Exp�riences
historiques en physique : Galil�e, Young, Joule, Hertz.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
..
..
|
.
.
|
..
..
......
...
|
Galil�e
et la chute des corps.
Dans
toute cette premi�re partie, le r�f�rentiel terrestre est suppos�
galil�en. On note t la variable associ�e au temps et g l’intensit� du
champ de pesanteur terrestre (on prend g≈10 m.s−2 et on
consid�re ce champ uniforme). On n�glige �galement l’effet de la
pouss�e d’Archim�de.
Pour Aristote, la vitesse de chute d’un mobile est proportionnelle �
son poids.
Cependant, Galil�e proposa l’exp�rience de pens�e suivante : […].
Consid�rons deux masses m1 et m2< m1
en chute libre. D’apr�s Aristote, la masse m1 atteint le sol
avant la masse m2. En reliant, � l’aide d’un fil, les masses
m1 et m2, on obtient alors un syst�me (S) plus
lourd que la masse m1 seule et donc a priori plus rapide
pendant sa chute. Cependant ce syst�me (S) est ralenti par la masse m2
(m2 plus lente faisant l’effet � d’un parachute �). (S) est
donc plus lent que la masse m1
seule alors qu’il est plus lourd, il y a donc un paradoxe…. �tienne
Klein, extrait d’une conf�rence intitul�e � De quoi l’�nergie est-elle
le nom ? �
En 1602, Galil�e a l’intuition que le mouvement de chute libre
(c’est-�-dire sans frottement) d’un corps dans le champ de pesanteur
terrestre est ind�pendant de la masse de ce corps. Mais il se heurte �
l’impossibilit� de mesurer pr�cis�ment la vitesse d’un corps tombant �
la verticale. Galil�e entreprit alors d’�tudier le mouvement de chute
de corps � l’aide d’un plan inclin� d’un angle a
par rapport � l’horizontale. On note Oz l’axe vertical ascendant et Ax
l’axe confondu avec la ligne de plus grande pente du plan inclin�. On
pose OA =h.
Ne disposant pas de chronom�tres pr�cis, Galil�e fait rouler des billes
sur un plan inclin� en faisant teinter des chlochettes que la bille
fera sonner en passant.. Il dispose ces chlochettes � intervalles
variables sur le plan jusqu'� obtenir un son r�gulier.
Le tintement est r�gulier lorsque les chlochettes sont plac�es � des
intervalles 1, 3, 5, 7...
En une unit� de temps, la bille parcourt une unit� de distance.
En 2 unit�s de
temps, la bille parcourt 3+1=4 unit�s de distance.
En
3 unit�s de temps, la bille parcourt 5+3+1=9 unit�s de distance.
On
souhaite �tudier cette exp�rience de Galil�e en analysant le mouvement
d’un mobile, assimil� � un point mat�riel de masse m rep�r� par le
point M, l�ch� sans vitesse initiale depuis le point A. On n�glige tout
frottement lors de cette chute s’effectuant sur le plan inclin� .
Q1. D�terminer, �
l’aide de la relation fondamentale de la dynamique, l’acc�l�ration x"
̈(t)= a du point M en fonction de g et a.
Le syst�me est soumis � son poids et � l'action du plan.
. Q2. Exprimer le temps de
chute t0 n�cessaire pour parcourir, suivant la ligne de plus
grande pente, la distance ℓ en fonction de g, h et ℓ. Commenter.
La vitesse est une primitive de l'acc�l�ration et la vitesse initiale
est nulle : v(t) = g sin a
t avec sin a = h
/ l.
La position est une primitive de la vitesse et la position initiale est
l'origine de l'axe Ax.
x =�g h / l t2.
l =�g h / l t02;
t02=2l2
/ (gh) ; t0 = l
(2 /(gh))�.
Si le temps double, alors la hauteur h quadruple ; si le temps double,
la distance parcourue sur le plan inclin� est multipli�e par 4.
