Mouvements dans les champs de forces, concours d'entr�e en premi�re ann�e de cycle ing�nieurs fili�re sciences et  technologie 2021. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. .. .. . . .. .. ...... ... Etude d'un choc. ( 7 points). Un v�hicule de masse M roulant � vitesse constante V0 sur une route rectiligne horizontale doit faire face brusquement � un obstacle pr�vu sur la chauss�e pour �viter le choc. On se propose de calculer la distance de freinage et le temps d'arr�t n�cessaire pour stopper le v�hicule. On n�glige l'effet du frein moteur et on suppose que le freinage s'effectue sans d�rapage sous l'effet de la force de frottement constante des roues sur la chauss�e Ff = -f Mg, o� f est le coefficient de frottement moyen. On assimile la voiture � un point mat�riel dont la position G est repr�sent�e par sa coordonn�e horizontale x dans le sens du mouvement avec x = 0 � la date t=0 du d�but de freinage. 1. D�terminer l'�quation diff�rentielle de la position x de G. La voiture est soumise � son poids, verticale vers le bas, valeur Mg, � l'action du plan, verticale vers le haut, valeur Mg et � la force de freinage, horizontale, oppos�e � la vitesse, valeur Ff. La seconde loi de Newton, en projection sur un axe horizontal, dans le sens du mouvement s'�crit : Md2x/dt2 =Ff. d2x/dt2 = -fg. 2. D�terminer le temps d'arr�t ta et la distance de freinage Da en fonction de V0, f et g. V =dx /dt = -fgt + A avec A une constante. A t=0 : V0 =A.  V =dx /dt = -fgt + V0. A l'arr�t V = 0 et ta = V0 /(fg). x = -�fgt2 + V0t +B avec B une constante. A t=0 : x =0. x = -�fgt2 + V0t. A l'arr�t : Da = -�fgta2 + V0ta. Da = -�V02/(fg) + V02/ (fg) =�V02/(fg). 3. Le temps de r�flexe d'un conducteur est tr = 0,6 s. Le freinage d�bute � t = tr apr�s avoir vu l'obstacle � la distance Da. Exprimer la vitesse de choc Vc du v�hicule sur l'obstacle en fonction de V0, f, g , Da et tr. Distance parcourue avant freinage : V0tr. Distance de freinage : Da-V0tr . Variation de l'�nergie cin�tique : �M(Vc2-V02). Travail de la force de freinage : -f Mg(Da-V0tr ). Th�or�me de l'�nergie cin�tique : �M(Vc2-V02)=-f Mg(Da-V0tr ). Vc2-V02=-2fg(Da-V0tr ). Vc2=V02-2fg(Da-V0tr ). Vc =[ V02-2fg(Da-V0tr]�. 4. On fixe maintenant t=0 et x=0 au d�but du choc, la vitesse du v�hicule �tant Vc. On cherche � d�terminer la dur�e du choc et l'intensit� de la d�c�l�ration brutale que subit le conducteur. L'enregistrement vid�o montre qu'entre le d�but et la fin du choc, G s'est d�plac� d'une distance E. En supposant que l'acc�l�ration est constante et vaut -a durant tout le choc, exprimer la d�c�l�ration a puis la dur�e th�orique du choc tc en fonction de E et Vc. V =-at +Vc. tc =Vc / a. x = -�at2+Vct. E = -�atc2+Vctc. E = -�Vc2/a +Vc2/a =�Vc2/a. a=Vc2/(2E). Champ �lectrique.