Tomographie par �mission de positons ( TEP).

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Dans un premier temps, un traceur radioactif �mettant des positons est inject� au patient. Ces traceurs sont des mol�cules organiques pour lesquelles un atome ou un groupe fonctionnel a �t� substitu� par un atome radioactif. Un traceur couramment utilis� est un d�riv� du glucose permettant d'imager le m�tabolisme de ce sucre.
Le patient est plac� � l'int�rieur du TEP-scan. Dans le corps du patient, les positons issus de la d�sint�gration radioactive subissent une annihilation avec les �lectrons du milieu g�n�rant des photons X ou g. Le patient est entour� par des cristaux scintillateurs suivis de photomultiplicateurs. Un cristal scintillateur est capable de convertir en lumi�re visible l'�nergie des photons X ou g re�us. Un photomultiplicateur, sensible uniquement � la lumi�re visible, convertit celle-ci en signal �lectrique qui peut ensuite �tre trait�.

Traceurs radioactifs.
On consid�re un atome ZAX de la mol�cule du traceur. La masse du noyau Mnoyau de cet atome d�pend de son nombre de nucl�ons et de l'�nergie de liaison entre ces derniers. Elle s'�crit :
Mnoyau (Z,A) = Zmp +(A-Z)mN-B/ c02.
mP et mN d�signent respectivement la masse du proton et celle du neutron ; B est l'�nergie de liaison du noyau en valeur absolue.

 1. Qu'est-ce qun positon ?
Un positon est l'antiparticule de l'�lectron. Le positon poss�de la m�me masse que l'�lectron et une charge +e.
 2.En excluant les noyaux l�gers, la courbe pr�c�dante permet de caract�riser la port�e des force d'interaction nucl�aire. Caract�riser cette port�e en justifiant par une analyse qualitative.
En excluant les noyaux l�gers, on remarque que Eliaison / A ~constante. L'�nergie de liaison est proportionnelle � A.
Un nucl�ons n'interagit qu'avec ses plus proches voisins. Les interactions nucl�aires sont donc de courte port�e.
 Afin d'�tudier la stabilit� des noyaux, on utilise le mod�le suivant :
B(Z,A) = avA-asurfA2/3-acZ2 / A1/3-asym(N-2Z)2 / A+d(Z,N).
N : nombre de neutrons du noyau ;
avA est l'�nergie de volume ;
- asurfA2/3 est l'�nergie de surface ;
-asym(N-Z)2 / A est l'�nergie coulombienne ;
d(Z,N) est le terme d'appariement de valeur :
apA-0,5 si N et Z sont pairs
0 si A est impair
apA-0,5 si N et Z sont impairs.
av = 15,4 MeV ; asurf = 16,9 MeV ; ac = 0,695 MeV ; asym = 22,4 MeV ; ap = 11,2 MeV.

3. D�terminer l'expression de Z du noyau le plus stable pour A impair fix� en fonction de A, asym et ac.
L'�nergie d'un atome est �gale au produit de sa masse par c02. L'�nergie de l'atome est minimale si sa masse est minimale.
Matome =Z(mp+me) +(A-Z)mn+[-avA+asurfA2/3+acZ2 / A1/3+asym(N-Z)2 / A] / c02.
N = A-Z.
Matome =Z(mp+me) +(A-Z)mn+[-avA+asurfA2/3+acZ2 / A1/3+asym(A-2Z)2 / A] / c02.
D�river Matome par rapport � Z, A �tant fix�, et annuler cette d�riv�e :
0 = mp+me-mn +[2acZ / A1/3-4asym(A-2Z) / A] / c02.
0 = mp+me-mn 4asym / c02 +2Z [ac / A1/3+4asym / A] / c02.
0 = (mp+me-mn ) c02-4asym +2Z [ac / A1/3+4asym / A].
0 = (mp+me-mn ) Ac02-4asym A+2Z [ac  A2/3+4asym].

