Pi�zo�lectricit�. Agr�gation 2020
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Jacques et Pierre Curie ont d�couvert en 1880 l'effet pi�zo�lectrique.
Cet effet est pr�sent dans les mat�riaux cristallins ne poss�dant pas
de centre de sym�trie. Il se traduit par la capacit� de certains
matriaux � se polariser et � faire appara�tre des charges �lectriques
de surface suite � une contrainte m�canique qui les d�forme ( effet
direct). La d�formation r�sultant de l'application d'un potentiel
�lectrique est appel�e effet inverse. Un cristal pi�zo�lectrique peut
�tre utilis� comme capteur et actionneur
Mod�le �lectrique du quartz.
Un
cristal de quartz est taill� sous forme d'une lame � faces parall�les,
d'�paisseur e. Sur ces deux faces en regaed, on effectue un d�p�t
m�tallique permettant d'obtenir deux �lectrodes, puis de connecter
l'ensemble � un circuit �lectrique.
L'application d'une diff�rence de potentiel u entre les �lectrodes
conduit � l'apparition d'une charge �q sur celles-ci, et � une
variation d'�paisseur du quartz, d'une quantit� alg�brique x. La figure
suivante d�finit les conventions d'orientation.
On admet pour l'instant les �quations constitutives (EC).
q / C +ax = u ; mx"+dx'+kx+aq=0.
Les coefficients C, m, d, k et a sont des constantes positives.
1.
Etablir l'�quation diff�rentielle reliant la variation d'�paisseur x �
la diff�rence de potentiel appliqu�e aux bornes du quartz. En d�duire
l'�quation, not�e (E), v�rifi�e par la vitesse v = x'.
q / C +ax = u donne q = (u-ax) C.
Repport dans mx"+dx'+kx+aq=0 :
mx" +dx' +kx+a(u-ax) C =0.
mx" +dx' +(k-a2C)x= -Cau.
D�river par rapport au temps : mv" +dv' +(k-a2C)v=-Ca du /dt (E).
2. La
stabilit� du syst�me est �tudi�e pour le r�gime libre u = 0.
Qu'appelle-t-on stabilit� ? A quelle(s) condition(s) portant sur les
coefficients le syst�me est-il stable ?
En
absence d'excitation ext�rieure ( dans ce cas u =0 ), apr�s avoir subi
un �cart � sa position d'�quilibre, un syst�me est stable y revient.
Si u = 0, l'�quation (E) s'�crit : mv" +dv' +(k-a2C)v= 0.
Equation caract�ristique : mX2 +dX+(k-a2C)=0.
Discriminant D =d2-4m(k-a2C).
Si D >0, l'�quation poss�de deux racines re�lles not�es X1 et X2.
Si ces deux racines sont n�gatives, le syst�me est stable.
X1X2 =(k-a2C) / m >0 soit (k-a2C) >0.
X1+ X2 = -d /m < 0.
3. Dans toute la suite, on supposera que k > Ca2. R��crire l'�quation (E) en utilisant les grandeurs :
w0 =[(k-Ca2) / m]� et Q = mw0 / d.
v" +d / m v' +(k-a2C) / m v= -Ca / m du /dt.
v" +w0 / Q v' +w02 v= -Ca / m du /dt.
4. On suppose que u(t) est un �chelon de tension : u(t) = 0 pour t <0 et u(t)=E=constante pour t >0
Le cristal de quartz est initialement au repos. Pour Q > 0,5, montrer que la solution v(t) de cette �quation peut se mettre sous la forme v(t) = A e-t / t sin(w'0t).
Si t < 0, u(t) =0 et v(t) = 0.
Si t >0 : u(t) = Cste ; du /dt =0.
v" +w0 / Q v' +w02 v= 0.
Discriminant D = w0 2 / Q2-4w02 =w02 (1 / Q2-4)=w02 (1 -4Q2)/ Q2.
D < 0 si Q > 0,5.
