Formation des nuages, chute d'une goutte d'eau, concours g�n�ral 2021.

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Un nuage se forme lorsqu'il y a liqu�faction de vapeur d'eau en altitude.
Formation d'un nuage dans la basse atmosph�re.
L'air est constitu� d'un m�lange d'air sec et de vapeur d'eau. Tant qu'il n'y a pas liqu�faction, l'air sec et la vapeur d'eau peuvent �tre assimil�s � des gaz parfaits. Soit nH2O la quantit� de mati�re de vapeur d'eau contenue dans l'air. On appelle pression partielle de vapeur d'eau contenue dans l'air PH2O = nH2O RT /  V.
On observe l'apparition de gouttes d'eau liquide dans l'air loorsqu'� une temp�rature fix�e T la pression partielle d'eau est telle que :
PH2O > Psat(T) o� Psat (T) est la pression de vapeur saturante de l'eau.
On note T0 = 298 K et P0 = 1,0 105 Pa, temp�rature et pression au niveau du sol.
 13. L'�volution de la temp�rature en fonction de l'altitude z dans la basse atmosph�re, appel�e troposph�re, est mod�lis�e par une loi affine s'�crivant : T(z) = T0-lz avec l une constante. Estimer la valeur de l.

l = (T0-T(z)) / z =(298-228) / 10 000 = 7 10-3 K m-1.
Tant qu'il n'y a pas liqu�faction, l'air se comporte comme un gaz parfait et la pression totale P � l'int�rieur d'un petit volume V d'air, qui s'�l�ve dans la troposph�re, suit une loi de la forme
PVg = cste avec g = 1,4.
 14. Montrer que la pression totale et la temp�rature � l'int�rieur  d'un petit volume V d'air en ascension satisfont la relation
 P(z)1-g T(z)g = cste.
V = nRT(z) / P(z).
P ( nRT(z) / P(z))g = cste
 P(z)1-g T(z)g = cste / (nR)g =autre constante.
15. En d�duire l'expression de P(z) en fonction de P0, T0, g et z.
 P(z)1-g T(z)g = P01-g T0g . On pose � = g /(1-g).
P(z) = P0 (T0 /T(z))�.
P(z) = P0 (T0 / (T0-lz))�.
16. On consid�re un air poss�dant une humidit� relative P = mH2O / msec  =1 % o� mH2O repr�sente la masse de vapeur d'eau et msec la masse d'air sec. P �tant tr�s inf�rieur � 1, msec ~ mtot, masse totale de gaz. Montrer que la pression partielle de la vapeur d'eau dans l'air, � l'altitude z s'�crit : PH2O(z) = Msec / MH2O P P(z)
MH2O = 18 g / mol et Msec = 29 g / mol.
PH2O = nH2O RT /  V.
Ptot =P(z) = ntot RT /  V.
P(z) / PH2O = nair /  nH2O  ; PH2O =P(z) nH2O / ntot.
nH2O / ntot = mH2O / MH2O  x Mtot / mtot  ~ mH2O / MH2O  x Msec / msec  ~P Msec / MH2O.
PH2O(z) = Msec / MH2O P P(z).

On se propose d'�valuer num�riquement , � l'aide d'un programme Python, la vaelur de la pression partiele PH2O � diff�rentes altitudes z.
1. z =[] # liste d'altitude (m).
2. T =[] # liste de temp�rature (K).
3. P =[] # liste de pression totale ( Pa).
4. PH2O =[] # liste de pression partielle  de vapeur ( Pa).
5.
6. for i in range (0,20):
7. z.append(500+i*100)
8. T.append(298-0.007*z[i])
9. P.append(1.0e5*(298/(T[i])**(-1.4/0.4))
10. PH2O.append((29/18)*0.01*P[i])

17. Donner les valeurs : du premier �l�ment, du pas en altitude et du dernier �l�ment de la liste z. Combien d'�l�ments contient cette liste une fois la boucle "pour" termin�e ?
Premi�re valeur de z : 500 +0*100 = 500 m ; pas en altitude : 100 ; derni�re valeur de z : 500 +19 *100 = 2400.
La liste compte 20 �l�ments.
 18. Compl�ter la ligne 8 du programme afin de cr�er une liste T contenant les valeurs de temp�rature de l'air aux diff�rentes altitudes contenues dans la liste z.
T(z) = 298 -lz, donc : 8. T.append(298-0.007*z[i])

On a repr�sent� les valeurs calcul�es de PH2O gr�ce au programme Python et la courbe Psat(T) en fonction de la temp�rature T de l'air.

