Temp�rature de surface d'une plan�te, influence de l'atmosph�re, concours g�n�ral 2021.

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Temp�rature de surface d'une plan�te
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Consid�rons une plan�te du syst�me solaire supos�e sph�rique de rayon Rp et situ�e � une distance d du soleil. La surface de la plan�te est mod�lis�e comme un corps chaud de temp�rature de surface uniforme Tp �mettant un rayonnement de puissance Pp donn�e par la loi de Stefan-Boltzmann.
 Pp = s Tp4 A avec A aire de la surface de la plan�te et
s =5,67 10-8W m-2 K-4.
Le soleil est lui aussi mod�lis� comme un corps chaud sph�rique de rayon Rs et  de  temp�rature de surface Ts dont le rayonnement �mis suit la loi de
Stefan-Boltzmann.
1. Exprimer la puissance totale Ps �mise par le soleil.
Ps = s Ts4 A avec A = 4pRs2 ; Ps = s Ts4 4pRs2 .
La puissance solaire �tant �mise de mani�re isotrope, seule une partie de cette puissance est effectivement re�ue par la plan�te.  La puisance solaire PTS recue par la plan�te s'�crit :
PTS = Ps pRp2 / (4 pd2).
2. Interpr�ter le rapport des deux surfaces qui intervient dans cette relation.
A la distance d du soleil, la puissance solaire est dans une sph�re de rayon d et de surface
4 pd2.
Puissance surfacique du soleil � la distance d : Ps
/ (4 pd2).
Surface de la plan�te recevant cette puissance :
pRp2 .
La plan�te r�fl�chit vers l'espace  une proportion A, appel�e alb�do, du rayonnement solaire incident.
3. Donner l'expression de la puissance solaire Pas absorb�e par la plan�te.
Puissance r�fl�chie: A
PTS .
Pas = (1-A)PTS = (1-A)Ps Rp2 / (4 d2).
En absence d'atmosph�re, la temp�rature de surface d'une plan�te du syst�me solaire r�sulte d'un �quilibre entre la puissance solaire absorb�e et la puissance �mise par la plan�te.
4. A l'�quilibre thermique, �crire le bilan de puissance pour la surface de la plan�te et montrer que la temp�rature de surface Tp s'�crit Tp = Ts[(1-A)Rs2 / (4d2)]1/4.
Puissance re�ue = puissance absorb�e + puissance �mise par la plan�te.
Ps Rp2 / (4 d2) = Pas +(1-A)Ps Rp2 / (4 d2).
Pas =(1-A)Ps Rp2 / (4 d2).
Loi de St�fan : 
Pas = s Tp4 4 p Rp2.
(1-A)Ps Rp2 / (4 d2) = s Tp4 4 p Rp2.
(1-A)Ps / (4 d2) = s Tp4 4 p .
(1-A) s Ts4 4pRs2 / (4 d2) = s Tp4 4 p .
(1-A)  Ts4 Rs2 / (4 d2) =  Tp4 .
Tp = Ts[(1-A)Rs2 / (4d2)]1/4.
On donne la distance moyenne, l'alb�do, la temp�rature de surface calcul�e et la temp�rature de surface mesur�e de quelques plan�tes du syst�me solaire.
Plan�te
mercure
v�nus
terre
mars
jupiter
d( u.a)
0,39
0,72
1,00
1,52
5,2
A
0,12
0,75
0,31
0,25
0,34
Tp( K )
430
230

210
110
Tmes(K)
400
730
290
225
124
1 u.a = 1,5 1011 m.
5. Calculer la temp�rature de surface de la terre dans le cadre du mod�le sans atmosph�re.
Tp = Ts[(1-A)Rs2 / (4d2)]1/4.
Ts = 5,78 103 K ; Rs = 6,95 108 m ; d = 1,5 1011 m.
Tp = 5,78 103[(1-0,31)(6,95 108)2 / (4(1,5 1011)2)]1/4 =2,5 102 K.
6. Sur le m�me graphique, repr�senter la temp�rature de surface Tp calcul�e et la temp�rature moyenne mesur�e en fonction de la distance moyenne d.

7. Discuter de la pertinence du mod�le sans atmosph�re.
A l'exeption de V�nus ( alb�do importante), les temp�ratures correspondent.
Ce mod�le est pertinent dans la mesure ou l'alb�do n'est pas trop grande.

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Influence de l'atmosph�re sur la temp�rature de surface de la terre
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L'atmosph�re terrestre est mod�lis�e par une unique couche gazeuse homog�ne qui enveloppe l'ensemble de la plan�te. Elle est suppos�e transparente dans le domaine visible de  telle sorte qu'elle n'absorbe pas le rayonnement solaire incident mais en r�fl�chit une proportion A vers l'espace. La surface terrestre est mod�lis�e par un corps chaud de temp�rature uniforme TT �mettant un rayonnement infrarouge de puissance Pa en direction de l'espace et de la terre. La surface terrestre absorbe � son tour le rayonnement infrarouge provenant de l'atmosph�re.
Bilan de puissance en pr�sence d'une atmosph�re.

Puissance solaire re�ue par la terre : Prs = Ps pRT2 / (4 pd2).
8 . A l'�quilibre thermique, �crire le bilan de puissance pour la terre.
(1-A)Prs+Pa= PT. (1)
9. A l'�quilibre thermique, �crire le bilan de puissance pour l'atmosph�re.
Prs+PT =APrs+Pa+(1-A)Prs+Pa ;
PT =2Pa.(2)
10. En d�duire que la temp�rature de surface de la terre TT s'�crit :  TT = Ts[(1-A)Rs2 / (2d2)]1/4.
(2) donne : Pa = 0,5 PT ;
 repport dans (1) :
(1-A)Prs+0,5 PT= PT :
(1-A)Prs= 0,5 PT.
Prs = Ps pRp2 / (4 pd2) et Ps = s Ts4 4pRs2 .
(1-A) Ps pRp2 / (4 pd2)=0,5 PT.
(1-A)  s Ts4 4pRs2  pRT2 / (4 pd2)= 0,5PT.
PT = s TT4 4pRT2
(1-A)  s Ts4 4pRs2  pRT2 / (4 pd2) s TT4 4pRT2 / 2
(1-A)   Ts4 Rs2  / (4 d2)  TT4 / 2.
(1-A)   Ts4 Rs2  / (2 d2)  TT4.
TT = Ts[(1-A)Rs2 / (2d2)]1/4.
11. Calculer la temp�rature de surface de la terre et commenter.
TT = Ts[(1-A)Rs2 / (2d2)]1/4.
TT = 5,78 103[(1-0,31)(6,95 108)2 / (2x(1,5 1011)2)]1/4=3,0 102 K.
Cette valeur est en accord avec la temp�rature mesur�e 290 K.
12. Comment nomme t-on l'effet d'augmentation de la temp�rature de la surface de la terre en raison de la pr�sence de l'atmosph�re ?
C'est l'effet de serre.




  

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