Math�matiques,
�cole de sant� des arm�es ESA 2021.
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Exercice 1. (6 points)
Une
seule affirmation est exacte. Aucune justification n'est demand�e.
R�ponse juste = 1 point ; r�ponse fausse = -0,25 point. Absence de
r�ponse = 0 point.
QCM 1.
Les solutions r�elles de l'�quation 3 (ln(x))2 +2 ln(x) -5 =0.
On pose X = ln(x) strictement positif ;
3X2+2X-5 = 0 ; discriminant D = 22+4*5*3=64 = 82.
Solution retenue X = (-2 +8) / 6 =1 ln(x) = 1 soit x = e.
A. {1 ; -5 /3} ;
B. { e ; e-5/3} .
C. { e-5/3}.
D. { e}. Vrai.
QCM 2. Les solutions r�elles de l'in�quation (ex-1)(1-x) > 0 sont :
ex = 1 soit x = 0 et x = 1.

A. ] -oo ; 1 ].
B. [0 ; 1 ] vrai.
C. [0 ;+oo[
D. ] -oo ; 1 ] u [1 ;+oo[ .
QCM 3. Les solutions r�elles de l'in�quation ln(-x+5) < ln(x+1) sont :
-x+5 >0 soit x < 5 et x+1 > soit x > -1.
ln(x-5) -ln(x+1) < 0 ; ln(x-5) /(x+1) < 0.

X appartient � ]-1 ; 0[ union ]4 ; 5[.
A. ]2 ; +oo[
B. ]-oo ; 5[
C. ]-1 ; 5[ vrai.
D. ]2 ; 5 [.
QCM 4. La limite de (x2+1)�-(x2-1)� en plus l'infini est :
x(1+1/x2)�-x(1-1/x2)� = x [(1+1/x2)�-(1-1/x2)� ].
A. +oo
B. 1.
C. 0. Vrai.
D. 2.
QCM 5. Soit la fonction f d�finie sur R par f(x) = x exp(x2-1), alors :
On pose u = x et v =exp(x2-1) , u' = 1 et v' = 2x exp(x2-1)
u'v+v'u = exp(x2-1) +2x2 exp(x2-1) =(1+2x2)exp(x2-1)
A. f '(x) = exp(x2-1).
B. f '(x) = 2x exp(x2-1).
C. f '(x) = (1+2x2)exp(x2-1).
Vrai.
D. f '(x) = 2x2exp(x2+1).
QCM 6.
Indication : calculer la d�riv�e de h(x) =x sin x + cos x.
h '(x) = sin x +x cos x -sin x = x cos x ; h(x) est une primitive de x sin x+ cos x. L'int�grale I ci-dessous est �gale � :

R�ponse B.
Exercice 2. ( 6 points).
Pour les QCM 7 et 8, on consid�re une population dont 5 % est touch�e par une maladie.
QCM 7. On
consid�re de mani�re al�atoire et ind�pendante deux personnes de cette
population. Soit l'�v�nement A : " aucune personne n'est malade". La
probabilit� de A est �gale � :
Epreuve de Bernoulli ; loi binomiale de param�tre n = 2; p = 0,05 ; q = 1-p = 0,95.
P (X =0) =0,9025.
A. 0,9025.
Vrai.
B. 0,0025.
C. 0,9975.
D. 0,1.
QCM 8. On
sait que la probabilit� qu'une personne ait un test positif � cette
maladie, sachant qu'elle est malade, est 0,8. D'autre part, la
probabilit� d'avoir un test positif pour une personne de cette
population est 0,1. La probabilit� que la personne soit malade
sachant qu'elle a un test positif est �gale � :
A. 0,8.
B. 0,01.
C. 0,4. Vrai.
D. 0,04.

QCM 9. Soit la fonction f d�finie sur R par f(x) = e2x +3x-1 et C sa courbe repr�sentative. La tangente � C au point d'abscisse 0 a pour �quation :
f '(x) = 2e2x+3 ; coefficient directeur de la tangente : f '(0) =5.
Equation de la tangente y =5 x+b.
La tangente passe par le point decoordonn�es x =0 ; f(0) =0 ; b = 0.
A. y = 5 x-1.
B. y = 5x. Vrai.
C. y = 4x.
D. y = 5x+3.
QCM 10.
Soit la suite r�elle (un) d�finie par : u0 = 1,5 et un+1 = 2un-1.
A. La suite (un) converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'�quations y = x et y = 2x-1. Faux.
u1 = 2*1,5-1 =2 ; u2 = 2*2-1 =3 ; u3 = 2*3-1 =5.
B. La suite (vn) d�finie par vn = un-1 est g�om�trique. Vrai.
vn+1 = un+1-1 = 2un-2 = 2(un-1)=2 vn.
La suite (vn) est g�om�trique de raison 2 et de premier terme 0,5.
C. La suite (un) est major�e. Faux.
D. La suite (un) est d�croissante. Faux.
QCM 11.
Soit la suite (un) d�finie par un = n2-10n+1.
A. La suite converge vers 1.
B. La suite diverge vers plus l'infini. Vrai.
C. La suite converge vers z�ro.
D. La suite diverge vers moins l'infini.

