Physique
chimie, jouer du violon, portrait de phase, concours g�n�ral 2020.
Huile de lin  Mouvement de la table d'harmonie.
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1. Le
mouvement de Helmholtz ( not� mdH).
C'est le mouvement que le violoniste doit chercher � reproduire pour
obtenir un son de qualit�.
On consid�re une corde de longueur L, tendue entre deux extr�mit�s
fixes. Le contact entre l'archet et la corde s'effectue en un point M,
suppos� ponctuel, situ� � l'abscisse � L ( 0 < � < 1) compt�e depuis
l'extr�mit� de la corde fix�e au chevalet. L'archet se d�place
perpendiculairement � la corde � la vitese va,
constante, par rapport au violon. Helmholtz a observ� que la corde peut
�tre d�compos�e en deux segments de droite reli�s en un point P, appel�
coin de Helmholtz.
D'un point de vue cin�matique, la projection du coin P sur l'axe de la
corde au repos, not�e H, fait des allers-retours � la vitesse co
entre les extr�mit�s de la corde. Ce mouvement est p�riodique, de
p�riode T = 2 L / co. On peut montrer que la trajectoire du
coin de Helmholtz P est constitu� de deux arcs de parabole repr�sent�s
en tirets.
Lorsque l'archet frotte la corde, cette derni�re adh�re � l'archet
pendant la dur�e o� le point H est situ� entre l'archet et le sillet.
Lorsque le point H est situ� entre le chevalet et l'archet, la corde
glisse sur l'archet. La figure suivante repr�sente quelques �tats
successifs de la corde au cours d'une p�riode du mouvement de Helmholtz.
38. Les ondes de
d�formation de la corde peuvent-elles �tre qualifi�es de longitudinales
ou transversales ?
La d�formation de la corde se fait perpendiculairement � l'axe de la
corde. Il s'agit d'ondes transversales.
39. Quelle
hypoth�se permet de n�gliger tout ph�nom�ne de torsion de la corde ?
Hypoth�se : la corde est suppos�e dans �paisseur ; elle ne peut donc
pas tourner sur elle m�me.
40. D�terminer les
valeurs de la p�riode de vibration T et de la vitesse c0
correspondant � la vibration fondamentale de la corde du r�.
Peut-on suivre la d�formation de la corde � l'eoil nu ? Justifier.
La corde du
r� a un fondamental de fr�quence f = 294 Hz.
T = 1 / f = 1 / 294 ~ 3,40 10-3 s = 3,40 ms.
co = 2L / T = 2Lf = 2 x0,33 x 294 ~1,9 102 m /s.
L'oeil humain peut distinguer des f�quences allant jusqu'� 10 Hz ( 10
images par seconde). Cet oeil ne peut donc pas suivre la d�formation de
la corde.
On s'int�resse au mouvement du point M de la corde, d'abscisse �L, en
contact avec l'archet.
41. D�terminer en
fonction de � et T, les expressions de Ta et Tg, dur�es respectives de
la phase d'adh�rence et de la phase de glissement.
Phase d'adh�rence : H est situ� entre archet et sillet. H
effectue un aller-retour entre archet et sillet, de longueur
L(1-�).
Ta = 2L(1-�) / co = (1-�)T.
Phase de glissement : dur�e de l'aller retour entre archet et
chevalet de longueur �L.
Tg = 2�L / co = � T.
42.
Pendant la phase d'adh�rence, M se d�place � vitesse constante va
par rapport au corps du violon. En utilisant la notion de valeur
moyenne d'une grandeur p�riodique, justifier que la vitesse, suppos�e
constante, du point M par rapport au corps du violon pendant la phase
de glissement est donn�e par : vg = -va ( 1-�) /
�.
Le mouvement de la corde
est p�riodique de p�riode T.
adh�rence : M parcourt la distance da � la vitesse va
;
da = va Ta = va (1-�)T.
Glissement : dg = vg Tg
= vg �T.
Le point M revient � sa position initiale : da
+dg=0 ;
va (1-�)T +vg �T = 0 ; vg = -va ( 1-�) / �.
43. En d�duire les
expressions de la position du point M, not�e y(t), durant chaque phase
en consid�rant que le mouvement commence � la date t=0 par une phase de
glissement avec y(0) = 0.
A t=0, M est � la position d'�quilibre, donc � la moiti� de la phase de
glissement.
Pour 0 < t < 0,5 Tg :
y(t)=vgt = -va ( 1-�) / � t.
La phase d'adh�rence d�bute � t = 0,5Tg.
y(0,5Tg) =-0,5va (
1-�) / � Tg =0,5va ( 1-�) T.
