Math�matiques,
g�om�trie, concours Geipi polytech 2021.
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Exercice 1 (31 points).
A. Etude d'un triangle ABC.
On consid�re un triangle dont les sommets A, B et C sont d�finis
par leurs coordonn�es : A(6,0) ; B(4 ; 8) C(-4 ; 0).
1et 2. Donner les coordonn�es des vecteurs ainsi
que le produit scalaire suivants :
3. Donner la valeur exacte de la
norme de ces m�mes vecteurs.
4 et 5. Donner la valeur exacte de cos � et sin�.
6. Montrer que l'aire du triangle ABC est 40
unit�s d'aire.
AC x BH / 2 =10 x 8
/ 2 = 40 unit�s d'aire.
B. Etude d'un t�tra�dre ABCD.
Coordonn�es des sommets : A(6 ; 0 ;
0) ; B(4 ; 8 ; 0 ); C(-4 ; 0 ; 0 ); D(-4 ; 0 ; 20).
Le triangle ABC est celui �tudi� dans la partie A, plac� dans le plan
d'�quation z = 0. La droite (DC) est parall�le � l'axe Oz.
7.
Que repr�sente la droite (DC) pour le t�tra�dre ABCD ?
La droite (DC) repr�sente la hauteur issue du sommet D.
8. Calculer en unit� de volume , le
volume de ce t�tra�dre.
V = aire de base x hauteur / 3 = aire triangle ABC x CD / 3 =40 x 20 /
3 = 800 / 3 unit�s de volume.
9. 10 et 11. Donner une �quation
cart�sienne du plan (ABD).
Equation cart�sienne de
ce plan : 4x +y +2z +d = 0.
A appartient � ce plan : 4 xA +yA +2zA
+d = 0 soit d = -24.
4x +y +2z
-24 = 0.
12. On note A' le
point d'intersection du plan ( ABD) avec l'axe Oz. Donner les
coordonn�es de ce point.
A' 0 ; 0 ; zA').
A' appartient au plan( ABD) : 4 xA' +yA'
+2zA' -24 = 0.
2zA'
-24 = 0 ; zA' = 12.
A' (0 ; 0 ; 12).
13. D�terminer le
r�el k tel que :
k = 2 / 5 = 0,4.
14. QCM. Soit (P)
le plan passant par A' parall�le au plan ( ABC). Soit ( A'B'C') la
section de (P) avec le t�tra�dre ABCD. Quelle est la valeur approch�e
en unit� de volume, arrondie � l'unit�, du volume du t�tra�dre
A'B'C'D.A) 17 ; B) 107 ; C ; 160 ; D) 250.
Chaque longueur du t�tra�dre ABCD est multipli�e par 2/5=0,4.
Volume t�tra�dre ABCD x0,43 = 800 / 3 x0,43 ~17.
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C. Dans une sph�re.
On appelle plan m�diateur d'un segment non r�duit � un point,
l'ensemble des points de l'espace �quidistants des extr�mit�s de ce
segment. c'est le plan perpendiculaire au segment en son milieu.
15. D�terminer les coordonn�es I du
segment [AC].
xI = (xA+xC) / 2 =(6-4) / 2 = 1.
yI = (yA+yC) / 2 =(0-0) / 2 = 0.
zI = (zA+zC) / 2 =(0-0) / 2 = 0. I(1 ; 0; 0).
16. Donner les
coordonn�es du vecteur suivant :
17. En d�duire qu'une �quation du
plan m�diateur P1 du segment [AC] est x = 1.
P1 �tant perpendiculaire en son milieu I du segment [AC] ,
l'�quation de ce plan est :
-10 x +d = 0 ; I(1 ; 0 ; 0 ) appartient � ce plan : -10 +d = 0 soit d =
10.
-10x+10=0 soit x = 1.
18. Justifier
qu'une �quation du plan m�diateur P2 du segment [AB] est
x-4y +11 = 0.
P2 �tant perpendiculaire en son milieu J (5 ; 4 ; 0) du
segment [AB] , l'�quation de ce plan est :
- 2x +8y+d = 0 ; J(5 ; 4 ; 0 ) appartient � ce plan : -10 +32+d = 0
soit d = -22.
-2x+8y-22=0 soit x -4y+11 =0.
On admet qu'une �quation du plan m�diateur P3 du segment
[CD] est z = 10.
19. En utilisant les �quations des
plans m�diateurs, d�terminer les coordonn�es du centre W de la sph�re (S)
circonscrite au t�tra�dre ABCD.
Le centre de la sph�re est l'intersection des trois plans m�diateurs.
xW
= 1 ; 1 -4yW+11
=0 soit yW=3
; zW=10
; W ( 1 ; 3 ; 10).
20. Calculer le rayon de cette
sph�re.
WA
=[(6-1)2 +(0-3)2 +((0-10)2]�
=134�.
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