Physique
chimie, exp�riences historiques sur la chute des corps.
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Dans
toute cette premi�re partie, le r�f�rentiel terrestre est suppos�
galil�en. On note t la variable associ�e au temps et g l’intensit� du
champ de pesanteur terrestre (on prend g≈10 m.s−2 et on consid�re ce champ uniforme). On n�glige �galement l’effet de la pouss�e d’Archim�de.
Pour Aristote, la vitesse de chute d’un mobile est proportionnelle � son poids.
Cependant, Galil�e proposa l’exp�rience de pens�e suivante : […].
Consid�rons deux masses m1 et m2< m1 en chute libre. D’apr�s Aristote, la masse m1 atteint le sol avant la masse m2. En reliant, � l’aide d’un fil, les masses m1 et m2, on obtient alors un syst�me (S) plus lourd que la masse m1 seule et donc a priori plus rapide pendant sa chute. Cependant ce syst�me (S) est ralenti par la masse m2 (m2 plus lente faisant l’effet � d’un parachute �). (S) est donc plus lent que la masse m1
seule alors qu’il est plus lourd, il y a donc un paradoxe…. �tienne
Klein, extrait d’une conf�rence intitul�e � De quoi l’�nergie est-elle
le nom ? �
En 1602, Galil�e a l’intuition que le mouvement de chute libre
(c’est-�-dire sans frottement) d’un corps dans le champ de pesanteur
terrestre est ind�pendant de la masse de ce corps. Mais il se heurte �
l’impossibilit� de mesurer pr�cis�ment la vitesse d’un corps tombant �
la verticale. Galil�e entreprit alors d’�tudier le mouvement de chute
de corps � l’aide d’un plan inclin� d’un angle a
par rapport � l’horizontale. On note Oz l’axe vertical ascendant et Ax
l’axe confondu avec la ligne de plus grande pente du plan inclin�. On
pose OA =h.

Ne disposant pas de chronom�tres pr�cis, Galil�e fait rouler des billes
sur un plan inclin� en faisant teinter des chlochettes que la bille
fera sonner en passant.. Il dispose ces chlochettes � intervalles
variables sur le plan jusqu'� obtenir un son r�gulier.
Le tintement est r�gulier lorsque les chlochettes sont plac�es � des intervalles 1, 3, 5, 7...
En une unit� de temps, la bille parcourt une unit� de distance.
En 2 unit�s de temps, la bille parcourt 3+1=4 unit�s de distance.
En 3 unit�s de temps, la bille parcourt 5+3+1=9 unit�s de distance.
On
souhaite �tudier cette exp�rience de Galil�e en analysant le mouvement
d’un mobile, assimil� � un point mat�riel de masse m rep�r� par le
point M, l�ch� sans vitesse initiale depuis le point A. On n�glige tout
frottement lors de cette chute s’effectuant sur le plan inclin� .
Q1. D�terminer, � l’aide de la relation fondamentale de la dynamique, l’acc�l�ration x" ̈(t)= a du point M en fonction de g et a.
Le syst�me est soumis � son poids et � l'action du plan.

. Q2. Exprimer le temps de chute t0 n�cessaire pour parcourir, suivant la ligne de plus grande pente, la distance ℓ en fonction de g, h et ℓ. Commenter.
La vitesse est une primitive de l'acc�l�ration et la vitesse initiale est nulle : v(t) = g sin a t avec sin a = h / l.
La position est une primitive de la vitesse et la position initiale est l'origine de l'axe Ax.
x =�g h / l t2.
l =�g h / l t02; t02=2l2 / (gh) ; t0 = l (2 /(gh))�.
Si le temps double, alors la hauteur h quadruple ; si le temps double,
la distance parcourue sur le plan inclin� est multipli�e par 4.
Pour un mobile partant du repos et en n�gligeant les frottements, la distance parcourue est proportionnelle au carr� du temps.
Q3. Un enseignant pose la question � choix multiple suivante :
Soient deux points mat�riels P1 et P2 de masses respectives m1 et m2 (m2 < m1).
On l�che ces deux masses, sans vitesse initiale, d’une hauteur h sur un
plan inclin�. Quel mobile touche le sol en premier ? On n�glige l’effet
des frottements. �
A) P1 ; B) P2 ; C) P1 et P2 touchent le sol en m�me temps.
15 �l�ves r�pondent A) et 20 r�pondent C).
Proposer une rem�diation.
Exp�rience du tube de Newton dans lequel on fait le vide. Une feuille
et une bille en acier partant du repos, touchent en m�me temps le sol.
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b) Saut en chute libre de Felix Baumgartner.
Le 14 Octobre 2012, s’�levant en ballon � 39 kilom�tres d’altitude pour
effectuer un saut en chute libre, l’Autrichien Felix Baumgartner
quittait la troposph�re, la premi�re couche de l’atmosph�re terrestre.
[…]. Il est incontestable que F. Baumgartner a franchi le mur du son.
Cependant, […] il est peu probable que cela ait cr�� une onde de choc
notable […]. Il est par ailleurs mentionn� que ce saut pourra alimenter
la r�flexion sur les proc�d�s de survie des astronautes lors d’un
retour sur Terre : au lieu d’attendre la destruction de leur vaisseau
spatial dans les hautes couches de l’atmosph�re, ne peuvent-ils pas sauter sur Terre et revenir comme F. Baumgartner ?
Le graphe 1 ci-dessous donne l'�volution de la vitesse en chute r�elle en fonction du temps.

