Math�matiques. Concours CAPLP 2019 et 2020.

Math�matiques. Concours CAPLP 2020.

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Exercice 1. 2020.
Pr�ciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la r�ponse.
1. La matrice suivante est-elle inversible ? Non.

Le d�terminant de la matrice �tant nul, elle n'est pas inversible.

2. La relation suivante est-elle �gale � 2 ? Vrai.

Somme des termes d'une suite g�om�trique de raison 1 /2.

3. Soit f la fonction d�finie sur [-1 ; 1] par :
La fonction f est continue sur [-1 ; 1] et d�rivable sur ]-1 ; 1[. vrai.
La fonction est impaire ; le graphe est sym�trique par rapport � l'origine.
Au voisinage de z�ro :

4. On consid�re un c�ne C dont le diam�tre de la base et la hauteur mesurent 1 unit�, et une boule B de diam�tre 1 unit�. Les volumes de C et de B sont dans le ratio 1 / 2. vrai.
Volume du c�ne : pR² H / 3 =3,14x0.5²/3 ; volume de la boule : 4 /3 pR³=4 x3,14 x0,5³/3 Les volumes de C et de B sont dans le ratio 1 / 2.

5. On a la relation : Faux.
On pose u = -(1+x²)^-� ; u' = x / (1+x²)^-3/2 ;

6. Soit la suite (u_n) d�finie par u_n = cos(n) sur N*et la suite (v_n) d�finie par v_n = 1 / n^� sur N* La suite (u_nv_n) converge et sa limite en plus l'infini est z�ro. Vrai.
cos(n) est compris entre -1 et +1 ;
1 / n^� tend vers z�ro si n tend vers l'infini ; la limite de la suite (u_nv_n) en plus l'infini est z�ro.

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7. La documentation technique d'une machine fabriquant des pi�ces dans une usine indique que, quand la machine est bien r�gl�e, les pi�ces pr�senteront un d�faut dans 0,8 % des cas. On s'int�resse � un �chantillon de 800 pi�ces pr�lev�es au hasard dans le stock. On suppose que le stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler cela � un tirage au sort avec remise.
Un intervalle de fluctuation asymptotique de la fr�quence des pi�ces sans d�faut au seuil de 95 % est [0,985 ; 0,999]. Vrai.
p = 0,008 ; 1-p =0,992 ; n = 800 ; 1,96 [p(1-p) /n]^� =0,0062.
Intervalle de fluctuation asymptotique : [0,992 -0,0062 ; 0,992 +0,0062) soit [0,985 ; 0,999].

8. Soit la fonction f d�finie sur R-{-1 ; 1} par f(x) = (x³+2x²) / (x²-1). La courbe repr�sentative admet une asymptote oblique en -oo et en +oo. Vrai.
(x³+2x²) / (x²-1) =x+2+(x+2) / (x²-1).
f(x) -(x+2) =(x+2) / (x²-1).
f(x) -(x+2) tend vers z�ro en plus l'infini et en moins l'infini. La droite d'�quation y = x+2 est asymptote � la courbe repr�sentative.

9. L'�quation diff�rentielle y" -3y' +2y = x²-3x a pour ensemble de solutions r�eeles :
A e^x+ B e^2x. Faux.
Equation sans second membre :y" -3y' +2y =0.
Equation caract�ristique : r²-3r+2 = 0; solutions r = 1 et r = 2.
Solution g�n�rale de y" -3y' +2y =0 : y =A e^x+ B e^2x.
Il faut ajouter une solution particuli�re, par exemple �x²-�.
y = A e^x+ B e^2x+�x²-�.

10. Dans le plan euclidien rapport� � un rep�re orthonorm� Oxy, soit D la droite d'�quation x+y+1 =0 et soit G le cercle d'�quation x²+y²-2x-1=0. La droite est tangente au cercle. Vrai.
y = -x-1; x² +(-x-1)²-2x-1=0 ; x² +x²+2x+1-2x-1=0 ; 2x² = 0 soit x=0 et y =-1.
Le cercle et la droite poss�dent un seul point d'intersection.
11. On consid�re une variable al�atoire X qui suit la loi exponentielle de param�tre l. On sait que P(X < 20) = 0,5. l = 1 /20. Faux.
P(X < 20) =1-e^{-20 l} = 0,5 ; e^{-20 l} = 0,5 ; -20 l =ln (0,5) ; l = ln(2) /20.

12. On consid�re la fonction g dans C qui � tout nombre complexe z associe le nombre complexe g(z) =z² +2z+9. dans le plan complexe, l'ensemble des points M d'affixe z tels que g(z) soit un nombre r�el est une droite. Faux.
z = x+iy ; g(z) = (x+iy)² +2(x+iy) +9.
g(z) = x²-y²+2i xy +2x+2i y+9 ; la partie imaginaire est nulle soit 2xy+2y =2y(x+1)=0.
y=0 ou x = -1.
L'ensemble des points cherch�s appartiennent � la droite d'�quation y = 0 et � la droite d'�quation x = -1.

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