Math�mmatiques,
concours EMIA 2020. Ecole militaire interarmes.
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d’int�r�ts.
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Exercice 1.
1. Ecrire sous la forme a x racine carr�e (5) o� a est un r�el.
2. Montrer que la fonction suivante est d�finie sur R et calculer ses limites en plus l'infini et moins l'infini.
x2+x+1 = (x+1)2-x.
x+1 > x ; (x+1)2 > x.
Le terme sous le radical est d�fini quel que soit x r�el.
f(x) est d�finie sur R.
Quand x tend vers plus l'infini :
f(x) tend vers 0,5.
Quand x tend vers moins l'infini :
le terme sous le radical tend vers plus l'infini ; -x tend vers plus l'infini.
f(x) tend vers plus l'infini.
3. Soit le nombre complexe z1 = i +racine carr�e(3) = i +3�.
Donner la forme exponentielle de z1.
|z1| =(1+3)� = 2.
z1 = 2(3� /2 +i /2)=2 (cos (p/6) + i sin (p/6) = 2 exp(ip/6).
4. D�terminer la partie r�elle et la partie imaginaire du nombre :
5. R�soudre dans R l'�quation : ex-e2x-5=0.
On pose X = ex >0.
X-X2-5=0 ; X2 -X+5=0 ; D = (-1)2-4*5 = -19.
Le discriminant �tant n�gatif, il n'y a pas de solution r�elle.
6. Calculer les fonctions d�riv�es des fonctions suivantes :
f(x) = ln(x) / (1+x2).
On pose u = ln(x) et v = 1+x2 ; u' = 1 /x ; v' = 2x.
(u'v-v'u) / v2 =[(1+x2) / x - 2xln(x)] / (1+x2)2.
g(x) = x exp(x2+x+1).
On pose u = x et v = exp(x2+x+1).
u' = 1 ; v'= (2x+1) exp(x2+x+1).
u'v +v'u =exp(x2+x+1) +x(2x+1)exp(x2+x+1) = (2x2+x+1) exp(x2+x+1).
7. D�terminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes.
f(x) = x7 +x5 +x3 +x.
F(x) = x8 /8 + x6 / 6 +x4 /4+x2 / 2.
g(x) = x exp(x2).
On pose u = x2 ; u' = 2x.
g =0,5 u' eu ; Primitive G= 0,5 exp(x2).
h(x) = 1 /(x ln(x)).
On pose u = ln(x) ; u' = 1 /x.
h = u' / u ; primitive : H = ln(ln(x)).
8. Montrer que l'�quation sin(x) = 0,25 admet une unique solution a sur l'intervalle [0 ; p / 2 ] et donner la valeur exacte de cos(x).
sin(x) = sin(a) ;
x = a ~14,5� ; x = p-a n'appartient pas � [0 ; p / 2 ].
sin2(x) + cos2(x) = 1 ; cos2(x) = 1-(1/4)2 =15 / 16.
cos(x) = � racine carr�e (15 / 16).
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Matrices.
1. Calculer A2 en fonction de I et A.
2. En d�duire que A est inversible et calculer son inverse.
Calcul du d�terminant associ� � A :
D =(-1)(-1)(-1) +1 x1x1+1 x1 x 1-[1 x(-1)x1 +1 x(-1) x1+(-1) x1 x1] =4.
Le d�terminant �tant diff�rent de z�ro, A est inversible.
3. D�montrer que pour tout entier naturel n, la matrice An s'�crit sous la forme aI + bA avec a et b r�els.
Initialisation : la propri�t� est vraie au rang 2.
H�r�dit� : la propri�t� est suppos�e vraie au rang p : Ap = a'I+b'A.
Ap+1 =ApxA= a'I x A+b'A2 =a'I x A+b'(2I-A) avec I A = A.
Ap+1 =a' A+2b' I-b' A = 2b' I +(a'-b') A = aI+bA.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 2 et h�r�ditaire. Elle est vraie pour tout n entier naturel.
In�quations.