Racines de l'�quation : X = -w0 /(2Q) [1�j(4Q2-1)�].
Donner les expressions de t et w'0 en fonction de Q et w0. Que dire de w0 lorsque Q >> 1 ; � quelle situation physique cette limite correspond-elle ?
t =2 Q / w0 ; w'0 = w0 / (2Q) (4Q2-1)�.
La solution g�n�rale de (E) v�rifiant v(t=0)=0 est : v(t) = A e-t/t sin ( w'0t) avec A une constante.
Lorsque Q >>1, w'0 ~w0, l'oscillateur oscille � la pulsation propre de l'oscilateur non amorti.
5. On d�finit le temps de r�ponse tq du quartz comme le temps au bout duquel l'enveloppe du signal est inf�rieure � 5 % de sa valeur initiale. Exprimer tq en fonction de Q et de la pseudo-p�riode d'oscillation. En d�duire une interpr�tation de Q.
L'enveloppe du sigal est v0(t) =A e-t / t .
De plus v0(t) < 0,05 v0(0) ; v0(t) < 0,05 A.
e-t / t < 0,05 ; t > t ln (1/0,05) ; t > t ln (20) ~3 t.
tq = t ln (20) = 2 Q ln(20) / w0~6 Q / w0.
Pseudo-p�riode d'oscillation T ' = 2p / w'0.
tq =T ' w'0 Q ln(20) / (w0 p)~ T ' w'0 3 Q / (w0 p) ~ T ' w'0 Q / w0 .
De plus si Q >>1, w'0 ~ w0 et tq ~ T' Q.
Interpr�tation de Q : nombre d'oscillations du syst�me pr�c�dant une diminution d'amplitude de 5 % de la valeur initiale.
On travaille � pr�sent en notation complexe, le quartz �tant aliment� par un g�n�rateur de pulsation w.
6. Le courant i parcourant la quartz est d�fini en convention r�cepteur. D�finir, puis calculer � partir de (EC), l'imp�dance complexe Z du dip�le. Celle-ci sera exprim�e en fonction de w, k, a, C, d et m.
7. On cherche � montrer que ce comportement est �quivalent � celui du dip�le �lectrique suivant.
Circuit �lectrique �quivalent � la lame de quartz.
Calculer l'imp�dance �quivalente Ze de ce mod�le. Par identification, v�rifier qu'elle se comporte comme Z. Donner les valeurs de Cs, Rs, Ls et Cp en fonction de C, a, m, d et k.
i = j w q.
Les �quations not�es (EC) s'�crivent :
q / C+ ax =u. (1)
mx"+dx'+kx+aq=0. (2)
x' = j w x ; x" = -w2 x ;
(-m w2 + d j w + k ) x+aq=0.
On pose A = -m w2 + d j w + k.
A x + aq=0.
(1) donne : x =(u - q / C)/ a ; par suite A (u - q / C)/ a + aq=0.
u - q / C+ a2q / A=0 ; u = q [ 1/ C- a2 / A] =i / (jw)[ 1/ C- a2 / A].
Z = u / i = 1 / (jw)[ 1/ C- a2 / A].
On identifie : C = Cp ; Cs =a2C2 /(k-Ca2) ; Rs = d / (a2C2) ; Ls = m / (a2C2)
8. Dans les quartz r�els, on peut avoir Q ~105, de sorte que R est tr�s faible. On �tudie dans cette question le cas Rs =0.
Exprimer l'imp�dance Z. Comparer ws � w0.
Pulsation de r�sonance s�rie : ws2 = 1 /(Ls Cs) ;
Ls Cs=m / (k-Ca2); par suite ws =w0, pulsation propre du quartz.
Pulsation de r�sonance parall�le : wp2 =(Cp+Cs) / (LsCsCp).
Pourquoi parle t-on de r�sonance en ws et d'antir�sonance en wp ? Que vaut le courant dans la branche s�rie � w = ws ?