( 7 points). Soit un triangle �quilat�ral direct ABC aux sommets duquel on place les charges SO42- en A, Na+ en B et K+ en C. I, J et K sont les milieux respectifs des segmennts [AB], [BC] et [JC]. Le champ �lectrique est suppos� uniforme danns ce triangle et, sa valeur et sons sens sont le champ r�sultant cr�� par les trois charges au centre de  gravit� G du triangle. Une particule de charge q p�n�tre dans le triangle au point I situ� � 1 m de B avec une vitesse V0. Elle est ensuite soumise � l'influence du champ cr�� par les charges et  ressort en K. Masse de la particule m = 1,67 10-27 kg ; |q| =1,6 10-19 C.   1. D�terminer les caract�ristiques du champ cr�� par les charges et en  d�duire le signe de q. BI = 1 m ; AB = 2 m ; d = 2 x3� / 3 ~ 1,15 m ; |q| = e : E = 9 109 x 3 x 1,6 10-19 / 1,152~3,24 10-9 V / m. La d�viation s'effectue vers le bas et le champ �lectrique est vertical vers le haut. Le vecteur force �lectrique et le vecteur champ �lectrique sont colin�aires de sens contraire :  donc q < 0. 2. Donner les �quation horaires de cette particule et en d�duire l'�quation de la trajectoire. Poids : mg = 1,67 10-27 x 9,81 ~1,6 10-26 N. F=qE = 3,24 10-9 x 1,6 10-19 ~5,2 10-28 N. Le poids de la particule n' est pas n�gligeable devant la force �lectrique. Ecrire la seconde loi de Newton en projection sur les deux axes : ay =-eE / m -g ~ -10,1 m s-2 ; ax = 0. vy = -10,1 t ; vx = V0. y =-5,06 t2 +yI avec yI =3�/2 BI = 3�/2~0,867. y =-5,06 t2 +0,867. x = V0t +xI avec xI = �. x = V0t +0,5. t = (x-0,5) / V0, repport dans y : y = -5,06 [(x-0,5) / V0]2 +0,867. 3. D�terminer V0. K( 0,75 BC  ; 0) soit (1,5 ; 0). yK = -5,06 [(xK-0,5) / V0]2 +0,867=0. [(xK-0,5) / V0]2 =0,867 / 5,06 =0,171. (xK-0,5) / V0=0,414. V0=1/ 0,414 ~2,4 m /s. 4. Combien de temps met la particule dans ce triangle ? xK = V0t +0,5. t = (xK-0,5) / V0 = 0,41 s. .... Mod�le de la conduction �lectrique. 6 points. On consid�re un conducteur cylindrique d'axe Oz dont les charges mobiles sont des �lectrons anim�s d'une vitesse V sous l'action d'un champ �lectrique uniforme et ind�pendant du temps E colin�aire et de m�me sens que Oz que l'on applique � l'instant t=0. Les �lectrons sont soumis � une force de frottement de norme f = m V / t, t �tant une constante et m la masse de l'�lectron. 1. Commet expliquez-vous l'existence des forces de frottement ?  Donner la dimension de t. le mouvement des �lectrons est ralenti par des collisions sur les coeurs d'atomes ( chocs des �lectrons libres sur les ions m�talliques fixes  du r�seau cristallin). t = m V / f avec m (kg) ; V (m s-1) et f (N soit kg m s-2). t s'exprime en seconde. 2. D�terminer l'�quation horaire du mouvement des �lectrons. En d�duire l'�quation horaire de la vitesse. L'�lectron est soumis � la force �lectrique et aux forces de frottement, le poids �tant n�gligeable devant celles-ci. Ecrire la seconde loi de Newton selon Oz : m dV / dt = eE -m V / t . dV /dt +V / t = eE / m. Solution de l'�quation homog�ne dV /dt +V / t =0 : V =V0 exp(-t / t) avec V0 une constante. La vitesse limite est donn�e par : Vl = eE t/ m.  Solution g�n�rale de l'�quation diff�rentielle : V =V0 exp(-t / t)+ eE t/ m. V(t=0) = 0 soit V0 =-eE t/ m. Par suite : V(t) =eE t/ m (1-exp(-t / t)). Equation horaire du mouvement des �lectrons, primitive de V(t) : z(t) =eE t/ m (t + t exp(-t / t)). 3. On pose V1 = etE / m, d�terminer le temps t1 au bout duquel la vitesse de l'�lectron V est �gale � V1 / 1000. t = 2,8 10-14 uSI. V(t) =Vl (1-exp(-t / t)). V1 / 1000 =Vl (1-exp(-t1 / t)). 0,001 = 1-exp(-t1 / t). exp(-t1 / t) =0,999. -t1 / t= ln(0,999)=-0,001. t1 ~2,8 10-17 s.

menu