 19. Evaluer l'altitude de formation d'un nuage et commenter.
Si PH2O > Psat, la liqu�faction d�bute. Le graphe indique T = 285 K.
 T(z) = T0-lz  ; z = (T0-T(z) / l =(298-285) / 0,007 ~1,9 103 m (1,9 km).
20. Pourquoi ce mod�le n'est-il pas adapt� pour d�crire la formation de nuages dans la haute atmosph�re ?
La temp�rature n'�volue pas de mani�re lin�aire dans la haute atmosph�re.

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Chute d'une goutte d'eau.
Un nuage s'est form� � l'altitude h = 1000 m. Une goutte sph�rique de rayon R = 0,075 mm s'est form�e dans la partie inf�rieure du nuage. Elle chute verticalement avec une vitesse initiale nulle. On note reau et rair les masses volumiques de l'eau et de l'air. L'�tude est men�e dans le r�f�rentiel du sol suivant un axe Oz vertical descendant.
La goutte subit une foce de frottement
Re =2R rair v / h, nombre de Reynolds, sans dimension, avec h = 1,8 10-5 S I.
Pour Re < 1, CD =24 / Re ; pour 1 < Re < 5, CD =24 / Re +4,5.
La pouss�e d'Archim�de est n�glig�e devant les autres forces appliqu�es sur la goutte.
21 . Par analyse dimensionnelle donner l'unit� de h.
R s'exprime en m ; rair s'exprime en kg m-3 ; v s'exprime en m s-1.
h s'exprime en : m kg m-3 m s-1 soit kg m-1 s-1.

On suppose que Re <1.
22. Etablir l'�quation diff�rentielle v�rifi�e par la composante verticale de la vitesse.
Projeter la somme vectorielle des forces sur l'axe Oz :
mg -12 / Re rair p R2 v2 = m dv /dt.
dv / dt + 12 / Re rair p R2  / m v2 =g.
Or Re =2R rair v / h.
 dv / dt + 12 / Re rair p R2  / m v2 =g.
On pose t = m Re / (12 rair p R2 ) avec m = reau 4 / 3 p R3et Re = 2R rair v / h.
t = 2 / 9 reauR2 / h.
dv /dt + v / t = g.
23. En r�gime permanent, la goutte atteint une vitesse limite. Donner son expression et calculer sa valeur.
  Lorsque le poids compense la force de frottement, la goutte atteint une vitesse limite.
vlim = g t = g  2 / 9 reauR2 / h.
vlim =9,8 x2 / 9 x1000 x(7,5 10-5)2 / (1,8 10-5) ~0,68 m /s.
24. Calculer la valeur du nombre de Reynolds en r�gime permanent et conclure.
Re =2R rair v / h =2 x7,5 10-5 x1,3 x0,68 / (1,8 10-5) ~7,4.
Cette valeur �tant sup�rieure �1, l'hypoth�se faite n'est pas valide.

On suppose que 1 < Re < 5.
 25. Montrer que la vitesse limite de la goutte est solution de l'�quation :
3 rair R / (8h) v2lim +vlim -2greau R2 /(9 h) = 0.

mg = 0,5 CD rair pR2 v2lim.
4 / 3 reau pR3 g=0,5 CD rair pR2 v2lim.
4 / 3 reau R g=0,5 rair CD  v2lim
CD =24 / Re +4,5 ; Re =2R rair v / h ; CD =24 h /(2R rair vlim) +4,5.
4 / 3 reau R g=0,5 rair 24 h /(2R rair vlim) v2lim+4,5 *0,5 rair v2lim.
4 / 3 reau R g=6 h /R vlim+4,5 *0,5 rair v2lim.
4 / 3 reau R2 g=6 h  vlim+2,25 rair R v2lim.
2 / 9 reau R2 g / h = vlim+3 /8 rair R / h v2lim.
26. Calculer vlim puis Re. Conclure.
3 *1,3 *7,5 10-5 / (8*1,8 10-5)v2lim + vlim -2*9,8 *1000 *(7,5 10-5)2 /(9*1,8 10-5)=0.
2,03 v2lim + vlim -0,68 =0.
Discriminant D =1+4*0,68*2,03 =6,52 =2,552.
vlim = (-1+2,55) / 4,06 ~0,38 m /s.
Re =2R rair v / h =2 x7,5 10-5 x1,3 x0,38 / (1,8 10-5) ~4,1.
Hypoth�se v�rifi�e.

