Mathématiques, géométrie, concours Geipi polytech 2021.

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Exercice 1 (31 points).
A. Etude d'un triangle ABC.
  On considère un triangle dont les sommets A, B et C sont définis par leurs coordonnées : A(6,0) ; B(4 ; 8) C(-4 ; 0).
1et 2. Donner les coordonnées des vecteurs ainsi que le produit scalaire suivants :
3. Donner la valeur exacte de la norme de ces mêmes vecteurs.
4 et 5. Donner la valeur exacte de cos ß et sinß.


6. Montrer que l'aire du triangle ABC est 40 unités d'aire.
AC x BH / 2 =10 x 8 / 2 = 40 unités d'aire.

B. Etude d'un tétraèdre ABCD.
Coordonnées des sommets : A(6 ; 0 ; 0) ; B(4 ; 8 ; 0 ); C(-4 ; 0 ; 0 ); D(-4 ; 0 ; 20).
Le triangle ABC est celui étudié dans la partie A, placé dans le plan d'équation z = 0. La droite (DC) est parallèle à l'axe Oz.
7. Que représente la droite (DC) pour le tétraèdre ABCD ?
La droite (DC) représente la hauteur issue du sommet D.
8. Calculer en unité de volume , le volume de ce tétraèdre.
V = aire de base x hauteur / 3 = aire triangle ABC x CD / 3 =40 x 20 / 3 = 800 / 3 unités de volume.
9. 10 et 11. Donner une équation cartésienne du plan (ABD).

Equation cartésienne de ce plan : 4x +y +2z +d = 0.
A  appartient à ce plan : 4 xA +yA +2zA +d = 0 soit d = -24.
4x +y +2z -24 = 0.
12. On note A' le point d'intersection du plan ( ABD) avec l'axe Oz. Donner les coordonnées de ce point.
A' 0 ; 0 ; zA').
A' appartient au plan( ABD) :
4 xA' +yA' +2zA' -24 = 0.
2zA' -24 = 0 ; zA' = 12.
A' (0 ; 0 ; 12).
13. Déterminer le réel k tel que :

k = 2 / 5 = 0,4.
14. QCM. Soit (P) le plan passant par A' parallèle au plan ( ABC). Soit ( A'B'C') la section de (P) avec le tétraèdre ABCD. Quelle est la valeur approchée en unité de volume, arrondie à l'unité, du volume du tétraèdre A'B'C'D.A) 17 ; B) 107 ; C ; 160 ; D) 250.
Chaque longueur du tétraèdre ABCD est multipliée par 2/5=0,4.
Volume tétraèdre ABCD x
0,43 = 800 / 3 x0,43 ~17.


 

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C. Dans une sphère.
On appelle plan médiateur d'un segment non réduit à un point, l'ensemble des points de l'espace équidistants des extrémités de ce segment. c'est le plan perpendiculaire au segment en son milieu.
15. Déterminer les coordonnées I du segment [AC].
xI = (xA+xC) / 2 =(6-4) / 2 = 1.
yI = (yA+yC) / 2 =(0-0) / 2 = 0.
zI = (zA+zC) / 2 =(0-0) / 2 = 0. I(1 ; 0; 0).
16. Donner les coordonnées du vecteur suivant :

17. En déduire qu'une équation du plan médiateur P1 du segment [AC] est x = 1.
P1 étant perpendiculaire en son milieu I du segment [AC] , l'équation de ce plan est :
-10 x +d = 0 ; I(1 ; 0 ; 0 ) appartient à ce plan : -10 +d = 0 soit d = 10.
-10x+10=0 soit x = 1.
18. Justifier qu'une équation du plan médiateur P2 du segment [AB] est x-4y +11 = 0.

P2 étant perpendiculaire en son milieu J (5 ; 4 ; 0) du segment [AB] , l'équation de ce plan est :
- 2x +8y+d = 0 ; J(5 ; 4 ; 0 ) appartient à ce plan : -10 +32+d = 0 soit d = -22.
-2x+8y-22=0 soit x -4y+11 =0.
On admet qu'une équation du plan médiateur P3 du segment [CD] est z = 10.
19. En utilisant les équations des plans médiateurs, déterminer les coordonnées du centre W de la sphère (S) circonscrite au tétraèdre ABCD.
Le centre de la sphère est l'intersection des trois plans médiateurs.
xW = 1 ;
1 -4yW+11 =0 soit yW=3 ; zW=10 ; W ( 1 ; 3 ; 10).
20. Calculer le rayon de cette sphère.
WA =[(6-1)2 +(0-3)2 +((0-10)2]½ =134½.




  

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