Pour un mobile partant du repos et en n�gligeant les frottements, la
distance parcourue est proportionnelle au carr� du temps.
Q3. Un enseignant
pose la question � choix multiple suivante :
Soient deux points mat�riels P1 et P2 de masses
respectives m1 et m2 (m2 < m1).
On l�che ces deux masses, sans vitesse initiale, d’une hauteur h sur un
plan inclin�. Quel mobile touche le sol en premier ? On n�glige l’effet
des frottements. �
A) P1 ; B) P2 ; C) P1 et P2
touchent le sol en m�me temps.
15 �l�ves r�pondent A) et 20 r�pondent C).
Proposer une rem�diation.
Exp�rience du tube de Newton dans lequel on fait le vide. Une feuille
et une bille en acier partant du repos, touchent en m�me temps le sol.
Exp�rience des trous d'Young.
Dans
toute cette partie, l'air poss�de les propri�t�s optiques assimilables
� celles du vide.
En 1801, T Young entreprend une exp�rience d'interf�rences visant �
d�montrer que la lumi�re visible peut �tre d�crite comme une onde
scalaire : on parle de vibration lumineuse. L'observation exp�rimentale
de cette figure d'interf�rences a permis de remettre en cause le mod�le
particulaire de la lumi�re que Newton avait propos� au 17� si�cle.
En classe, on peut facilement mettre en �vidence l'interf�rence � deux
ondes lumineuses � l'aide du montage repr�sent� ci-dessous. Il est
constitu� :
- d'un laser �mettant un faisceau lumineux cylindrique d'axe Oz. Cette
source est suppos�e monochromatique, de pulsation w et de longueur d'onde l0.
- d'un plan E perc� de deux trous circulaires, identiques, de rayon b,
distants de a et centr�s sur les points S1 ( 0 , �a , -D et S2
( 0 , -�a ; -D). Le faisceau �claire enti�rement et de mani�re uniforme
ces deux trous sources.
- d'un �cran de projection E' parall�le � E et situ� � une distance D
de (E) telle que D >> a. ( On choisit D = 1 m, a = 0,5 mm). Un
point M quelconque de l'�cran (E') est rep�r� par les variables ( x, y,
0). Le champ d'onservation est tel que |x| << D et |y | <<
D.
Q1. Montrer que
l'�clairement E(M)
en M est donn� par : E(M)=
2 E0 [ 1 + cos (
2 p a y) / ( l0D)]
si on consid�re que les vibrations lumineuses au point M, issues des
deux trous source S1 et S2, sont d�crites
respectivement par les
expressions s1(M, t) = S0 cos [wt-2p S1M / l0] et s2(M,
t) = S0 cos [wt-2p S2M / l0]. S0
est une constante. E0 est
l'�clairement qui serait obtenu en masquant l'un des deux trous.
D�crire la figure d'interf�rences.
Au point M de
l'�cran :
vibration
r�sultante : s(M,t) =s1(M,
t) +s2(M, t)
=S0 ( cos
[wt-2p S1M / l0]+cos [wt-2p S2M / l0] ).
�clairement : E(M)=
< s(M, t)
2>
E(M)= S20
( < cos2
[wt-2p S1M / l0] > + < cos2 [wt-2p S2M / l0] )>+
< cos
[wt-2p S1M / l0].cos [wt-2p S2M / l0] > ).
<
cos2 [wt-2p S1M / l0] > = < cos2 [wt-2p S2M / l0] )>0,5.
< cos [wt-2p S1M / l0].cos [wt-2p S2M / l0] > = <
cos [2wt-2p S1M / l0+2p S2M / l0] >+ <
cos[ 2p S2M / l0-S1M / l0] >.
< cos [2wt-2p S1M / l0+2p S2M / l0] > = 0
E(M)= S20
( 1+ cos[ 2p / l0 (S2M-S1M)] ).
S1M2 =(y-�a)2 +x2 +D2.