QCM 12. La solution y de l'�quation diff�rentielle 2y'-y=3 v�rifiant y(0) =-1 est d�finie par :
A. y(x) =e2x-2.
B. y(x) =2e0,5x-3. Vrai.
C. y(x) =2e0,5x-1.
D. y(x) =e2x-3.
Solution g�n�rale de 2y'-y=0 : y = A e0,5x avec A une constante.
Solution particuli�re de 2y'-y=3 : y = -3.
Solution g�n�rale de 2y'-y=3 : y = A e0,5x -3.
y(0) =A-3 = -1 ; A = 2.
y = 2e0,5x-3.
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Exercice 3. (8 points). I.
Un virus s�vit dans une population. Un test permet de dire avec
certitude si un individu est malade ou non. Mais il est co�teux et
invasif. Dans la pratique, on met en place un test s�rologique, dont
les indicateurs caract�ristiques - la sensibilit� et la sp�cificit� -
sont d�finis ci-apr�s.
On pr�l�ve un individu au hasard ans la population et on consid�re les �v�nements :
M : " lindividu est malade ".
NM : " l'individu n'est pas malade".
T+ : " teste positif".
T- : " test n�gatif".
On note :
p la probabilit� que l'individu soit malade, on l'appelle la pr�valence de la maladie ;
Se=PM(T+) la sensibilit� du test
Sp = PNM(T-) la sp�cifit� du test.
1. Quelques calculs.
Recopier et compl�ter l'arbre pond�r� ci-dessous.
2. On appelle valeur pr�dictive positive du test le nombre VPP = PT+(M).
Montrer que VPP = Se p /(Se p +(1-p) (1-Sp).

VPP = PT+(M)=Se p /(Se p +(1-p) (1-Sp).
3.
Dans cette question, on suppose que la pr�valence est de 30 %, que la
sensibilit� du test est de 90 % et que la sp�cificit� du test est de 90
%.
a. Calculer VPP.
b. Le test a t-il un int�r�t ?
Se =0,9 ; p =0,3 ; Sp = 0,9.
VPP = Se p /(Se p +(1-p) (1-Sp)= 0,9 x0,3 /(0,9 x0,3 +0,7 x 0,1) =0,27 / 0,34 ~0,79 ( 79 %).
La valeur pr�dictive positive est de 79 % : le test a un int�r�t.
4. Dans
cette question, on suppose que la pr�valence est de 1 %, que la
sensibilit� du test est de 90 % et que la sp�cificit� du test est de 90
%.
a. Calculer VPP.
b. Le test a t-il un int�r�t ?
c. Quel probl�me se pose en cas de maladie rare ?
Se =0,9 ; p =0,01 ; Sp = 0,9.
VPP = Se p /(Se p +(1-p) (1-Sp)= 0,9 x0,01 /(0,9 x0,01 +0,99 x 0,1) =0,009 / 0,099 ~0,09 ( 9 %).
La valeur pr�dictive positive est de 9 % : le test a peu d'int�r�t.
Dans le cas d'une maladie rare, la VPP est faible. Un patient
r�agissant positivement au test a une faible probabilit� d'�tre atteint
par la maladie. Des examens compl�mentaires doivent �tre envisag�s.
5.
La VPP d'un test s�rologique n'est pas toujours un indicateur
satisfaisant. On s'int�resse alors �un autre indicateur, le ratio de
vraisemblance positif du test, d�fini par : RV+ =PM(T+) / PNM(T+)
a. Exprimer RV+ en fonction des indicateurs du test.
PM(T+) = Se ; PNM(T+)= 1-Sp. RV+ = Se /(1-Sp).
b. Calculer RV+ avec les donn�es de la question 3 puis celles de la question 4.
Question 3 : RV+ =0,9 /0,1 = 9.
Question 4 : RV+ =0,9 /0,1 = 9.
c. On admet que plus RV+ est grand, plus la VPP est grande.
D'apr�s la question pr�c�dente, le RV+ est-il suffisant pour conclure �
la fiabilit� du test ? Si on a plusieurs tests possibles, comment
choisir Se et Sp pour avoir le test le plus significatif ?
Le gain diagnostique est important quand le RV+ est compris entre 5 et 10. Se et Sp doivent donc �tre grands.
II. En situation clinique.
Le m�decin cherche surtout � ne pas "passer � c�t� d'une maladie" et
accepte " d'alerter � tord " un patient. Il abaisse le seuil de
positivit� du test. Quelle est la cons�quence :
a. Sur Se et Sp ?
Le choix d'un seuil bas augmente la sensibilit� Se et diminue la sp�cificit� Sp.
b. Sur le nombre dc de "faux positifs" ?
On augmente le nombre de faux positifs.
III. La courbe ROC.
Lors du d�pistage de la trisomie 21, le test consiste � mesurer l'indicateur HCG.

1. Pour un seuil de sensibilit� 2 correspondant au point A.
a. Que vaut RV+ � 10-2 pr�s.
RV+ = Se /(1-Sp) = 0,65 / 0,1025 =6,34.
b. Interpr�ter graphiquement cette valeur.
Le gain diagnostique est important quand le RV+ est compris entre 5 et 10. Se et Sp doivent donc �tre grands.
2. Pour le point B du graphique.
a. Que vaut RV+ ?
RV+ = Se /(1-Sp) = 0,5 / 0,5 = 1.
b. Que dire de ce test s�rologique ?
Le gain diagnostique est faible.
Le patient a autant de chance d'�tre atteint de la maladie que d'en �tre indemne.
3. A quel point du graphique correspond le test parfait ?
Les tests peu performants se rapprochent de la diagonale.
Les tests bien discriminants se trouvent dans le coin sup�rieur gauche.
La sensibilit� est �gale � 1. La sp�cificit� est �gale � 1.
4. La capacit� diagnostique d'un test peut �tre quantifi�e par l'aire sous la courbe ROC.
a. Que vaut cette aire quand le test n'a pas d'int�r�t ?
Aire situ�e sous la diagonale rouge : 1 x1 / 2 = 0,5.
b. Que vaut cette aire quand le test est parfait ?
Aire du carr� de c�t� 1 = 1.
c. Comment doit �tre cette aire pour que le test soit le meilleur possible ?
Cette aire doit �tre proche de 1. Plus l'aire sous la courbe est grande, meilleur est le test.
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