Math�matiques,
probabilit�, suite, concours Geipi polytech 2021.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
..
..
|
.
.
|
..
..
......
...
|
Exercice 2 (22 points).
soient A et B deux pi�ces de monaies. La pi�ce A donne "face" avec la
probabilit� 0,5 et B donne "face" avec la probabilit� 0,25. Lorsqu'on
lance l'une de ces pi�ces, si on obtient "face", on conserve cette
pi�ce pour le laner suivant, sinon on change de pi�ce.
A. Trois lancers successifs des pi�ces.
On commence par lancer la pi�ce A. On note Fi l'�v�nement on obtient "face au i �me lancer".
1. Compl�ter l'arbre de probabilit�.
2. X
d�signe la variable al�atoire donnant le nombre de fois o� "face
" est obtenu. Compl�ter le tableau donnant la loi de probabilit�
de X.
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
p(X)
|
3/16
|
15 / 32
|
7/32
|
1 / 8
|
3. Calculer l'esp�rance de X.
15 / 32 +2 x7 /32 +3 /8 =41 / 32.
B. Etude d'une suite.
On consid�re la suite (un) d�finie par : u0 =-1 et un+1 = -0,25 un +0,75.
4. Calculer u1 et u2.
u1 = -0,25 u0 +0,75=0,25+0,75=1.
u2 = -0,25 u1 +0,75= -0,25+0,75= 0,5.
5.a On consid�re la suite (vn) d�finie par : vn = un -0,6. Calculer v0.
v0 = u0 -0,6 = -1,6.
5.b. Montrer que (vn) est une suite g�om�trique de raison -0,25.
vn+1 = un+1 -0,6 = -0,25 un +0,75-0,6 = -0,25 un +0,15 =-0,25 un +0,25 x0,6.
vn+1 = -0,25(un-0,6)= -0,25 vn.
6. En d�duire que un = -1,6(-0,25)n +0,6.
vn = v0(-0,25)n =-1,6 (-0,25)n ;
un = vn +0,6 = -1,6(-0,25)n +0,6.
7. Justifier que (un) converge vers 0,6.
-1 < -0,25 < 1 ; (-0,25)n tend vers z�ro et un tend vers 0,6.
|
...
|
....
|
C. n lancers successifs des pi�ces.
On consid�re les �v�nements suivants :
An : " on utilise la pi�ce A au n �me lancer".
non An : " on utilise la pi�ce B au n �me lancer".
On note pn = P(An). On commence toujours par lancer la pi�ce A et donc p1 = 1.
8. Donner PAn ( An+1) et P non An(An+1).
Probabilit� d'obtenir "Face" en lan�ant la pi�ce A : PAn ( An+1) =0,5.
Probabilit� d'obtenir "non Face" en lan�ant la pi�ce B :P non An(An+1)= 0,75.
9. Donner l'expression de P(non An), P(An+1 n An) et P(An+1 n non An).
P(non An)=1-P(An) = 1 -pn.
A n �me lancer on lance A et au n+1�me lancer, on lance A et on obtient Face : P(An+1 n An)=PAn ( An+1) x P(An)=0,5 pn.
A n �me lancer on lance B et au n+1�me lancer, on lance A et on obtient non Face : P(An+1 n non An)= P non An(An+1) x P(non An) =0,75 (1 -pn).
10. En d�duire que pn+1=-1,6(-0,25)n +0,6.
pn+1=P(An+1)=P(An+1 n An)+P(An+1 n non An)=0,5 pn +0,75(1-pn) = -0,25 pn+0,75.
D'apr�s la question 6, on a pn = -1,6 (-0,25)n +0,6.
11.a On note Fn l'�v�nement "obtenir Face au n�me lancer".
Donner l'expression de P(Fn n An) et P(Fn n non An) en fonction de pn.
P(Fn n An) = 0,5 pn ; P(Fn n non An) = 0,25(1-pn).
11.b. D�terminer la limite de P(Fn).
P(Fn) = P(Fn n An) +P(Fn n non An) =0,5 pn +0,25(1-pn) =0,5 pn + 0,25(1-pn) =0,25(1+pn).
Or pn tend vers 0,6 quand n tend vers plus l'infini.
P(Fn) tend vers 0,25 x(1+0,6) =0,4.
|
|