S2M2 =(y+�a)2 +x2 +D2.
S2M2 -S1M2 =2ay.
S2M2
-S1M2 =(S2M+S1M)(S2M-S1M)
avec S2M+S1M
~2D.
S2M-S1M~ay
/ D.
E(M)= S20 [
1 + cos ( 2 p a
y) / ( l0D))]
avec S20=2 E0.
Q2.
Comparer l'�clairement calcul� � la question pr�c�dente avec la figure
ci-dessous obtenue exp�rimentalement sur l'�cran (E'). Quel autre
pph�nom�ne optique doit-on prendre en compte pour comprendre cette
figure exp�rimentale ?
Dans la formule ci-dessus, la variable x n'appara�t pas. L'�clairement
d�pend par contre de la variable y : les franges d'interf�rences seront
donc horizontales. Les cercles sont dus
au ph�nom�ne de diffraction par les deux trous S1 et S2.
Q3. Montrer que
cette figure permet d'estimer les valeurs de la longueur d'onde l0 et de b.
Les franges lumineuses correpondent aux interf�rences
constructives pour lesquelles cos ( 2 p a y) / ( l0D)) = 1.
2 p
a y / ( l0D)
= 2 k p avec k
entier relatif.
a y / ( l0D)= k
Interfrange,
distance entre deux franges lumineuses cons�cutives : i = l0D
/ a.
Sur la figure, 1,0 cm correspond � 10 interfranges : i =1,0 10-3
m.
l0=a
i / D=5,0 10-4 x 1,0 10-3 / 1 =5,0 10-7
m.
Largeur de la tache de diffraction : L =2 l0 D / b =
2,0 cm.
b =2 l0 D / L =2 x 5,0 10-7
x 1 /(2,0 10-2) =5,0 10-5 m.
|
...
|
....
|
Exp�rience de Joule.
En 1843, James Prescott Joule proposa une exp�rience permettant de
mesurer l'�quivalent m�canique de la chaleur.
Une masse m = 3 x101 kg, initialement immobile � une hauteur
H = 2 m, entra�ne la rotation d'ailettes lors de son mouvement de
chute. Ce mouvement de translation de la masse m est converti en
mouvement de rotation � l'aide d'un fil inextensible, encastr� dans une
poulie et enroul� autour de l'axe de rotation des ailettes. Les
ailettes sont dans une enceinte suppos�e calorifug�e et remplie d'eau (
l'eau est suppos�e initialement au repos ). On note T la temp�rature de
la masse d'eau pr�sente dans l'enceinte et mesur�e � l'aide d'un
thermom�tre. On n�glige tous les frottements, sauf ceux associ�s � la
viscosit� de l'eau pr�sente dans le calorim�tre. On donn g = 4 x 101
m s-2.
Le travail des forces de viscosit� de l'eau est � l'origine d'une
augmentation de la temp�rature T. J.P Joule associe cette �l�vation de
temp�rature � un transfert thermique �quivalent Q ( exprim� en calorie
( cal)). La capacit� thermique de l'ensemble du calorim�tre ( eau,
ailettes et enceinte ) vaut c = 5 kcal K-1. J.P. Joule
effectue � 20 reprises le mouvement de chute de la masse m sur une
hauteur H et note la variation de temp�rature DT = 0,6 �C. On note W le
travail m�canique du poids, exprim� en joule (J), mis en jeu lors
des mouvements de chute et A la valeur de l'�quivalent m�canique de la
chaleur tel que A = W / Q.
Q1. D�terminer la
valeur de A et interpr�ter la valeur obtenue.
W = m g H = 3 x 101 x 1 x101 x 2 x 20~1 x 104
J.
Q = c DT = 5 x
0,6 =3 kcal = 3 103 cal.
A =W / Q = 1 x 104 / (3 x 103) ~ 3 J cal-1.
Valeur bien diff�rente de 4,185 J / cal ( �cart relatif ~30 %).