Z est nulle si w = ws : le courant parcourant le quartz est donc tr�s grand. Il s'agit d'une r�sonance en courant.
Z est infinie si w = wp : le quartz n'est parcouru par aucun courant, il se comporte comme un interrupteur ouvert, il s'agit d'une antir�sonance.
Les valeurs typiques sont de l'ordre Cp ~10-12 F et Cs ~10-14 F. Calculer le param�tre (wp2-ws2) / ws2 et donner sa valeur num�rique. Qu'en conclure sur la position de ces deux pulsations ?
(wp2-ws2) / ws2 = wp2 / ws2 -1 =[ (Cp+Cs) / Cp]2-1 =1,012-1= 0,02.
Les deux pulsations sont tr�s proches.
Proposer une expression approch�e de (wp2-ws2) / ws2 en fonction de l'�cart relatif entre ws et wp.
(wp2-ws2) / ws2 =(wp - ws ) (wp + ws )/ ws2 ~2 (wp - ws ) / ws.
9. On suppose que Rs
diff�re de z�ro. On veut justifier que la r�sonance et l'antir�sonance
sont bien visibles s�par�ment. Le facteur de qualit� Q repr�sentant le
rapport entre la pulsation de r�sonance et la bande passante,
donner la largeur de la r�sonance et la comparer � l'�cart entre ws et wp. Si Q = 100, s�parerait-on la r�sonance de l'antir�sonance ?
Bande passante : Dw =w0 /Q = ws / Q.
Dw / w0 = 1 / Q = 10-5.
(wp - ws ) / ws =0,01.
Dw / w0 << (wp - ws ) / ws .
La r�sonance et l'antir�sonance sont bien s�par�es. Ce serait faux si Q = 0,01.
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Pi�zo�lectricit�.
Le quartz est un cristal de formule stoechiom�trique SiO2.
On y taille une lame mince. Selon l'orientation de cette lame par
rapport au r�seau cristallin, un effet pi�zo�lectrique peut appara�tre
: en 1880 J et P Curie ont d�couvert qu'une traction ou une compression
du cristal conduisent, en plus d'une variation de dimensions, �
l'apparition d'une polarisation du milieu.L'effet inverse est �galement
visible : le d�p�t de charges sur les faces d'une lame pi�zo�lectrique
conduit � l'allongement de celle-ci.
a. Coupe d'une maille d'un cristal de quartz ; b : position des charges
lorsqu'aucune force n'est exerc�e ; c : le cristal est �tir�
verticalement.
17. Justifier
que l'�tirement conduit � l'apparition d'un moment dipolaire local,
donc d'une polarisation. Donner son sens et sa direction.
Figure b
: absence d'�tirement, le barycentre des charges positives et le
barycentre des charges n�gatives sont confondus, situ�s au centre de la
maille hexagonale.
Figure c :
�tirement vers le haut. Le barycentre des charges positives est au
dessus du barycentre des charges n�gatives. Donc, il existe un moment
dipolaire dirig� vers le haut. La polarisation a la m�me direction et le m�me sens que la force.
18. Pour une lame
mince rectangulaire, d'�paisseur e et de surface S, �tir�e
perpendiculairement � ses grandes faces, donner les densit�s
surfaciques de charge apparaissant sur ces faces. En supposant la
polarisation uniforme, montrer qu'elles sont oppos�es l'une � l'autre.
On les notera �sp avec sp >0.
Face sup�rieure, densit� surfacique sP positive.
Face inf�rieure, densit� surfacique -sP n�gative.
19. On r�alise un
d�p�t m�tallique sur les grandes faces de la lame de quartz. On
s'int�resse � l'interface m�tal-quartz, lorsque celle-ci porte une
densit� surfacique de charge s. A l'aide des propri�t�s de discontinuit� du vecteur d�placement, montrer que  � la surface du quartz pi�zo�lectrique.
On note : 1 le quartz et 2 l'armature m�tallique.
