Physique, Concours interne IIM 2021. Instruments � cordes, optom�trie

Instruments � cordes.
On consid�re une corde de masse lin�ique � dans un rep�re orthonorm� Oxy. Au repos elle est rectiligne, parall�le � l'axe horizontal Ox et tendue avec une tension T₀.
En mouvement, le d�placement du point de la corde en x � l'instant t est not� y(t). On suppose que les d�placements sont petits, de m�me que l'angle a que fait la corde avec l'axe Ox. On suppose aussi que le module de la tension T est une l�g�re perturbation par rapport � sa valeur au repos. On n�glige les effets de la pesanteur.

1) On consid�re l'�l�ment de corde dl situ� entre les plans d'abscisses x et x+dx. Montrer que dl ~dx.
cos a ~ 1 =dx / dl ; dl ~dx.
2) et 3) Montrer que l'on peut �crire pour un �l�ment de masse dm la relation suivante.
dm = �dx.
Th�or�me du centre d'inertie appliqu� � un �l�ment de corde situ� entre las abscisses x et x+dx :
Au premier ordre T = T₀.

4) A quoi correspond le param�tre c² =T₀ / � ?
c =(T₀ /�)^� est la vitesse de propagation de l'onde sur la corde exprim�e en m / s.
5) On effectue le changement de variable suivant : x = x+ct et h = x-ct.
En d�duire la relation suivante.
t = (h -x) / (2c) ; x = (h +x) / 2.
y peut �tre consid�r�e comme une fonction de x et h.

6) En d�duire qu'il existe des fonction f et g telles que y(x,t) = f(x+ct) +g(x-ct) et donner le sens physique de ces fonctions.
La forme de l'onde observ�e � l'instant t, doit se retrouver � l'instant t+t par une translation d'ensemble des ces points constitutifs d'une distance ct.
f(t+t, x+ct) = f(t, x).
f doit donc d�pendre uniquement de la combinaison x+ct.
Un raisonnement comparable pour les ondes se propageant vers les x d�croissants, conduit � :
g(t+t, x-ct) =g(t, x).
g doit donc d�pendre uniquement de la combinaison x-ct.
f(x+ct) d�crit une onde se propageant vers les x croissants et g(x-ct) d�crit une onde se propageant vers les x d�croissants.

7. On consid�re que la corde est fix�e � 2 extr�mit�s x=0 et x = L. Rappeler de mani�re g�n�rale, le principe d'une onde stationnaire. En analyse, comment appelle t-on ce type de probl�me pos� par cette �quation aux d�riv�es partielles ?
Lorsqu'une onde rencontre un obstacle rigide, elle produit une onde r�fl�chie : la superposition d'une onde progressive sinuso�dale de fr�quence f et de l'onde r�fl�chie sur un obstacle fixe produit une onde stationnaire : une vibration sans propagation, de fr�quence f. ... L'onde subit une r�flexion sur chaque extr�mit�.

8. En posant y = f(x) . g(t), montrer que les solutions en ondes stationnaires de l'�quation obtenue en 3) sont de la forme :
y(x,t) = y₀ cos ( wt+f) cos(kx+F).

-k² : constante de s�paration.
f(x) = A cos ( kx+ f) ; A est une constante.
La corde est fix�e en x=0 et en x= L :
f(0) = 0 = A cos ( f) ; f = �p/2.
f(L) = 0 = A cos ( kL+ f) ; kL+ f = �p/2 (2p) ; k =n p/ L.
f(L) = B cos ( ckt+ F) ; B est une constante.
y = f(x) . g(t)= y₀ cos ( wt+f) cos(kx+F).
w_n = ck =n c p/ L.

9. D�finir les modes propres de la corde. Montrer que les fr�quences propres sont de la forme f_n = nc / (2L)
La fr�quence propre d'un syst�me est la fr�quence � laquelle il oscille librement ( sans force excitatrice ext�rieure et sans force dissipative) .
Toute vibration de la corde pour laquelle chaque point vibre de mani�re sinuso�dale avec la m�me fr�quence est un mode propre de vibration.
f_n =w_n /(2p)= nc / (2L)
10. Proposer une exp�rience permettant de mesurer les fr�quences propres d'une corde vibrante.
On continue par l'exp�rience de la corde de Melde. Cette corde est suppos�e inextensible, de longueur L, de masse lin��que �. Elle est tendue � la tension T � l'aide d'une masse accroch�e � la corde via une poulie parfaite et excit�e par un vibreur de mouvement vertical a cos (wt) � son autre extr�mit�.

Dans l'exp�rience de la corde de Melde, la fr�quence du vibreur est r�gl�e � l'aide d'un GBF.
Faire varier la fr�quence du GBF jusqu'� obtenir un seul fuseau ample entre O et la poulie.
11. Donner la d�finition de la note de fr�quence fondamentale �mise par la corde de l'instrument.
n = 1 : fr�quence fondamentale ; n > 1 : harmoniques.
12. La gamme des sons audibles par l'homme s'�tend environ de 20 Hz � 20 kHz. En d�duire la n�cessit� d'avoir des cordes de carct�ristiques diff�rentes sur un m�me instrument.

f =1/(2L)( F/�)^� avec L, � constants pour une corde donn�e.
Pour augmenter la fr�quence f, il faut augmenter la tension F de la corde ou diminuer la masse lin��que �.
La longueur de la corde, sa tension et sa masse lin��que �tant limit�es, il faut n�cessairement plusieurs cordes sur un m�me instrument, pour couvrir la gamme de fr�quences 20 Hz- 20 kHz.