Z =A [- (mp+me-mn )c02+4asym  ] /  [2( ac  A2/3+4asym) ].
mp+me-mn =1,672 1027-1,675 10-27 +9,1 10-31 =-2,1 10-30 kg.
(mp+me-mn )c02= -2,1 10-30 x9 1016 =-1,89 10-13 J ou -1,18 MeV.
(mp+me-mn )c02<< asym.
Z ~4Aasym /  [2( ac  A2/3+4asym) ].
Z ~A / [2( ac  A2/3/(4asym)+1) ].
 ac / (4asym)=0,695 / (4 x22,4)~8 10-3.
4. Commenter avec la figure suivante.

Pour A faible : les noyaux stables correspondent � N = Z = �A, en accord avec la formule pr�c�dente.
Pour les noyaux plus lourds : les noyaux stables poss�dent un exc�s de neutrons de plus en plus grand quand Z cro�t.
Zstable =�A / [( ac  A2/3/(4asym)+1) ] inf�rieur � �A.

5. On donne la liste des noyaux suivants 12551Sb, 12552Te, 12554Xe et 12555Cs. D�terminer le noyau le plus stable. Ecrire une r�action de d�sint�gration radioactive de type �+ faisant intervenir deux noyaux de la liste. Faire de m�me avec une d�sint�gration de type �-Z Z~125 / [2( 0,695  * 1252/3/(4*22,4)+1) ]~52.
Le noyau le plus stable est 12552Te.
12552Te -->12551Sb +01e + n..
12555Cs -->12554Xe +01e + n.
12554Xe -->12555Cs +0-1e +antineutrino.
12551Sb -->12552Te +0-1e+antineutrino.

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 Formation de l'image.
Les positons issus de la d�sint�gration radioactive sont frein�s jusqi� l'arr�t par la mati�re. Ils subissent ensuite une annihilation avec les �lectrons du milieu.
 2. D�terminer le nombre minimal de photons �mis par annihilation. Donner l'�nergie de chaque photon et la direction relative de ces photons.
A l'instant de l'anhnhilation, la quantit� de mouvement du syst�me ( �lectron + positon) est nulle. La conservation de la quantit� de mouvement du syst�me est conserv�e : il faut donc au minimum deux photons �mis  dans la m�me direction et en sens contraire.
La conservation de l'�nergie donne : 2 Ephoton = 2mec02 ;
Ephoton =9,1 10-31 x 9,0 1016 =8,19 10-14 J ou 5,12 105 eV =512 keV.
On se place dans ce cas dans la suite.  Apr�s annihilation au sein des tissus, les photons �mis se propagent jusqu'aux cristaux scintillateurs.
2. Justifier l'utilisation de ces cristaux.
Longueur des photons �mis : l = h c0 / E =6,63 10-34 *3,0 108 /(8,19 10-14)= 2,4 10-12 m.
Or les photomultiplicateurs sont sensibles dans le visible.
Les cristaux scintillateurs convertissent le rayonnement �mis en rayonnement visible.
 Pour simplifier, on consid�re un seul point �metteur dans le corps humain. Un dispositif �lectronique appel� corr�lateur permet d'identifier les photomultiplicateurs d�tectant des photons �mis simultan�ment.. La d�tection est dite simultan�e si les photons sont enregistr�s dans un intervalle de temps de l'ordre de 10 ns.
3. Expliquer � l'aide d'un sch�ma et d'un calcul d'ordre de grandeur comment l'image par TEP permet de retrouver la position du point �metteur.

La d�tection de deux photons �mis simultan�ment permet en th�orie de trouver le point d'�mission sur la droite joignant les deux scintillateurs.
Mais le temps de r�ponse des d�tecteurs est de l'ordre de 10 ns.
La pr�cision sur la position du point �metteur est de : 10.10-9 x3. 108 =3 m ( en dehors du corps humain).
Mais les annihilations de ce point �metteur sont tr�s nombreuses. Les statistiques et les algorithmes de construction d'images conduisent � une r�solution de quelques millim�tres.




  

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