A l'interface de ces deux milieux, le vecteur d�placement subit la discontinuit� normale :
Dans le m�tal, � l'�quilibre : 
A la surface du quartz : slibre = s.
En cons�quence, � la surface du quartz pi�zo�lectrique :
20. La lame de quartz m�tallis�e est �tir�e par une force 
de sorte que son �paisseur devient e +x avec |x| << e. La
polarisation du quartz doit inclure un terme pi�zo�lectrique ; cet effet
�tant lin�aire, on en rend compte en introduisant la constante a telle que, dans le quartz :
o� e =e0er est la permitivit� di�lectrique totale du quartz et c sa susceptibili�.
Donner le champ �lectrique dans la lame en fonction de x et de la
charge q port�e par l'armature du haut. En d�duire que la diff�rence de
potentiel aux bornes des armatures m�talliques est : q / C + a x = u. (CEM1).
Dans le quartz, entre les aramtures m�talliques, le champ �lectrique et
la polarisation sont uniformes. ( condensateur plan et milieu lin�aire,
homog�ne et isotrope ). Il en est de m�me du vecteur dicontinuit�
normale.
21. L'effet
piezo�lectrique inverse se traduit de m�me par une force due � la
charge q qui s'ajoute au pur effet de l'allongement. La force de
traction � exercer s'�crit alors F = kx +a q ( CEM2). les deux �quations ( CEM1) et (CEM2) traduisent ainsi le couplage �lectrom�canique existant dans une lame pi�zo�lectrique.
A charge nulle ( q = 0), quelle propri�t� m�canique l'�quation (CEM2) traduit-elle ? A quelle grandeur m�canique k est-il reli� ?
Pour q =0, (CEM2) s'�crit : F = k x, traduisant l'�lasticit� du milieu.
k est li� au mod�le de Young e du quartz.
F / S = e x / e ; F = e x S / e = kx.
22. A force nulle, quelle est � pr�sent la capacit� apparente de l'ensemble {lame + �lectrodes } ?
On admet que les param�tres obtenus dans les questions pr�c�dentes
restent valables en r�gime dynamique. On admettra alors que les
variations d'�paisseur x de la lame de quartz peuvent �tre mod�lis�es �
l'aide de l'�quation dif�rentielle :
mx"+dx'+kx+aq=0
o� m est une masse effective et d un coefficient positif.
Si F = 0, x = -aq / k.
Par suite u = q / C -a2q / k = q / C'.
La capacit� apparente de l'ensemble C' = C / ( 1-Ca2 / k ) est sup�rieure � celle d'une lame non pi�zo�lectrique.
23. A partir des �quations constitutives(EC), effectuer un bilan
�nerg�tique dans la lame. On pourra l'�crire en termes de puissance
sous la forme :
P�lectrique = Pfrottements + d /dt (Ecin�tique + E�lastique +Econdensateur + Eem)
Identifier chacun des termes.
Multiplions par i = q' la premi�re �quation : q / C +ax = u ;
q'q / C +ax q' = u i.
Multiplions par la vitesse x' de d�placement du centre d'inertie de la lame la seconde �quation : mx"+dx'+kx+aq=0.
mx"x'+dx'2+kxx'+aq x'=0.
d�riv�e par rapport au temps de (aq x) : a(q x'+ q' x).
La somme des deux �quations donne :
u i =d x'2+d / dt [ 0,5 m x'2 +0,5 kx2 +0,5 q2 / C +aq x].
P�lectrique = Pfrottements + d /dt (Ecin�tique + E�lastique +Econdensateur + Eem).
P�lectrique : puissance fournie par le g�n�rateur.
Pfrottements : puissance dissip�e par les frottements.
0,5 m x'2 : �nergie cin�tique.
0,5 kx2 : �nergie �lastique.
0,5 q2 / C : �nergie stock�e dans le condensateur.
aq x : couplage entre la charge et l'allongement ( �nergie �lectrom�canique).
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