Physique,
concours EMIA 2020. Ecole militaire interarmes.
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Etude d'un ressort.
1.1. Etude statique.
Le ressort est accroch� � une potence. Il est de masse n�gligeable. A
son extr�mit� libre on suspend des masses de diff�rentes valeurs. Pour
chaque masse, on mesure l'allongement du ressort.
m (kg)
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0
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0,2
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0,4
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0,5
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0,7
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1
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allongement Dl (cm)
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0
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5
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10
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12,5
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17,5
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24,9
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1. Tracer la courbe Dl en fonction de la masse m. Donner la relation entre Dl et m.
Dl = 24,9 m avec Dl en cm et m en kg.
Dl = 0,249 m avec Dl en m et m en kg.
2. Faire un sch�ma du ressort avec la masse accroch�e et repr�senter les forces qui s'exercent sur la masse.
3. A l'�quilibre �crire la relation entre ces forces.
4. En d�duire l'expression litt�rale de la constante de raideur k du ressort.
5. Donner le r�sultat num�rique avec l'unit�.
mg = kDl ; k = mg / Dl.
k = 9,81 / 0,249 =39,4 ~39 N /m.
1.2. Etude dynamique.
On utilise le m�me ressort. Il est fix� � une extr�mit� � un b�ti fixe
et � l'autre � une masse M. Celle-ci se d�place sans frottement sur un
axe horizontal. On rep�re la position de son centre d'inertie G par son
abscisse x sur cet axe. l'origine de l'axe est la position d'�quilibre
du ressort.
A un instant pris comme origine des temps, la masse est �cart�e de sa position d'�quilibre et l�ch�e sans vitesse initiale.
6. D�crire le mouvement du syst�me.
Osciilations libres non amorties.
7. Faire un sch�ma des forces qui s'exercent sur la masse M � un instant t.
8. En appliquant la seconde loi de Newton, montrer que l'�quation diff�rentielle du mouvement de la masse M s'�crit : x" +w02x=0.
9. En d�duire l'expression de la pulsation w0 en fonction de k et M.
w0�= k /M ; w0 = (k / M)�.
10. Quelle est l'unit� de la pulsation ?
La pulsation s'exprime en rad s-1.
11. Donner l'expression de la p�riode propre T0 en fonction de k et M.
w0 = 2p / T0 ; T0 = 2p (M / k)�.
12. On mesure la dur�e de 10 oscillations. On trouve 10,6 s. Quelle est la valeur de T0 ?
T0 = 1,06 s.
La masse pr�c�dennte est surcharg�e d'une masse m fix�e sur M. ce
nouveau syst�me est mis en oscillation comme le pr�c�dent. La
nouvelle dur�e de 10 oscillations est 10,7 s. La surcharge m est �gale
� 20 g.
13. Exprimer la nouvelle p�riode T1 en fonction de M, m et k.
T1 = 2p ((M+m) / k)�.
14. En d�duire l'expression de k en fonction de T0, T1 et m.
T1 2=4p2(M+m) / k ; T0 2=4p2M / k ;
4p2M / k=T0 2 ; T1 2=T0 2 +4p2m / k ;
T1 2-T0 2 = 4p2m / k ; k = 4p2m / (T1 2-T0 2 ).
15. Calculer k et la comparer � la valeur trouv�e par la m�thode statique.
k = 4 x3,142 x0,020 /(1,072-1,062) =37,06 ~ 37 N /m.
Ecart relatif : (39,4-37,06) / 37,06 ~0,06 (6 %).
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Electrocin�tique.
2.1 Analyse d'un circuit.
U = 20 V ; I1 = 3 A ; I2 = 4 A ; I5 = 1 A ; U3 = 12 V ; U4 = 5 V.
1. Calculer I, I3 et I4.
Loi de noeuds en A : I = I1 +I2 = 3+4=7 A.
Loi de noeuds en B : I1 = I3 +I5 ; I3 = 3-1=2 A.
Loi de noeuds en D : I4 = I2 +I5 ; I3 = 4+1=5 A.
2. Calculer U1, U2 et U5.
Additivit� des tensions : U = U1+U3 ; U1 = 20-12=8 V.
