Groupe �lectrog�ne;
cycle moteur, acoustique,
Caplp maths sciences 2021.
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Partie A1 : �tude �lectrique d’un ballon �clairant.
Lors d’un chantier de nuit, ou l’hiver, il faut pr�voir un �clairage suffisamment efficace pour pouvoir travailler dans les meilleures conditions possibles. Un ballon �clairant, aliment� par un groupe �lectrog�ne, permet la diffusion d’une lumi�re douce et puissante.
1. Rappeler la relation entre puissance �lectrique P, �nergie E et dur�e Dt. Pr�ciser les unit�s.
E (J) = P(W) Dt (s).
E (kWh) = P(kW) Dt (h).
2. Rappeler la relation entre puissance �lectrique P, tension U, intensit� du courant I et facteur de puissance cos f en r�gime sinuso�dal. Pr�ciser les unit�s. Combien vaut cos f dans le cas d’une lampe ?
P(W) = U(V) I(A) cos f.
Dans le cas d'une lampe cos f = 1.
3. Le groupe �lectrog�ne d�livre une tension identique � celle du r�seau, U = 230 V, et alimente une des lampes du ballon de puissance P= 1 000 W. Calculer l’intensit� I du courant �lectrique qui traverse cette lampe.
I = P / U = 1000 / 230 ~4,35 A.
4. Quelles sont les pr�cautions � prendre du point de vue du risque �lectrique lors de l’utilisation d’un groupe �lectrog�ne ?
Interconnecter toutes les masses.
Prot�ger chaque canalisation du groupe avec un dispositif diff�rentiel ( I < 30 mA).
Partie A2 : �tude du moteur du groupe �lectrog�ne.
On consid�re le cycle d’un moteur thermique id�al.
On consid�re que le fluide mis en jeu ob�it � la loi des gaz parfaits.
- Une compression isotherme � Tf (temp�rature de la source
froide) correspond au passage des �tapes 1 � 2 et une d�tente isotherme
� Tc (temp�rature de la source chaude) au passage des �tapes 3 �
4. Dans ces deux cas-ci : PV = constante.
-
Une compression adiabatique correspond au passage des �tapes 2 � 3 et
une d�tente adiabatique au passage des �tapes 4 � 1. Dans ces deux
cas-l�, PVg= constante
5. Exprimer les
travaux et les chaleurs re�us par le moteur et ses variations d’�nergie
interne lors des deux transformations isothermes en fonction de
variables d'�tat de son choix (par exemple, les volumes et les
temp�ratures aux points 1, 2, 3 et 4). Pr�ciser le signe de chaque
grandeur.
La temp�rature �tant constante, la variation d'�nergie interne est nulle
DU = Q + W =0 soit Q = -W.
Travail �l�mentaire des forces de pression dW = -PdV.
P = nRT / V ; dW = -nRT dV / V = -nRT d ln(V).
W1 -->2 = nRTf ln(V1 / V2) > 0.
Q 1 -->2 = nRTf ln(V2 / V1) < 0.
W 3 -->4 = nRTc ln(V3 / V4) < 0.
Q 3 -->4 = -nRTc ln(V4 / V3) > 0.
6. Lors des deux transformations adiabatiques en fonction de variables d'�tat de son choix (par
exemple, les seules temp�ratures Tf, temp�rature de la source froide, et Tc, temp�rature de la source chaude). Pr�ciser le signe de chaque grandeur.
Transformation adiabatiques Q = 0.
Travail �l�mentaire des forces de pression dW = -PdV.
PVg = Cste ; dW = -cste /Vg dV.
Int�grer entre les �tats 2 et 3 :
W23 = -Cste / (1-g) [V1-g]2 3 =Cste / (g-1) (V31-g -V21-g) < 0.
W41 = Cste / (g-1) (V11-g -V41-g) > 0.
7. En d�duire, pour l’ensemble du cycle, la chaleur totale re�ue Qcycle et le travail total re�u Wcycle en fonction de variables d'�tat impos�es cette fois : les quatre volumes et les deux temp�ratures Tc et Tf.
On peut remarquer, en le justifiant, que W23 + W41= 0.
Cste = P3V3g =P2V2g .
W23 =(P3V3 -P2V2 )/ (g-1)= nR(T3-T2) / (g-1) = nR ((Tc-Tf) / (g-1).
De m�me : W41 =(P4V4 -P1V1 )/ (g-1)= nR(Tf -Tc) / (g-1).
W23 + W41= 0.
Wcycle = W1 -->2 +W 3 -->4 =nRTf ln(V1 / V2) +nRTc ln(V3 / V4).
Qcycle =nRTf ln(V2 / V1) +nRTc ln(V4 / V3) .
8. D�finir le rendement thermodynamique d’un moteur et montrer que celui du cycle de Carnot peut s’�crire :
h= 1- Tf ln(V1/V2) / (Tc ln(V4/V3)).
Rendement : travail fourni / �nergie d�pens�e ( source chaude).
h= Wcycle / Q 3 -->4 =[Tf ln(V2 / V1) +Tc ln(V4 / V3)] / [Tc ln(V4 / V3) ].
h= [-Tf ln(V1 / V2) +Tc ln(V4 / V3)] / [Tc ln(V4 / V3) ].
h=1- Tf ln(V1/V2) / (Tc ln(V4/V3)).
9. Lors des transformations adiabatiques, montrer que l’on peut �crire la loi de Laplace sous une autre forme,
T1/(g-1) V = constante.
En d�duire l’expression de h en fonction uniquement de Tf et de Tc.
PVg = Cste et PV = nRT.
nRT / Vx Vg = Cste ; T V g-1 = autre constante ; T1/(g-1) V = constante.
