Physique chimie, positionnement d'un navire par GPS, concours g�n�ral 2020.

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Le principe du positionnement GPS repose sur la mesure de la distance entre le r�cepteur GPS et plusieurs satellites �metteurs. La distance est calcul�e � partir du temps mis par un signal port� par une onde �lectromagn�tique pour parcourir cette distance. La position de chaque satellite dans l'espace et l'heure exacte de transmission du message sont connues avec une grande pr�cision par le r�cepteur.
1. les satellites constituant le syst�me GPS �mettent leurs signaux � des fr�quences f1 et f2, ayant pour valeurs respectives f1 = 1575,42 MHz et f2 = 1227,60 MHz. Citer le domaine du spectre �lectromagn�tique dans lequel se situent ces deux fr�quences.  Calculer les longueurs d'onde dans le vide correspondantes.

Les satellites du syst�me GPS �mettent des signaux cod�s sous forme d'ondes radio �mises.
l = c / f avec f : fr�quence en Hz ; c, c�l�rit� en m/s, l : longueur d'onde en m.
Pour f = 1,57542 109 Hz : l1 = 3,00 108 / (1,57542 109 )=0,1904 m soit l1 = 0,190 m.
Pour f = 1,2276 109 Hz : l2 = 3,00 108 / (1,2276 109 )= 0,244 m.
2. P Correia �crit : " Lle principal probl�me consiste � mesurer le d�lai avec une grande pr�cision, lorsqu'on sait qu'une erreur d'un millioni�me de seconde provoque une erreur de 300 m sur la position".
Commenter de mani�re raisonn�e cette affirmation.
Erreur sur la position : c Dt =3,00108 x 1,010-6 = 300 m.
3. Les satellites sont situ�s sur une orbite quasi-circulaire � une altitude de 20200 km. La p�riode de r�volution est de 11 h 58 min 2 s. Calculer la vitesse moyenne du satellite sur cette orbite.
Circonf�rence : 2 p (Rterre +altitude) =2 *3,14 ( 6400 +20200)=1,67 105 km.
P�riode de r�volution : 11 *3600 +58 *60 +2 = 4,3082 104 s.
Vitesse moyenne : 1,67 105 / (4,3082 104 )=3,876 ~3,9 km / s.

L'horloge embarqu�e dans le satellite subit les effets de la relativit� restreinte et en particulier la dilatation des temps. Les horloges atomiques des satellites, en mouvement � grande vitesse autour de la terre, battent plus lentement que celles rest�es immobiles au sol. A partir du lancement du satellite, un d�calage s'installe au fil des jours entre le temps Tr�f mesiur� � bord du satellite et le temps T0 mesur� sur terre : les horloges plac�es au sol et dans le satellite se d�synchronisent.

On appelle DTr�f la correction relativiste � apporter sur le temps de parcours du signal entre le satellite et le r�cepteur � la surface de la terre et T0 le temps �coul� depuis la synchronisation entre l'horloge plac�e dans le satellite et  celle rest�e au niveau du sol.
DTr�f = 0,5 v2 T0 / c2.

4. Le premier satellite a �t� lanc� le 23 / 12 /2018. les horloges sont synchronis�es au moment du lancement. On rep�re la position d'un objet plac� � la surface de la terre par GPS � la date du 11 / 3 / 2020. Calculer la correction relativiste � apporter sur le temps de parcours du signal entre le satellite et le r�cepteur terrestre et estimer s'il y a lieu de tenir compte de cette correction.
T0 ~453 jours soit environ 3,9 107 s.
DTr�f = 0,5 (3,9103)2 *3,9 107 / (3,00 108)2~3,3 10-3 s.
Une erreur d'un millioni�me de seconde provoque une erreur de 300 m sur la position". Il faut prendre en compte la correction relativiste.

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 Exp�rience de mod�lisation de GPS.
Des �l�ves souhaitent construire une maquette simplifi�e de GPS. Ils utilisent  deux �metteurs ultrasonores ( repr�sentant les satellites ) et deux r�cepteurs ultrasonores fix�s sur l'objet dont on veut rep�rer la position. Ces deux r�cepteurs sont reli�s � un syst�me d'acquisition. les deux r�cepteurs mod�lisent le r�cepteur GPS.
Les deux �metteurs sont aliment�s par le m�me g�n�rateur de salves et envoient au m�me instant t0 une impulsion ultrasonore de dur�e 5 ms en direction des r�cepteurs. L'atgt�nuation est n�gligeable sur la distance parcourue. La vitesse de propagation des ondes est c=340 m /s.

5. Donner la gamme de fr�quences des ondes ultrasonres. D�crire leur nature.
Ce sont des ondes m�caniques longitudinales dont les fr�quences vont de 20 kHz � 10 MHz.
6. Estimer le nombre de p�riodes constituant la salve �mise.
Pour une fr�quence f = 20 kHz = 2,0 104 Hz ; p�riode T = 1 /(2,0 104) =5 10-5 s = 0,05 ms.
Nombre de p�riodes par salves : 5 / 0,05 = 100.
Les r�cepteurs sont constitu�s d'un capteur et d'un conformateur �lectronique qui d�livrent un signal binaire : - 1 V en absence de r�ception et +1 V en pr�sence d'une onde re�ue.
7. Les signaux suivants sont observ�s sur l'oscilloscope. La date t0 = 0 correspond � l'�mission simultan�e du signal par les deux �metteurs. Montrer que la distance entre l'�metteur 1 et le r�cepteur est d1 = c (t1-t0). En d�duire l'expression de d2. Les calculer.

Dur�e du parcours d1 : retard du signal re�u = t1-t0 =0,2 10-2 = 2 10-3 s.
C�l�rit� des ondes : c = 340 m /s.
d1 = 340 * 2 10-3 =0,68 m.
Dur�e du parcours d2 :retard du signal re�u = t2-t0 =0,4 10-2 = 4 10-3 s.
d2 = 340 * 4 10-3 =1,36 m.
8. Repr�senter l'ensemble des positions compatibles avec d1 et d2. D�terminer la position du r�cepteur. Expliquer quelle modifications il faudrait apporter � la maquette pour d�terminer, parmi les positions possibles, celle du r�cepteur.

Deux positions du r�cepteur sont possibles.

9. En g�n�ralisant � trois dimensions, d�terminer le nombre minimum de satellites permettant de d�terminer la position d'un r�cepteur GPS.
10. Expliquer l'int�r�t d'avoir un nombre de satellites plus grand que le minimum n�cessaire.
Le principe d'une mesure est le suivant : un utilisateur d�termine sa distance � un premier satellite. Il peut alors affirmer qu'il se trouve sur la surface d'une sph�re de rayon �gal � cette distance et centr�e sur ce satellite. L'utilisateur d�termine ensuite sa distance � un deuxi�me satellite, ce qui lui permet de d�duire qu'il se trouve � l'intersection de deux sph�res, c'est � dire sur un cercle.
Enfin , la d�termination de sa distance � un troisi�me satellite place l'utilisateur sur une troisi�me sph�re, ce qui r�duit ses positions possibles � deux points, l'utilisateur peut soit effectuer une quatri�me mesure, soit rejeter le point dont l'altitude est aberrante. Pour la science n�320, juin 2004.

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