U = U2+U4 ; U2 = 20-5=15 V.
U3 = U4+U5 ; U5 = 12-5=7 V.
2.2. Mesure d'inductance.
l'�tude est r�alis�e en courant continu. On dispose d'une bobine d'inductance L et de r�sistance r inconnues.
On la place dans un circuit en s�rie avec une r�sistance R de 50 ohms.
Le circuit est aliment� par un g�n�rateur de tension de fem E = 6 V.
1. Quelle est l'unit� d'une inductance ?
henry ( H).
2. Exprimer UBC en fonction de i, L et r.
UBC = ri + L di / dt.
3. En appliquant la loi des mailles, montrer que le courant i v�rifie l'�quation diff�rentielle di /dt +ai = �.
4. Donner les expressions de a et �.
E = Ri +ri+Ldi / dt.
di / dt +(R+r) / L i = E / L.
On pose a = (R+r) / L et �= E / L.
5. Quelle est l'unit� de la constante a ?
a : constante de temps exprim�e en s-1.
6. Montrer qu'en r�gime permanent le courant i tend vers une valeur constante I0 fonction de r, R et E.
En r�gime permanent di/dt = 0.
I0 = E /(R+r).
7. En r�gime permanent UCD = 5 V. En d�duire la valeur de I0 puis de r.
UCD = RI0 ; I0 = 5 / 50 = 0,1 A.
R+r = E / I0 = 6 / 0,1 = 60 ; r = 60-50 = 10 ohms.
8. D�terminer la solution i(t) de l'�quation diff�rentielle.
Solution g�n�rale de di /dt +ai =0 : i(t) = A exp(-at) avec A une constante.
Solution particuli�re i(t) = I0.
i(t) =A exp(-at) +I0.
Quand t =0, i(0) = 0 = A exp(0) +I0= A +I0 ; A = -I0.
i(t) = 0,1(1- exp(-at)).
9. Tracer l'allure de la courbe.
10. L'intensit� i atteint 63 % de sa valeur maximale � t = 0,2 ms. En d�duire la valeur de L.
0,1 x0,63 = 0,1 (1-exp(-ax2 10-4) ).
0,63 = 1-exp(-ax2 10-4).
0,37 = exp(-ax2 10-4) ; ln(0,37) = -ax2 10-4 ; a= -ln(0,37) / (2 10-4) =4971 s-1.
(R+r) / L = 4971 ; L = 60 / 4971 ~0,012 H.
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Exercice 3.
La
houle est une onde m�canique progressive et p�riodique. Sa propagation
� la surface de l'eau peut �tre caract�ris�e par une p�riode T, une
longueur d'onde l
et sa c�l�rit� v. La hauteur de la houle est caract�ris�e par son
amplitude a. On d�signe par h la hauteur de cr�te � cr�te de la houle.
1. Quelle est la relation entre a et h ?
h = 2 a.
2. Est-ce que la houle est une onde transversale ou longitudinale ?
La d�formation est verticale et la direction de propagation horizontale : onde transversale.
3. Quelle est la relation entre l, v et T ?
l = v T.
4. Comment peut-on �valuer exp�rimentalement la p�riode T de la houle ?
Il
est possible de simuler la houle au laboratoire de physique avec une
cuve � ondes en utilisant une lame vibrante qui cr�e � la surface de
l'eau une onde progressive sinuso�dale de fr�quence f =1 / T= 23 Hz. On
r�alise une photographie du ph�nom�ne observ�.
5. Comment peut -on �valuer la longueur d'onde l ?
Distance entre deux cr�tes successives.
6. Sch�matiser l'onde et porter sur le sch�ma les grandeurs l, a et h.
Un promeneur constate que l'eau vient battre un rocher toutes les 10 s
; deux embarcations, proches l'une de l'autre et distantes de 300 m,
oscillent verticalement en m�me temps en raison de la houle. Entre les
bateaux en position haute, il n'y a aucune autre cr�te de la houle.
7. A quelle viresse la houle se propage t-ellle ?
l = 300 m , T = 10 s ; v = 300 / 10 = 30 m /s.