Pour 0,5 Tg <
t < T-0,5 Tg
, il y a adh�rence.
y(t) = va(t-0,5 Tg)-0,5 va (1-�)T =vat
-0,5va( Tg+(1-�)T) =vat -0,5va(
�T+(1-�)T)=va(t-0,5 T).
La derni�re partie du mouvement est un glissement pendant t -(T-0,5 Tg)..
T-0,5 Tg <
t < T : y(t)=vg
(t-(T-0,5 Tg)+0,5vaT(1-�) =vgt+ vgT(1-0,5
�)+0,5[-vg
� /(1-�)]T(1-�).
y(t)=vgt+vgT(1-0,5
�)-0,5vg �T=vgt+vgT(1-�).
44. Montrer que
l'amplitude de la d�formation maximale ym de la corde �
l'abscisse du point M s'�crit :
ym = 0,5 vaT(1-�).
y varie de fa�on affine entre les deux valeurs extr�mes -0,5 va
T(1-�) et 0,5 va T(1-�).
Amplitude de la d�formation maximale de la corde en M : ym = 0,5 vaT(1-�).
45. Calculer ym
pour la corde r� du violon avec va = 0,20 m /s et � = 0,10.
Commenter.
ym =0,5 x0,20 / 294 x(1-0,10) ~3,8 10-4 m= 0,38
mm, invisible � l'oeil nu.
La figure suivante repr�sente y(t) d'une corde de violon pour
diff�rentes valeurs de la vitesse va.
46. Commenter
l'allure exp�rimentale de l'�longation y(t) de la corde. Commenter
l'influence de la vitesse de l'archet sur cette �longation.
Aux variations lin�aires du mod�le de
Helmholtz se superposent d'autres variations dues � la pr�sence
d'harmoniques dans un son complexe.
La vitesse de l'archet influe uniquement sur l'amplitude de
l'�longation ( intensit� du son �mis), mais pas sur sa forme.
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2.Un
mod�le d'oscillations entretenues.
Afin d'interpr�ter l'alternance de sphases d'adh�rence et de glissement
de la corde sur l'archet, on propose le mod�le suivant.
Un objet, de masse m, repose sur un tapis roulant. Cet objet est reli�
� un point fixe par l'interm�diaire d'un ressort de constante de
raideur k.
La position de l'objet, mod�lis� par un point mat�riel, est rep�r�e par
son abscisse y(t). Lorsque l'objet se trouve en y=0, le ressort n'est
ni tendu, ni comprim� : sa longueur est �gale � sa longueur � vide.
21. Portrait de phase de l'oscillateur
harmonique.
Dans les
questions 47 � 50, on fait l'hypoth�se que le tapis est immobile et que
l'objet se d�place sans frottement sur le tapis.
Dans ces conditions : y(t) = y0 cos ( w0t).
47. w0 = ka mb o� a et b
sont des r�els. k s'exprime en N m-1. Quelle est l'unit� de w0
? D�terminer a et b.
w0t �tant sans
dimension, w0 est l'inverse d'un temps ( s-1).
k est une force divis�e
par une longueur ; une force est une masse fois une acc�l�ration.
k s'exprime en : kg s-2. k / m s'exprime en s-2. (k / m)� sexprime en s-1.
Donc a = 0,5 et b = -0,5.
48. D�terminer l'expression de la
vitesse de l'objet.
v(t) = dy / dt = -w0 y0
sin (w0t).
On convient de repr�senter l'�tat de l'objet par un point N dans un
plan muni d'un rep�re orthonorm�. l'abscisse du point N est �gale � w0 y(t) et son ordonn�e � v(t). La courbe
d�crite par ce point N lorsque le temps �volue est appel�e portrait de
phase du syst�me �tudi�.
49. Justifier quelle portrait
de phase est un cercle, centr� sur l'origine et de rayon w0 y0. Indiquer le sens de
parcours et la position initiale de N.
abscisse x(t)= w0 y0
cos ( w0t)
; ordonn�e v(t) = -w0 y0
sin (w0t).
x(t) 2 + v(t)2 = (w0 y0)2.
Il s'agit de l'�quation d'un cercle centr� sur l'origine et de rayon R =w0 y0.
Position initiale : abscisse : y0 ; ordonn�e : 0.
Sens de parcours : celui des aiguilles d'une montre.
50.
Comment se traduit sur le portrait de phase le caract�re p�riodique du
mouvement de l'objet ? Tonner l'expression de la p�riode T0.