Repr�senter graphiquement l'ensemble des solutions de l'in�quation : (x+1-y)(2y+x-4) > 0.
Zone hachur�e y compris les droites.
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G�om�trie.
On d�finit trois plans par les �quations cart�siennes suivantes :
P1 : x+y-z=0.
P2 : x-y-2=0
P3 : y-z-3=0.
1. D�terminer les coordonn�es d'un vecteur normal � P1 de norme 1.
Coordonn�es ( k ; k ; -k) avec k r�el
Norme 1 = (k2 +k2 +(-k)2)� =3�k ; k =1 / 3�.
2. Existe-t-il une droite incluse dans P2 parall�le � l'axe Oz ?
Coordonn�es d'un vecteur directeur d'une droite parall�le � l'axe Oz : (0 ; 0 ; 1).
Equation param�trique de cette droite : x = a ; y = � ; z =t+g avec t r�el.
Si la droite est incluse dans le plan P2 : a-�-2 = 0.
3. D�terminer l'intersection des trois plans.
Intersection de P1 et P3 :x+y-z =y-z-3 ; x = -3.
Intersection de P1 et P2 : x+y-z =x-y-2 ; 2y-z+2=0.
Intersection de P2 et P3 : x-y-2 =y-z-3 ;
-3-y-2 =y-z-3 ; 2y-z+2=0.
Jeu.
Un joueur s'initie � un jeu en effectuant plusieurs parties
successives. Pour la premi�re partie, les probabilit�s de gagner et de
perdre sont �gales. Pour les parties suivantes, on suppose que si une
partie est gagn�e, alors la probabilit� de gagner la suivante est 0,6.
Si la partie est perdue, la probabilit� de perdre la suivante est 0,7.
On note Gn l'�v�nement " gagner la partie n".
On note un = P(Gn) et vn= P( non Gn).
1. Justifier que un+1 = 0,6 un +0,3 vn.
u1= 0,5 ; v1 = 0,5.
u2 = 0,6 u1 +0,3 v1.
u3 =0,6 u2 +0,3 v2.
un+1=0,6 un +0,3 vn.
2. De m�me, exprimer vn+1 en fonction de un et vn.
v2 = 0,4 u1 +0,7 v1.
v3 =0,4 u2 +0,7 v2.
vn+1=0,4 un +0,7 vn.
3. En d�duire une fonction f telle que la suite (un) soit d�finie par un+1 = f(un).
La probabilit� de gain ajout�e � celle de perdre est �gale � 1.
un+1 +vn+1 = un +vn =1.
vn+1 = 1 -un+1 ; vn = 1 -un.
un+1=0,6 un +0,3(1- un) = 0,3 un +0,3.
f(un) = 0,3( un+1).
4. V�rifier que l'�quation f(x) = x admet une seule solution r�elle, not�e a.
0,3x +0,3 = x ; 0,3 = 0,7 x ; a = 3 /7.
5. D�montrer que la suite (wn) de terme g�n�ral un-a est g�om�trique.
wn =un-a.
wn+1 =0,3 (un +1)-3 / 7 = 0,3un +3 /10 -3 /7 =0,3un +(21-30) /70 =3 /10 un -9 / 70=3 /10 (un -3 /7)=0,3 wn.
wn+1 / wn = 0,3.
6. En d�duire une expression de un en fonction de n.
wn =w1 x 0,3n = (u1-3 / 7)0,3n =(1 / 2 -3 / 7) 0,3n =1 / 14 x 0,3n =un-3 /7.
un=3 /7 + 1 /14 x 0,3n.
7. Que devient la probabilit� de gain apr�s un grand nombre de parties ?
Quand n devient grand, 0,3n tend vers z�ro.
Probabilit� de gain apr�s un grand nombre de parties : 3 /7 ~0,43.
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Probabilit�s.