La houle na�t sous l'influence du vent, mais se propage calmement � la
surface de l'eau, loin de la zone o� souffle le vent. La c�l�rit� des
ondes � la surface est fonction de la profondeur H d'eau libre : v =
(gH)� avec g = 9,8 S.I.
8. Quelle est l'unit� de g ?
Acc�l�ration en m s-2.
9. Estimer la hauteur H de l'eau libre.
H = v2 / g = 302 /9,8 ~92 m.
Le pacifique a une profondeur moyenne H = 5000 m.
10. Calculer la c�l�rit� des ondes ( vagues) � sa surface.
v =(9,8 x5000)� =221,36 ~221 m /s.
11. Pour une
p�riode moyenne T de 15 minutes ( p�riode caract�ristique d'un
tsunami ), calculer la longueur d'onde correspondante.
T = 15 x60 = 900 s.
l = v T = 221,36 x900 ~2,0 105 m ~200 km.
12. Expliquer pourquoi un navire ne peut pas apercevoir au large le passage d'un tsunami.
La distance entre deux cr�tes successives est de 200 km, distance consid�rable par rapport � la taille du navire.
13. A mesure que la vague se rapproche de la c�te, la vitesse de l'onde augmente-telle ou diminue -t-elle ?
Si la relation v =
(gH)� reste valable en eau peu profonde : H diminue � l'approche de la c�te ; la vitesse diminue.
14. Pourquoi une vague brise-t-elle ou d�ferle-telle aux abords d'un rivage ?
Le pied de la vague heurte le fond ; la partie sup�rieure bascule.
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Force de Laplace. Induction �lectromagn�tique.
Consid�rons
deux conducteurs parall�les formant un rail de Laplace sur lequel peut
se d�placer une barre mobile conductrice MN selon le sch�ma suivant (
vue de dessus). Le g�n�rateur a une fem E = 5 V et une r�sistance
interne R = 5 ohms.
La barre MN de longueur totale L = 0,12 m a une r�sistance n�gligeable.
elle cr�� un court-circuit en refermant le circuit entre les deux
rails. On place MN dans l'entrefer d'un aimant en U ( largeur d =
4 cm ) o� r�gne un champ magn�tique uniforme de norme B = 0,1 S.I.
1. Quelle est l'unit� du champ magn�tique ?
Le tesla ( T).
2. Sch�matiser un
aimant en U en pr�cisant lep�les nord et sud et indiquer la direction
et le sens du champ magn�tique dans l'entrefer.
3. D�terminer le sens et l'intensit� du courant dans le circuit.
Ce sens sera pris comme sens positif et d'orienter le vecteur surface S.
Sens du courant de M vers N.
I = E / R = 5 / 5 = 1 A.
4. D�terminer la direction, le sens ainsi que la norme de la force de Laplace sur la barre MN. Voir ci-dessus.
F = I d B = 1 x 0,04 x0,1 =4 10-3 N.
5. A l'instant
initial, la barre MN est plac�e � la position rep�r�e par le point O
sur l'axe des abscisses ( x =0=. Exprimer le flux magn�tique F en fonction de B, l et d.
F = B l d.
La barre MN se d�place � vitesse constante dans le champ magn�tique sur
une longueur de 6 cm dans le sens impliqu� par la force de
Laplace.
6. D�terminer le travail exerc� lors de ce d�placement de la barre MN.
W = F l = 4 10-3 x0,06 = 2,4 10-4 J.
7. D�terminer la variation de flux DF coup� par la barre.
DF=B l d = 0,1 x0,06 x 0,04 =2,4 10-4 weber.
8. Quelle est la force �lectromotrice induite dans le circuit si le parcours a lieu en 1 ms.
e = -DF / Dt = -2,4 10-4 / 10-3 = -0,24 V.
9. Repr�senter cette force �lectromotrice e.
e est dirig� de N vers M, elle cr�e un courant induit de sens contraire au courant I.
10. En conclusion, commenter le sens de la force �lectromotrice induite et les cons�quences de son action dans le circuit.
Par ces effets �lectromagn�tiques, le courant
induit, s'oppose � la cause qui lui donne naissance, � savoir
d�placement de MN. ( loi de Lenz).
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