.
40 % des spas sont �quip�s de lampe UV et parmi eux, 2 % pr�sentent un probl�me de filtration.
Parmi les spas non �quip�s de lampe UV, 15% pr�sentent un probl�me de filtration.
On choisit un spa au hasard et on note les �v�nements :
L " spa �quip� de lampe Uv".
F : " probl�me de filtration".
1. Compl�ter l'arbre pond�r� suivant.
2. Montrer que p(F) = 0,098.
Formule des probabilit�s totales : 0,008+0,09 = 0,098.
3. Le spa choisit au hasard pr�sente un probl�me de filtation. Calculer la probabilit� qu'il ne poss�de pas de lampe UV.
PF( non L) =P(F n non L) / P(L) =0,09 / 0,098 ~0,918.
4. Lors d'une op�ration de maintenance sur 78 spas install�s, le technicien compte 12 spas avec un probl�me de filtration.
a. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion p des qpas pr�sentant un probl�me de filtration.
f = 12 /78 ~0,154.
b. D�terminer par un intervalle de confiance au seuil de 95 % de cette proportion p.
1,96 ( p(1-p) / 100)� =1,96 x(0,154 x0,846 / 78)�=0,080.
Intervalle de confiance : [0,154-0,080 ; 0,154 +0,080) soit [ 0,074 ; 0,234 ].
Partie B.
On
constate que la probabilit� que la lampe UV d'un spa tombe en panne au
cours des trois premiers mois d'utilisation est p = 0,03.
On pr�l�ve au hasard un lot de 200 lampes dans la production. On
appelle X la variable al�atoire qui, � un lot de 200 lampes, associe le
nombre de lampes qui tomberont en panne au cours des trois premiers
mois d'utilisation.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on pr�cisera les param�tres.
On choisit 200 lampes de mani�re ind�pendante. Deux issues sont
possibles " la lampe tombera en panne " ou" la lampe ne tombera pas en panne".
On r�p�te 200 fois une �preuve de Bernoulli.
X suit une loi binomiale de param�tre n =200 ; p = 0,03.
2. Calculer la probabilit� P(X < 10) et interpr�ter.
P (X < 10)=0,960.
La probabilit� qu'au plus 10 lampes UV tombent en panne au cours des trois premiers mois est �gale � 0,960.
3.
Calculer
l'esprance de X et interpr�ter.
E = n p = 200 x 0,03 = 6.
En moyenne, 6 lampes tombent en panne au cours des trois premiers mois d'utilisation.
Partie C.
Cette loi peut �tre approch�e par un loi de Poisson de param�tre l.
1. Justifier que l = 6.
l = np = 200 x0,03 = 6.
On note Y une variable al�atoire qui suit la loi de Poisson de param�tre l = 6.
2. Calculer P(Y=1).
P(Y=1)= 0,0149.
3. On admet que pour tout entier naturel k > 1 la probabilit� de l'�v�nement "Y = k" est donn�e par :
P(Y=k) = lk e-l / (1 x 2 x...x k)
La proposition "P(Y=200)=0" est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
P(Y=200) = 6200 xe-6 /200! ~0. Vrai.
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