L'ensemble des mesures sont peu pr�cises. Toutes les valeurs sont
donn�es avec un seul chiffre significatif.
Autre exemple de conversion d'un travail
en transfert thermique : la bouilloire.
Activit� exp�rimentale en terminale.
Vous avez � disposition une bouilloire, un thermom�tre, une balance, un
chronom�tre et un wattm�tre.
Proposer puis r�aliser un protocole permettant d'obtenir le
rendement de la bouilloire.
Mesure de la masse d'eau contenue dans la bouilloire :
Peser la bouilloire vide, puis peser la bouilloire contenant une masse
m d'eau.
Rep�rer la temp�rature initiale de l'eau.
Brancher le wattm�tre puis la bouilloire tout en faisant d�marrer
le chronom�tre.
Relever la temp�rature de l'eau au bout d'une minute.
R�sultats obtenus :
Temp�rature
initiale Ti(�C)
|
Temp�rature
finale Tf(�C) |
Masse
d'eau m (kg)
|
Temps
de chauffage Dt
(s)
|
Puissance
moyenne consomm�e P (W)
|
30,0
�0,5
|
48,5
�0,5
|
1,670
�0,005
|
67,0
�0,5
|
2515
� 5
|
Capacit� thermique massique de l'eau c = (4185 � 1 ) J kg-1 K-1.
D�terminer
le rendement de la bouilloire avec une estimation de son incertitude.
Commenter.
Energie gagn�e par l'eau :
Q = m c DT =1,670 x 4185 (48,5-30,0)=1,29 105 J.
Incertitude sur la diff�rence de temp�rature : u(DT) =[u(Ti)2+u(Tf)2]� .
u(DT) =[0,52+0,52]� =0,7 �C.
Incertitude sur Q : u(Q)= Q [(u(m) / m )2 +(u(c) / c )2 +(u(DT) / DT )2]�.
u(Q)= 1,29 105 [(0,005 / 1,670 )2 +(1 / 4185 )2 +(0,7 / 18,5 )2]�.
u(Q) =1,29 105(9 10-6 +6 10-8 +1,4 10-3)�=4,9 103 J.
Q =(1,29 �0,05) 105 J.
Energie �lectrique consomm�e : E = P Dt=2515 x 67,0 =1,69 105 J.
Incertitude sur E : u(E)= E [(u(P) / P )2 +(u(Dt) / Dt )2]�.
u(E)= E [(u(P) / P )2 +(u(Dt) / Dt )2]�.
u(E)= 2515 [(5 / 2515 )2 +(0,5 / 67 )2]�=2515 [4 10-6 +5,6 10-5]�=19,4 J.
E =(1,69 �0,0002)105 J.
Rendement : h =Q / E =1,29 105 / (1,69 105)=0,763.
Incertitude sur le rendement : u(h)= h [(u(E) / E )2 +(u(Q) / Q)2]�.
u(h)=0,763 ( 19,4/ (1,69 105 )2 +(4,9 103) / (1,29 105)2]�.
u(h)=0,763 (1,3 10-8 +1,4 103)� =0,03.
h =0,76 �0,03.
Il y a des pertes thermiques lors de l'exp�rience. L'�nergie �lectrique
est utilis�e pour chauffer l'eau et les mat�riaux constituants la
bouilloire.
Exp�rience de Hertz.
En 1888, Hertz proposa un dispositif permettant de d�montrer le
caract�re ondulatoire des ph�nom�nes �lectromagn�tiques en utilisant un
oscillateur ( � l'origine de l'�mission d'une onde �lectromagntique
suposs�e quasi-sinuso�dale et de fr�quence h0 = w0 / (2p), une antenne de r�ception et des plaques de zinc.
La pr�sence d'une plaque de zinc en z=0, suppos� �tre un m�tal
parfaitement conducteur, permet une r�flexion des champs
�lectromagn�tiques dans l'espace z < 0.