La courbe suivante repr�sente la vitesse v en fonction du temps dans les premiers instants du mouvement de la goutte.

27. Montrer que la distance parcourue par la goutte durant le r�gime transitoire est tr�s petite devant celle parcourue durant le r�gime permanent. Conclure.
Dur�e du r�gime transitoire : 1,5 s.
Distance parcourue � la vitesse  v = 0,38 m /s durant 1,5 s : 0,38 x1,5 ~0,6 m.
Cette valeur est n�gligeable devant h = 1000 m.
28. Calculer la dur�e de chute de la goutte. Commenter.
h / vlim = 1000 / 0,38 =2,6 103 s~44 min.
En 44 minutes, les vents et les flux d'air interviennent, accroissent la vitesse de la goutte, et la chute n'est pas verticale.
30. Justifier l'hypoth�se selon laquelle la pouss�e d'Archim�de peut �tre n�glig�e devant les autres forces.
Volume de la goutte : V = 4 / 3 pR3 = 4 /3 x3,14 x(7,5 10-5)3 ~1,8 10-12 m3.
Poids : reau V g =1000 x1,8 10-12 x9,8 ~1,7 10-8 N
Pouss�e : rair V g =1,3 x1,8 10-12 x9,8 ~2,3 10-11 N.
La masse volumique de l'air �tant environ 1000 fois plus faible que la masse volumique de l'eau, la pouss�e d'Archim�de due � l'air est n�gligeable devant le poids.
Force de frottement en r�gime permanent :
Re =4,1 ; CD =24 / Re +4,5 =24 /4,1 +4,5 ~10.

 F =0,5  x10 x1,3 x3,14 x(7,5 10-5)2 x0,382 ~1,7 10-8 N.
La pouss�e d'Archim�de due � l'air est n�gligeable devant les frottements durant le r�gime permanent..

Nuage et coup de foudre.
Les cumulonimbus sont de gros nuages en forme d'enclume. Leur base se situe � environ 1 km d'altitude ; leur sommet � plus de 10 km. Ils sont constitu�s de gouttes d'eau � leur base et de gr�lons au sommet.
Lors d'un orage, ces nuages sont parcourus de forts courants de convection ascendant et descendant provoquant des collisions entre particules de glace et  de gouttes d'eau. Des charges �lectriques apparaissent. Les gr�lons du sommet se chargent positivement et les gouttes d'eau de la base se chargent n�gativement.
La surface de la terre se charge positivement par influence. La surface terreste et la base du nuage se comportent comme un condensateur plan de capacit� C = e0A / d avec e0 = 8,85 10-12 F.
A : aire de la base du nuage et d l'altitude du nuage.
La tension entre les armatures de ce condensateur peut atteindre 20 MV.
Cette haute tension reste insuffisante pour ioniser l'air entre la terre et la base du nuage. Le coup de foudre est initi� par l'�mission de traceurs ( particules charg�es)  qui s'�chappent de la base du nuage. Acc�l�r�s par la diff�rence de potentiel entre nuage et sol, ces traceurs progressent � une vitesse de l'ordre de 200 km /s et ionisent par collision, l'air sur leur passage : il en r�sulte un canal conducteur.
Lorsqu'un traceur s'approche suffisamment du sol, la tension entre le traceur et le sol, est telle qu'une d�charge ascendante se produit. Le canal conducteur form� relie directement le sol au nuage : une puissante d�charge sur une dur�e de 500 �s se produit. C'est le coup de foudre qui engendre �clair et tonnerre.
 Evaluer l'ordre de grandeur de l'intensit� du courant circulant lors d'un coup de foudre. Discuter de l'int�r�t de mettre en place un dispositif de r�cup�ration de cette �nergie.

Aire de la base circulaire du nuage : A = p R2 avec R ~ 2,5 km ; A = 3,14 x(2,5 103)2 =1,96 107 m2.
Capacit� du condensateur :
C = e0A / d = 8,85 10-12 x1,96 107 / 1000 =1,74 10-7 F.
Charge perdue lors du coup de foudre : q = C U = 1,74 10-7 x 20 106 =3,48 C.
Dur�e de la d�charge : 500 �s.
Intensit� correspondante : I =  q / Dt =3,48 / (500 10-6) ~ 7 103 A.
Energie correspondante : U I Dt = 20 106 x7 103 x500 10-6 ~7 107 J.
Il n'y a aucune technologie permettant actuellement de r�cup�rer une telle �nergie de  produite en 500 �s.



  

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