Le graphe 2 donne l'�volution de
l'altitude de F.Baumgartner en fonction du temps, enregistr�e � l'aide
de 4 balises GPS plac�es dans sa combinaison.

Q4. Estimer en explicitant la m�thode, l’�paisseur d de l’atmosph�re dans laquelle F. Baumgartner est en chute libre (mouvement de chute
pour lequel on n�glige les frottements).
D'apr�s
le graphe 1, la courbe est un segment de droite entre t=0 et t=40 s. La
chute est donc libre. Par contre entre 40 et 46 s, la courbe n'est pas
une droite et la chute n'est plus libre.
Altitude de d�part : 39 km ; altitude atteinte � t = 40 s : 32 km ; d = 39-32 = 7 km.
L’�tude du mouvement de chute pendant les 250 premi�res secondes
n�cessite de prendre en compte les frottements de l’air : dans ces
conditions la vitesse de chute d’un mobile est fonction de la masse de
ce mobile. En effet, lorsque F. Baumgartner atteint sa vitesse limite
pour t=200 s, il se trouve � 10 km d’altitude et � une pression
atteignant d�j� 20 % de la pression au niveau du sol �gale � 1,0 x 105 Pa. Pour t ≤ 250 s, on supposera l’atmosph�re isotherme et � la temp�rature 𝛳0=−50 �𝐶 (on donne �galement la valeur de la masse molaire 𝑀 de l’air : 𝑀=29 g.mol−1 et on rappelle la valeur de la constante des gaz parfaits R=8,3 J.K−1.mol−1).
Pendant cette �tude, le champ de pesanteur pourra toujours �tre
consid�r� uniforme et �gal � g. F. Baumgartner, de masse m, est anim�
d’une vitesse 𝑣⃗(𝑡)=𝑣(𝑡𝑡) 𝑢𝑧⃗ par rapport au r�f�rentiel
terrestre (le vecteur 𝑢𝑧⃗ est associ� � un axe Oz vertical et
ascendant, l’origine O �tant prise au niveau du sol). Si n�cessaire, il
est possible de mod�liser l’action de l’air sur F. Baumgartner par une
force de tra�n�e dont la puissance est donn�e par l’expression 𝑃𝑓(𝑡)=0,5𝜌(𝑧 )𝐴C𝑣3
o� 𝜌(𝑧 ) est la masse volumique de l’atmosph�re terrestre, 𝐴 est la
surface apparente de F. Baumgartner et 𝐶 est le coefficient de tra�n�e
dans l’air (𝐴 et 𝐶 sont suppos�s constants).
Q5. R�solution de probl�me : estimer la valeur de la masse volumique de l’air ainsi que celle de la c�te verticale 𝑧0 de F. Baumgartner lorsqu’il atteint sa vitesse maximale. Pourquoi l’onde de choc �mise en 𝑧0 n’est pas � notable � ?
Lorsque la vitesse maximale est atteinte, le poids de F Baumgartner compense les forces de frottement dues � l'air.
Masse de F. Baumgartner et de son �quipement : m = 120 kg.
Vitesse maximale atteinte : 1342 km / h soit 1342 / 3,6 ~373 m /s.
Surface de r�f�rence A = 0,4 m2 ; coefficient de tra�n�e C = 1,1 .
mg = 0,5 AC r v2 ; r =2 x120 x10 /(0,22 x3732)~0,08 kg m-3.
Pression � cette altitude, l'air �tant assimil� � un gaz parfait :
p V= nRT ; p = m / (M(air) V) RT = r /M(air) RT =0,08 / 0,029 *8,3 *(273-50)=5,1 103 Pa.
On suppose que pour des altitudes
comprises entre 11 km et 20 km, la temp�rature T de
l'atmosph�re est constante.
On supposera que g garde une valeur
constante. On donne la pression � l'altitude z :
p(z) =p0
exp(-M(air)g z / (RT)).
ln(p(z) / p0) = -M(air)g z /(RT).
z = -RT ln(p(z) / p0) / (M(air) g) =-8,3 *(273-50) ln(5,1 103 / 1,0 105) / (0,029 *10)~19 km.Exp�riences historiques sur la chute libre.Exp�riences historiques sur la chute libre.
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