Hertz pensait que si le champ �lectromagn�tique �tait une onde alors,
comme dans le cas de la corde de Melde, la formation d'une onde
stationnaire �tait possible dans l'espace z <0 par superposition
d'une onde incidente d�crite, en repr�sentation complexe par
l'expression  et d'une onde r�fl�chie d�crite par  o� E0, F, E0,r sont des constantes r�elles
et k0 = w0 / c est le nombre d'onde.
Q1. En admettant que la relation de passage v�rifi�e par le champ �lectrique totale s'�crive  et que le champ �lectrique soit nul dans le m�tal, montrer que l'on peut choisir E0 = -E0,r ; F = 0
Dans l'hypoth�se o� E0 = -E0,r ; F = 0 :
En accord avec un champ �lectrique nul dans le zinc, conducteur suppos� parfait.
Le champ magn�tique r�sultant est donn� par l'expression 
L'antenne de r�ception est mod�lis�e par un circuit filiforme de g�om�trie carr�e ( c�t�s de longueur a). On rep�re par zC le centre de l'antyenne.
Q2. Exp�rimentalement, on fixe k0a << 1, justifier que l'on puisse approcher le champ magn�tique par l'expression  en tout point de la surface de la surface carr�e d�limit�e par le contour de l'antenne.
k0 = 2 p / l ; 2 p a / l << 1.
Si la longueur d'onde l est tr�s sup�rieure aux dimensions de l'antenne, la variation spatiale du champ �lectrique est n�gligeable.
Q3. D�terminer l'expression de la force �lectromagn�tique induite e qui appara�t dans l'antenne en utilisant la loi de Faraday.
e= - dF / dt = -2E0 / c w0 a2 cos(k0 zc) sin (w0t).
Q4. En d�duire l'expression de la distance dm entre deux points cons�cutifs de l'axe Oz o� l'amplitude de la fem induite e est maximale.
Deux points distants de dm sont tels que : k0dm = p ; dm = p / k0.
Hertz en observant ces maxima de tension ( qui se traduisaient
par la pr�sence d'�tincelles au niveau de l'antenne ) valida la
th�orie des champs �lectromagn�tiques. Il mesura dm = 5,0 m.
Q5. Donner la valeur de la fr�quence h0 en MHz de l'onde �lectromagn�tique que Hertz devait d�tecter.
h0 = w0 / (2p) =k0c /(2p) = c /(2dm) =3,0 108 / (2 x 5,0) = 30 106 Hz = 30 MHz.
Etude d'une transmission hertzienne.
On consid�re une antenne d'�mission rayonnant une puissance Pe en direction d'une antenne de r�ception captant une puissance Ps. La puissance d�tect�e doit �tre sup�rieure � une puissance not�e Pr�f afin que la liaison hertzienne puisse �tre possible. Ces deux antennes sont distantes d'une distance d et on note l << d la longueur de l'onde �lectromagn�tique �mise.
M�me sans obstacle ( espace libre ), la puissance Ps capt�e ne repr�sente qu"une fraction de la puissance Pe rayonn�e dans l'espce.
Ps / Pe = (l / (4pd))2.
Soit d = 10,0 km la distance entre les deux antennes, on r�alise une communication hertzienne � la fr�quence de 8,00 GHz.
1. D�terminer, en absence de pr�cipitation, la valeur de l'affaiblissement A donn� par A = 10 log ( Pe /Ps) lors d'une transmission entre ces deux antennes.
l = c / n =3,00 108 / (8,00 109)=0,0375 m.
Ps / Pe =(0,0375 / (4 x3,14 x 1,0 104))2 =8,9 10-14.
A = 10 log(1 / (8,9 10-14)) =130,5 dB.
2. A
l'affaiblissement A calcul� pr�c�demment vient s'ajouter un
affaiblissement d� aux pr�cipitations. D�terminer la nouvelle
valeur de l'affaibllissement A' en pr�sence de pr�cipitations
dont l'intensit� est de 100 mm / h.
