Le radar de vitesse : effet Doppler. Concours CAPLP 2018.

Afin de contr�ler la vitesse des skieurs, une piste dispose d'un radar dont le fonctionnement est bas� sur l'effet Doppler. Afin d'en comprendre le principe, l'enseignant propose la photographie d'une cuve � ondes lorsque la source vibratoire est en d�placement de droite � gauche. On �tudie la modification de la longueur d'onde due au mouvement de la source vibratoire.
On note l la longueur d'onde de la source au repos et l' la longueur d'onde per�ue par un observateur lorsque la source s'en rapproche et l" lorsqu'elle s'en �loigne.

73. Faire appara�tre l' et l" et estimer leurs valeurs.

l' = 5 / 6 ~0,83 cm = 8,3 10^-3 m ; l" = 10 / 6 ~1,67 cm = 1,67 10^-2 m.
74. Soit c_s la c�l�rit� de l'onde � la surface de l'eau et v_s la vitesse de la source.
Montrer que l' = (1-v_s /c_s) l et l" = (1+v_s /c_s) l .
Un �metteur d'onde sinuso�dale ( sonore ou lumineuse ) se d�place selon ( Ox ) � une vitesse v_em par rapport � un �metteur fixe situ� au point O d'un r�f�rentiel R₀. L'�metteur �met une onde de fr�qience f_em qui se propage avec une c�l�rit� v_onde >>| v_em |.

Soit f₀ la fr�quence de l'onde per�ue par le r�cepteur plac� en O dans R₀
Hypoth�ses : l'�metteur �met des bips � la fr�quence f_em = 1 / T_em ;
A t=0, le r�cepteur se trouve � la distance d₀ de l'�metteur ; l'�metteur �met un premier bip.
Le r�cepteur re�oit ce premier bip � la date t₁ = d₀ / v_onde.
A la date T_em, l'�metteur se trouve � la distance d = d₀ +v_em T_em et il �met un second bip.
Le r�cepteur le re�oit � la date t₂ = d / v_onde + T_em.
t₂-t₁ =(v_em T_em +T_em ) / v_onde.
P�riode de r�ception du signal : T₀ = t₂-t₁ =v_em T_em v_onde+T_em= T_em ( 1 +v_em / v_onde).
Fr�quence : f₀ = f_em / ( 1 +v_em / v_onde)~f_em ( 1 -v_em / v_onde).
v_em = v_s et v_onde = c_{s ;}
l"=c_s / f₀ ; l=c_s / f ; c_s / l" =c_s / ( l ( 1 +v_s / c_s)).
1 / l" =1 / ( l ( 1 +v_s / c_s)).
l" =l ( 1 +v_s / c_s).

75. En d�duire les expressions de v_s et c_s en fonction de l', l" et de la fr�quence f_s de l'onde de surface. Faire les applications num�riques.On donne f_s = 35 Hz.
l = c_s / f_s ; l' = (1-v_s /c_s)c_s / f_s =c_s / f_s -v_s / f_s ; l' f_s =c_s-v_s (1).
l" f_s =c_s+v_s (2)
(1)+(2) donne : 2c_s =( l' + l" ) f_s.
(2)-(1) donne : 2v_s =( l" - l' ) f_s.
c_s =0,5 x35 x(8,3 10^-3 +1,67 10^-2) ~0,44 m /s.
v_s =0,5 x35 x(1,67 10^-2-8,3 10^-3 ) ~0,15 m /s.
76. Proposer une autre exp�rience permettant de mettre en �vidence l'effet Doppler. Pr�ciser le mat�iel et le protocole.
On r�alise un dispositif exp�rimental constitu� :
- d'un petit buzzer �mettant une onde sonore monochromatique de fr�quence 4 khz ( dans son r�f�rentiel ) ;
- d'une potence � laquelle est fix�e une tige horizontale immobile ;
- d'un fil dont l'une des extrt�mit�s est reli�e au buzzer et l'autre � l'extr�mit� de la tige horizontale. Le dispositif peur alors osciller � la mani�re d'un pendule simple ;
- un micro pos� sur la table et reli� � une carte d'acquisition.

Le professeur r�alise une vid�o du mouvement puis une acquisition par pointage, des positions successives du buzzer initialement l�ch� avec un angle d'environ 45 �.

Le radar de la piste �met des ondes �lectromagn�tiques de fr�quence f = 34 GHz. Au passage du skieur arrivant face � lui � la vitesse v, il mesure un �cho dont la fr�quence est d�cal�e de Df = 2,2 kHz.
77. Quelle condition v�rifi�e par la vitesse du skieur v permet de simplifier l'expression en v = c Df / (2f) o� c = 3,0 10⁸ m/s. En d�duire la vitesse du skieur.
La fr�quence re�ue par l'�metteur r�cepteur, apr�s deux d�calage Doppler cons�cutifs est :
f ' = (1+v / c) / (1-v /c) f.
v / c << 1 : f ' ~(1+2v / c) f ; f ' -f ~2v / c f ;
v = c Df / (2f) =3,0 10⁸ x 2,2 10³ / (2 x34 10⁹) = 9,7 m /s ou 9,7 x3,6 ~35 km / h.