Oscillateur harmonique, oscillateur anharmonique : stabilit�, instabillit�, Agr�gation 2019.

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Oscillateur harmonique.
On consid�re un pendule �lastique constitu� d'un point mat�riel M de masse m astreint � se d�placer sur un axe horizontal Ox, fixe dans le r�f�rentiel d'�tude suppos� galil�en. L'origine des abscisses O constitue une extr�mit� d'un ressort de  raideur k de longueur � vide l0 dont l'autre extr�mit� est fix�e au point M. Initialement le point M est l�ch� sans vitesse initiale depuis un point d'abscisse x0 > l0. Les frottements sont n�glig�s.

1. Montrer que l'�quation du mouvement de M peut se mettre sous la forme : x"+w02x=w02l0.
M est soumis � son poids, verticale vers le bas, � l'action du support, oppos� au poids et � la force de rappel exerc�e par le ressort  dirig�e suivant l'axe Ox ( sens contraire de l'axe si le ressort est �tir�) de valeur F = k(x-l0) avec x longueur du ressort.
Ecrire la relation fondamentale de la dynamique, projet�e sur l'axe Ox : mx" = -k(x-l0)
mx" +kx = kl0 ; x"+k / m x = k / m l0. On pose w02= k / m.
x"+w02x=w02l0.
2. Quelle(s) est (sont) la (les) force(s) qui travaille(nt) au cours du mouvement de M. Montrer qu'elle(s) d�rive(nt) d'une �nergie potentielle Ep(x) qu'on exprimera en rappelant au pr�alable les propri�t�s g�n�rales d'une fonction �nergie potentielle.
Le poids et l'action du support, perpendiculaires au support, ne travaillent pas.
Seule la force de rappel exerc�e par le ressort travaille.
L'�nergie potentielle est une fonction de la position de M, x-l0 dans ce cas.
Ep(x) = �k(x-l0)2 + Cste.
3. Tracer l'allure de cette fonction Ep(x) et en d�duire le domaine des valeurs de x accessibles au cours du mouvement.

Energie m�canique initiale : Em =Ep = �k(x0-l0)2.
Energie m�canique � la date t :  �k(x-l0)2+�mv2.
La seule force qui travaille �tant conservative, l'�nergie m�canique se conserve.
�k(x-l0)2+�mv2=�k(x0-l0)2.
mv2=k(x0-l0)2 -k (x-l0)2 > 0.
k( x0-x)(x+x0-2l0) >0.
x2 = x0, position initiale ; x+x0-2l0=0 ; x1=2l0-x0.
 4. R�soudre l'�quation obtenue � la question 1.
x"+w02x=0 ; solution : x = A cos (w0t) ;
Solution particuli�re : x =l0 ; solution g�n�rale : x = A cos (w0t) + l0.
A t = 0 : x = x0 et x' = -Aw0 sin((w0t) =0.
x0 = A +l0 ; A = x0-l0.
 x = ( x0-l0 ) cos (w0t) +l0.
5. On g�n�ralise l'�tude pr�c�dente dans le cas o� M, toujours astreint � se d�placer sur l'axe horizontal Ox est soumis � une r�sultante des forces qui d�rive d'une �nergie potentielle E(x). On suppose qu'une position d'�quilibre xe existe pour M. Quelle propri�t� poss�de l'�nergie potentielle en x = xe ? En �tudiant les petits mouvements de M autour de sa position d'�quilibre, obtenir une condition sur d2E/dx2(xe) pour que cet �quilibre soit stable  Que peut-on dire alors de E(x) en xe ?
L'�quation du mouvement s'�crit : m x" = -dE(x) / dx.
A l'�quilibre -dE(xe) / dx = 0.
L'�nergie potentielle E(x) atteint un extr�mum en xe.
On effectue un d�veloppement limit� � l'ordre 1 de dE(x) /dx au voisinage de xe :
dE(x) /dx = (x-xe) d2E(xe) /dx2 + e (x-xe).
Au voisinage de la position d'�quilibre : m x"= - (x-xe) d2E(xe) /dx2 ;
mx" +x d2E(xe) /dx2 = xe d2E(xe) /dx2.
Si d2E(xe) /dx2 >0 , on retrouve le cas de l'oxcillateur harmonique. ( �quilibre stable).
Dans le cas contraire, les solutions divergent et l'�quilibre est instable.
6. Dans le cas du pendule �lastique pr�c�dent, o� se trouve sa position d'�quilibre ? Est-il stable ou instable ?
Ep(x) est minimale en x = l0. La position d'�quilibre est stable.