A' = A +32 x10 = 130,5 +320 =450,5 dB.
Principe d'une transmission hertzienne.
D�s les ann�es 1920 ont �t� �tablies les premi�res
radio-t�l�communications. Le principe de ces communications consistait
� transmettre un signal utile et analogique u(t) � l'aide d'un autre
signal p(t) appel� porteuse. Avec un modulateur ( r�alisant une
modulation d'amplitude), on obtient un signal modul� s(t) qui peut
facilement �tre rayonn� par une antenne apr�s amplification. Une
antenne de r�ception suivie d'un circuit �lectroniique de r�ception
permet ensuite de r�cup�rer le signal u(t).
On pose u(t) = Um cos (wt) ; p(t) = Pm cos (Wt) o� Um, Pm, w et W > w sont des constantes.
1. Repr�senter le spectre du signal s(t) = u(t) x p(t).
s(t) = Um Pm cos (wt) cos (Wt)
s(t) =0,5 Um Pm [ cos ((w+ W)t) + cos (cos ((W- w)t)].
Son spectre est le suivant :
2. Dessiner l'allure du spectre de s(t) dans le cas o� u(t) est un signal complexe dont le spectre est le suivant :
Actuellement, les modulations d'amplitude sont utilis�es pour des
communications de courtes distances et utilisent des signaux u(t)
num�riques moins sensibles aux bruits. Les moduletions d'amplitudes de
type OOK sont les plus simples car un �tat haut de u(t) impose s(t) =
p(t) et un �tat bas de u(t) impose s(t) = 0.
On donne l'oscillogramme et le spectre d'un signal s(t) issue d'une
modulation de type OOK que l'on souhaite transmettre par voie
hertzienne.
Ce signal s(t) est rayonn� par une antenne d'�mission et sa r�ception
se fait au moyen d'une antenne et d'un circuit de r�ception. Ce
circuit de r�ception contient, entre autres, un filtre passe bande
permettant de conserver s(t) et d'att�nuer les signaux de fr�quences
diff�rentes que l'antenne de r�ception a pu capter.
3. On suppose que
le circuit de r�ception utilis� est constitu� uniquement d'un dip�le
r�sistif de r�sistance R = 100 ohms, d'une bobine d'inductance L et
d'un condensateur de capacit� C. Ce syst�me s�lectif pr�sente un
gabarit tel que sa bande passante � -3 dB vaut 10 MHz.
Proposer un sch�ma de filtre, en pr�cisant les valeurs de L et C permettant de respecter ce gabarit.
 |
 |
Toutes les grandeurs soulign�es sont des
nombres complexes.
A ces grandeurs on peut appliquer les lois du courant
continu.
Le pont diviseur de tension conduit � : H(jw) = s /
e
expression du gain
G(w): norme de la
fonction de transfert
Ce gain est maximum pour x = 1. Gmax = 1.
La pulsation de coupure wc est telle que G = Gmax / 2�.
1+ Q2(x-1/x)2 = 2 ; Q2(x-1/x)2 = 1 ; (x-1/x)2 = 1 / Q2 ;
x-1/x = �1 / Q soit x2 -x / Q -1 = 0 ou x2 +x / Q -1 = 0.
Discriminant D = 1 / Q2 +4.
On retient les racines positives soit : x1= [1/Q+ (1 / Q2 +4)� ] / 2 et x2= [-1/Q+ (1 / Q2 +4)� ] / 2 .
La bande passante est telle que : x1-x2=1 / Q =R / (L w0) soit Dw =R / L.
R = 100 ohms ; Dw =2 p Df =2 *3,14 x1,0 107 =6,28 107 rad / s.
L = 100 / (6,28 107) ~1,6 10-6 H.
C = 1 / (Lw02) =1 / (L 4p2 f02) =1 / (1,6 10-6 * 4*3,142 *(40 106)2) =9,9 10-12 F.
|
|
