Math�matiques, �cole de sant� des arm�es ESA 2021.

Exercice 1. (6 points)
Une seule affirmation est exacte. Aucune justification n'est demand�e. R�ponse juste = 1 point ; r�ponse fausse = -0,25 point. Absence de r�ponse = 0 point.
QCM 1.
Les solutions r�elles de l'�quation 3 (ln(x))² +2 ln(x) -5 =0.
On pose X = ln(x) strictement positif ;
3X²+2X-5 = 0 ; discriminant D = 2²+4*5*3=64 = 8².
Solution retenue X = (-2 +8) / 6 =1 ln(x) = 1 soit x = e.
A. {1 ; -5 /3} ;
B. { e ; e^-5/3} .
C. { e^-5/3}.
D. { e}. Vrai.

QCM 2.
Les solutions r�elles de l'in�quation (e^x-1)(1-x) > 0 sont :
e^x = 1 soit x = 0 et x = 1.

A. ] -oo ; 1 ].
B. [0 ; 1 ] vrai.
C. [0 ;+oo[
D. ] -oo ; 1 ] u [1 ;+oo[ .

QCM 3.
Les solutions r�elles de l'in�quation ln(-x+5) < ln(x+1) sont :
-x+5 >0 soit x < 5 et x+1 > soit x > -1.
ln(x-5) -ln(x+1) < 0 ; ln(x-5) /(x+1) < 0.

X appartient � ]-1 ; 0[ union ]4 ; 5[.
A. ]2 ; +oo[
B. ]-oo ; 5[
C. ]-1 ; 5[ vrai.
D. ]2 ; 5 [.

QCM 4.
La limite de (x²+1)^�-(x²-1)^� en plus l'infini est :
x(1+1/x²)^�-x(1-1/x²)^� = x [(1+1/x²)^�-(1-1/x²)^� ].
A. +oo
B. 1.
C. 0. Vrai.
D. 2.

QCM 5.
Soit la fonction f d�finie sur R par f(x) = x exp(x²-1), alors :
On pose u = x et v =exp(x²-1) , u' = 1 et v' = 2x exp(x²-1)
u'v+v'u = exp(x²-1) +2x² exp(x²-1) =(1+2x²)exp(x²-1)
A. f '(x) = exp(x²-1).
B. f '(x) = 2x exp(x²-1).
C. f '(x) = (1+2x²)exp(x²-1). Vrai.
D. f '(x) = 2x²exp(x²+1).

QCM 6.
Indication : calculer la d�riv�e de h(x) =x sin x + cos x.
h '(x) = sin x +x cos x -sin x = x cos x ; h(x) est une primitive de x sin x+ cos x.
L'int�grale I ci-dessous est �gale � :

R�ponse B.

Exercice 2. ( 6 points).
Pour les QCM 7 et 8, on consid�re une population dont 5 % est touch�e par une maladie.
QCM 7.
On consid�re de mani�re al�atoire et ind�pendante deux personnes de cette population. Soit l'�v�nement A : " aucune personne n'est malade". La probabilit� de A est �gale � :
Epreuve de Bernoulli ; loi binomiale de param�tre n = 2; p = 0,05 ; q = 1-p = 0,95.
P (X =0) =0,9025.
A. 0,9025. Vrai.
B. 0,0025.
C. 0,9975.
D. 0,1.

QCM 8.
On sait que la probabilit� qu'une personne ait un test positif � cette maladie, sachant qu'elle est malade, est 0,8. D'autre part, la probabilit� d'avoir un test positif pour une personne de cette population est 0,1. La probabilit� que la personne soit malade sachant qu'elle a un test positif est �gale � :
A. 0,8.
B. 0,01.
C. 0,4. Vrai.
D. 0,04.

QCM 9.
Soit la fonction f d�finie sur R par f(x) = e^2x +3x-1 et C sa courbe repr�sentative. La tangente � C au point d'abscisse 0 a pour �quation :
f '(x) = 2e^2x+3 ; coefficient directeur de la tangente : f '(0) =5.
Equation de la tangente y =5 x+b.
La tangente passe par le point decoordonn�es x =0 ; f(0) =0 ; b = 0.

A. y = 5 x-1.
B. y = 5x. Vrai.
C. y = 4x.
D. y = 5x+3.

QCM 10.
Soit la suite r�elle (u_n) d�finie par : u₀ = 1,5 et u_n+1 = 2u_n-1.
A. La suite (u_n) converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'�quations y = x et y = 2x-1. Faux.
u₁ = 2*1,5-1 =2 ; u₂ = 2*2-1 =3 ; u₃ = 2*3-1 =5.
B. La suite (v_n) d�finie par v_n = u_n-1 est g�om�trique. Vrai.
v_n+1 = u_n+1-1 = 2u_n-2 = 2(u_n-1)=2 v_n.
La suite (v_n) est g�om�trique de raison 2 et de premier terme 0,5.
C. La suite (u_n) est major�e. Faux.
D. La suite (u_n) est d�croissante. Faux.

QCM 11.
Soit la suite (u_n) d�finie par u_n = n²-10n+1.
A. La suite converge vers 1.
B. La suite diverge vers plus l'infini. Vrai.
C. La suite converge vers z�ro.
D. La suite diverge vers moins l'infini.

QCM 12.
La solution y de l'�quation diff�rentielle 2y'-y=3 v�rifiant y(0) =-1 est d�finie par :
A. y(x) =e^2x-2.
B. y(x) =2e^0,5x-3. Vrai.
C. y(x) =2e^0,5x-1.
D. y(x) =e^2x-3.
Solution g�n�rale de 2y'-y=0 : y = A e^0,5x avec A une constante.
Solution particuli�re de 2y'-y=3 : y = -3.
Solution g�n�rale de 2y'-y=3 : y = A e^0,5x -3.
y(0) =A-3 = -1 ; A = 2.
y = 2e^0,5x-3.