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 Oscillateur anharmonique : stabilit�, instabilit�, m�tastabilit�.
On consid�re la nouvelle configuration du pendule repr�sent�e ci-dessous. le point M est toujours astreint � se d�placer sur l'axe horizontal x'Ax en ne subissant aucun frottement. L'origine de x est prise en A. L'�tude se fera dans le r�f�rentyiel galil�en o� l'axe Ax est fixe.
7. Montrer que la r�sultante des forces s'appliquant sur M dans le r�f�rentiel d'�tude d�rive d'une �nergie potentielle E'p(x).

E'p(x) =�k[ x2-2l0(d2+x2)�)] � une constante pr�s.
E'p(x) =�k((d2+x2)� -l0)2+ Cste.
On pose a = d / l0 : E'p(x) =�kl02[(a2+(x / l0)2)� -1]2+ Cste.
8. Pr�ciser les conditions d'�quilibre dans les cas a <1 et a >1.
On recherche pour quelles valeurs de x la fonction E'p(x) est etr�male. dE'p(x) / dx = 0.
dE'p(x) / dx =kx[1-(a2+(x / l0)2)-� ] =0.
Les racines sont : x =0 ; x = �l0(1-a2)�.
Pour a >1, il y a une seule position d'�quilibre x = 0.
Pour a <1, il y a trois positions d'�quilibre x = 0 et x = �l0(1-a2)�.
9. Tracer dans chacun des cas, l'allure de la fonction E'p(x). Qu'en d�duire quant � la stabilit� des diff�rentes positions d'�quilibre ?

Pour a >1, la position d'�quilibre x = 0 et stable.
Pour a < 1, la position d'�quilibre x = 0 et instable et les deux autres positions d'�quilibre x = �l0(1-a2)� sont stables.
10. On consid�re le cas a >1. D�terminer l'�quation des petits mouvements autour de la ( les) position(s) d'�quilibre stable(s). Montrer que ce mouvement se ram�ne � celui d'un oscillateur harmonique dont on exprimera la p�riode Tsup en fonction de k, m et a.
Relation fondamentale de la dynamique en projection sur l'axe horizontal :
mx"= -kx [1-(a2+(x / l0)2)-� ].
x"+k / m x [1-(a2+(x / l0)2)-� ]=0.
x"+w02 x [1-(a2+(x / l0)2)-� ]=0.
xe=0 ; pour les petits mouvements autour de cette position d'�quilibre, on effectue un d�veloppement limit� de (a2+(x / l0)2)-� :
(a2+(x / l0)2)-� =1 /a(1+(x / (al0))2)-� =1/ a(1-(x / (2al0))2).
Repport dans l'�quation diff�rentielle du mouvement en ne conservant que les termes d'ordre 1 en x :
x"+w02 x (1-1/ a )=0.
Il s'agit de l'�quation d'un oscillateur harmonique de pulsation w0 (1-1/ a )�.
Tsup = 2p / w0 (1-1/ a )-�= T0[ a /(a-1)]�.
11. On consid�re le cas a <1. D�terminer l'�quation des petits mouvements autour de la ( les) position(s) d'�quilibre stable(s). Montrer que ce mouvement se ram�ne � celui d'un oscillateur harmonique dont on exprimera la p�riode Tinf en fonction de k, m et a.
M�me m�thode avec xe = �l0(1-a2)� = dl0(1-a2)� .
Les petits mouvement autour de la positions d'�quilibre conduisent � x= xe + u avec u << | xeq| < l0.
L'�quation du mouvement s'�crit :

Le terme u2 / l02 est n�gligeable devant u / l0 et d2=1 : u"+w02 (1-a2)u=0.
Il s'agit de l'�quation d'un oscillateur harmonique de pulsation w0 (1- a2 )�.
Tinf = 2p / w0 (1- a2 )-�= T0[ 1- a2 ]-�.
12. Interpr�ter bri�vement la valeur obtenue pour Tinf quand a = 0. Proposer une explication physique pour les valeurs obtenues pour Tsup et Tinf quand a --> 1.
Pour de petites valeurs de a ( d tend vers z�ro, A et O sont confondus), Tinf tend vers T0.
Quand a tend vers 1, Tsup et Tinf tendent vers l'infini. Le mobile �cart� de sa position d'�quilibre met un temps tr�s long pour y revenir, le potentiel variant peu autour de cette position.



  

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