Une entreprise fabrique des ampoules dont 80 % ont une dur�e de vie
strictement sup�rieure � 3000 heures. Un �chantillon de taille n est
assimil� � un tirage avec remise de n ampoules parmi la
production. Soit X la variable al�atoire donnant le nombre d'ampoules
ayant une dur�e de vie inf�rieure ou �gale � 3000 heures dans un
�chantillon de taille 15.
1. D�terminer la loi de la variable X.
Loi binomiale. Les ampoules durent plus de 3000 heures ( p = 0,8) ou
bien ont une dur�e de vie inf�rieure ou �gale � 3000 heures ( q = 1 -p
= 0,2).
2. Quelle est la
probabilit� que dans cet �chantillon, toutes les ampoules aient une
dur�e de vie strictement sup�rieure � 3000 heures ?
P( X =15) = 0,035.
3.
Quelle est la probabilit� que dans cet �chantillon, on trouve plus de 2
ampoules qui aient une dur�e de vie strictement sup�rieure � 3000
heures ?
P(X > 2) =1-P(X <2) =1-5,7 10-8 ~1.
Un calcul.
1. Pour n > 2, simplifier le produit :
2. En d�duire un calcul num�rique simple du produit :
Etude de fonction.
Soit la fonction f d�finie sur R par : f(x) = 1 /(e2x+1). On note C sa courbe repr�sentative.
1. D�terminer les limite de f en plus l'infini et en moins l'infini.
En plus l'infini, e2x tend vers plus l'infini ; e2x+1 tend vers plus l'infini et f(x) tend vers z�ro.
En moins l'infini, e2x tend vers z�ro ; e2x+1 tend vers 1 et f(x) tend vers 1.
2. Calculer la d�riv�e f '(x).
On pose u = e2x+1 ; u' =2e2x.
f = u-1 ; f ' = -u' u-2 ; f ' (x) = -2e2x / (e2x+1)2.
e2x / (e2x+1)2 >0 ; f '(x) <0, f(x) est strictement d�croissante.
3. Dresser le tableau de variations de f.
4. D�terminer une �quation de la tangente � C au point d'abscisse z�ro.
Coefficient directeur : f '(0) = -2 / 4 = -0,5.
La tangente passe au point de coordonn�es ( 0 ; f (0) =0,5).
y = -0,5 x+0,5.
5. Soit les int�grales
a. Justifier que (e2+1) / (e-2+1) = e2.
(e2+1) / (1 /e2+1) =(e2+1)e2 / (1 +e2) = e2.
b. Calculer la d�riv�e de H(x) =0,5 ln(e2x+1).
On pose u = e2x+1 ; u' = 2e2x ; H'(x) = 0,5 u' / u = e2x / (e2x+1).
c. En d�duire le calcul de J.
H est une primitive de e2x f(x).
J = H(1)-H(-1) = 0,5 [ ln(e2+1)- ln(e-2+1)].
J = 0,5 ln [(e2+1) /(e-2+1)]= 0,5 ln(e2) =2 x0,5 ln(e) = 1.
d. Calculer I+J et en d�duire une valeur de I.
I+J = 2 et J = 1 ; I = 1.
Algorithme.
On consid�re l'algorithme suivant :
Entr�e : T tableau de nombres entiers naturels.
n prend la valeur (longueur de T)
Pour k allant de 1 � n-1 faire
x prend la valeur T(k)
j prend la valeur k.
tant que j >0 et T(j-1) >x faire
T(j) prend la valeur T(j-1)
j prend la valeur j-1
Fin tant que
T(j) prend la valeur x
Fin pour
Sortie : T.
Appliquer l'algorithme au tableau T = [ 3, 8, 2] en donnant les valeurs
de x, j, T(0), T(1), T(2) � chaque �tape et exprimer la sortie.
n=3.
Etape
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k=1
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k=2
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x
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T(1)=8
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T(2)=2
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j
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1
|
2
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| j >0 et T(j-1) >x |
Faux
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Vrai
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Boucle tant que
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T(j)
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T(1)=8
|
j
|
0
|
| j >0 et T(j-1) >x |
Faux
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T(0) =3
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Sortie : T(2), T(1), T(0).
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