N d�crit le cercle
en une dur�e T0 constante.
w0 T0 = 2 p. T0 =2 p / w0.
2.2. Portrait de phase de
l'objet entra�n� par le tapis.
On consid�re que la partie sup�rieure du tapis se d�place par rapport
au sol � la vitesse V > 0. On tient compte de forces de frottements
qui s'exercent sur l'objet. L'actionn m�canique du tapis sur l'objet
est mod�lis�e par une force  qui suit les lois de
Coulomb du frottement de glissement :
- l'objet adh�re au tapis tant que |Rt| < �s |Rn| o� �s
est le coefficient de frottement statique.
- lorsque l'objet glisse sur le tapis, alors |Rt| = �d |Rn| o� �d est le coefficient de
frottement dynamique.
La force de rappel �lastique exerc�e par le ressort s'�crit : 
On choisit les conditions initiales suivantes : y(0)=0 et dy /dt ( t=0)
= V. Le mouvement de l'objet d�bute par une phase d'adh�rence sur
le tapis.
51. D�terminer
l'expression de la vitesse par rapport au sol v(t) de l'objet
durant la phase d'adh�rence.
L'objet adh�rant au tapis poss�de la m�me vitesse que le tapis : v(t) =
V.
52. En appliquant
la seconde loi de Newton, montrer que la phase d'adh�rence se maintient
tant que |y| < �s
mg / k.
On �crit la seconde loi de Newton sur l'axe horizontal. L'objet
ayant la vitesse constante du tapis V, son acc�l�ration est nulle.
Par suite : k y(t)= Rt.
Sur l'axe vertical, cette loi conduit � mg = Rn.
L'objet adh�re au
tapis tant que |Rt| < �s |Rn| soit ky(t)
< mg �s.
Le portrait de phase est repr�sent� ci-dessous. La phase de glissement
correspond � une portion de cercle, centr� sur la point C de
coordonn�es w0
�d mg / k ; 0). Le cercle complet est parcouru avec une
vitesse angulaire constante, en une dur�e T0 d�termin�e � la
question 50.
53. Donner la
valeur de la vitesse V.
La vitesse est constante ( adh�rence) entre les points A et B1
et vaut V = 1,0 m /s.
54. Que repr�sente
le point A ? A quelle partie du portrait de phase correspond la phase
d'adh�rence ?
A est la position initiale de l'objet. AB1 correspond �la
phase d'adh�rence.
55. Justifier que
le mouvement devient p�riodique, une fois B2 d�pas� pour la
premi�re fois. D�crire ce mouvement.
L'objet par du point A, � vitesse constante : l'abscisse y augmente. Il
d�passe le point B2 puis suit ce portrait sans jamais
repasser sur le segment AB2. Le mouvement est donc bien
p�riodique d�s lors que B2 est d�pass� pour la premi�re fois.
Tant que la
vitesse est positive,
l'abscisse y cro�t. Quand la vitesse devient n�gative, y d�cro�t : le
portrait de phase se d�crit dans le sens des aiguilles d'une montre.
56. Donner les dur�es de la phase
d'adh�rence, de la phase de glissement, la p�riode du mouvement.
T0 est donn�e �gale � 1,0 s ; w0 = 2 p. V = 1,0 m /s.
Distance w0
B2 B1 =0,6 m /s
Ta = 0,6 / (6,28) ~0,09 s.
tan a = HB1
/ CH =0,3 / 1 =0,3 ; a
~17 �.
Portion du cercle correspondant au glissement : (360-2*17) / 360 ~0,91.
Dur�e du glissement Tg = 0,91 T0 = 0,91 s.
P�riode du mouvement : 0,91 +0,09 = 1 s.
57. En quoi ce
mod�le est-il pertinent pour d�crire l'action de l'archet sur la corde
? Quelles sont les granndeurs caract�ristiques de la corde du violon
analogues � la masse m, � la constante de raideur k, � la vitesse V et
aux coefficients de frottement.
Ce mod�le est pertinent car il d�crit les phases d'adh�rence et de
glissement qui se succ�dent sur la corde du violon.
k ( N / m) correspond � la tension de la corde du violon divis�e par la
distance � L.
V correspond � la vitesse va de l'archet.
58. En quoi ce
mod�le est-il criticable pour d�crire le mouvement d'une corde de
violon frott�e ?
Pour la corde de violon : la phase d'adh�rence est longue, la
phase de glissement est courte. C'est le contraire du mod�le d�crit
ci-dessus.
De plus le mod�le du tapis ne prend pas en compte la pr�sence
d'harmoniques.
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