V2 T21/(g-1) =V3 T31/(g-1) ; V1 T11/(g-1) =V4 T41/(g-1) ;
V2 Tf1/(g-1) =V3 Tc1/(g-1) ; V1 Tf1/(g-1) =V4 Tc1/(g-1) .
V1/V2= V4 / V3.
h=1- Tf / Tc.
10. Calculer ce rendement si Tf = 300 K et Tc = 2500 K.
h=1-300/2500 =0,88.
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Un extrait
du site internet du constructeur du groupe �lectrog�ne est reproduit
ci-apr�s : � Le groupe �lectrog�ne d�livre au maximum 5500 W et est
aliment� par un moteur � essence de 9,55 kW. Lorsque le groupe
�lectrog�ne est utilis� � 2/3 de sa puissance nominale (ce qui donne
3 667 W ), le moteur consomme 2,5 L de carburant � l'heure et, compte
tenu des pertes thermiques in�vitables dans les moteurs � combustion
interne, il en r�sulte un rendement global �nergie �lectrique d�livr�e /
�nergie fournie par le carburant n'exc�dant pas 17 %. �. 11. On fait
l’hypoth�se que le groupe �lectrog�ne d�crit ci-dessus fonctionne
suivant un cycle de Carnot. On prendra pour cela les valeurs num�riques
des temp�ratures de la question 10., un taux de compression V1/V2=7, la pression au point 1 P1 = 105 Pa et g= 1,40.
Calculer les pressions aux points 2 et 3. Conclure quant
� la vraisemblance de ce mod�le.
P1V1 = P2V2 ; P2 =P1V1 / V2=7 105 Pa.
P2V2g=P3V3g ; P3 = P2(V2/V3)g.
De plus
Tf1/(g-1) V2 =
Tc1/(g-1) V3 ; V2 / V3 =(Tc / Tf)1/(g-1) =(2500/300)0,4=2,335.
P3 =7 105 x 2,335 ~ 1,63 106 Pa.
Le cycle de Carnot correspond � des transformations r�versibles, ce n'est pas le cas dans un groupe �lectrog�ne.
On donne : doctane =0,703 ; M(octane) =12 x8 +18 = 114 g / mol.
12. En consid�rant que le
carburant est form� uniquement d’octane, calculer la quantit� de
mati�re de carburant correspondant � une consommation d’une heure du
moteur du groupe �lectrog�ne fonctionnant � 2/3 de sa puissance
nominale.
2,5 L correspond � 2,5 x 0,703 ~1,76 103 g.
noctane = n = 1,76 103 / 114 ~15,4 mol.
13. �crire la r�action de combustion compl�te de l’octane.
C8H18 (g)+ 12,5O2 (g)--> 8CO2 (g)+ 9H2O(g).
On
donne : DH�f 298 (octane gazeux) = −208,52 kJ / mol ; DH�f 298 (dioxyg�ne gazeux)= 0 kJ / mol ;
DH�f 298 (CO2 gazeux)=
−393,52 kJ / mol ; DH�f 298 (eau gaz)=−241,8 kJ / mol.
14. En d�duire l’enthalpie standard molaire de
combustion totale de l’octane.
DH�r= 8 DH�f 298 (CO2 gazeux) +9DH�f 298 (eau gaz) -DH�f 298 (octane gazeux).
DH�r=8(-393,52) +9(-241,8)-(-208,52)= -5,14 104 kJ / mol.
15. En d�duire l’�nergie lib�r�e par la
combustion du carburant en une heure.
5,14 103 x15,4 =7,92 104 kJ.
16. Calculer le travail
�lectrique fourni par le groupe �lectrog�ne fonctionnant � 2/3 de sa
puissance nominale en une heure.
3667 x 3600 =1,32 107 J = 1,32 104 kJ.
17. Calculer le rendement global du
groupe �lectrog�ne. Commenter cette valeur par rapport � celle annonc�e
par constructeur du groupe �lectrog�ne.
1,32 104 / (7,92 104) ~0,167 ( 16,7 %) en accord avec le constructeur.
Partie A3 : �tude acoustique du groupe �lectrog�ne.
Les r�sultats donn�s par le constructeur concernant le niveau
d’intensit� sonore correspondent � une mesure � 7 m de l’appareil. Si
un ouvrier doit �tre plus pr�s du groupe �lectrog�ne, il faut en tenir
compte.
18. Donner la relation entre le niveau d’intensit� sonore L, l’intensit� sonore I et l’intensit� sonore de r�f�rence I0. Pr�ciser les unit�s.
L = 10 log (I / I0).
L en d�cibel ( dB) et I en W m-2.
19. Donner la
relation entre l’intensit� sonore I, la puissance acoustique P et la
surface S parcourue par l’onde sonore. Pr�ciser les unit�s.
I = P/ S.
I en W m-2 ; P en W et S en m2.
20. Un groupe
�lectrog�ne est d�crit par le fabricant comme silencieux avec un niveau
d’intensit� sonore de 54 dB � 7 m. Calculer son niveau d’intensit�
sonore � 1 m du groupe �lectrog�ne ainsi qu’� 50 m, distance des
premi�res habitations. Conclure sur les
pr�cautions � prendre pour son utilisation.
A 7 m : I = I0 100,1 L =10-12 x 105,4 =2,51 10-7 W m-2.
P= (4pd2)I=4 x3,14 x72 x2,51 10-7 =1,55 10-4 W.
A 1 m : I = 1,55 10-4 /(4 x3,14) =1,23 10-5 W m-2.
L = 10 log(1,23 10-5 / 10-12) ~71 dB.
Des protections auditives sont n�cessaires.
A 50 m : I = 1,55 10-4 /(4 x3,14x502) =4,93 10-9 W m-2.
L = 10 log(4,93 10-9 / 10-12) ~37 dB.
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