Pendule �lastique, circuit RLC, interf�rences, concours d'entr�e en premi�re ann�e de cycle ing�nieurs fili�re sciences et  technologie. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. .. .. . . .. .. ...... ... Pendule �lastique. (5 points). Un pendule �lastique vertical est constitu� d'un solide ponctuel S de masse m = 300 g fix� � l'extr�mit� d'un ressort de masse n�gligeable et de raideur k. Prendre g = 10 m s-2. Lorsqu'on accroche S sur le ressort celui-ci s'allonge de x0 = 2,5 cm lorsque l'ensemble solide ressoort est � l'�quilibre. 1. Calculer la raideur du ressort. Poids P = mg ; force de rappel exerc�e par le ressort : F = kx0. A l'�quilibre : mg = k x0 ; k = mg / x0 =0,300 x 10 / 0,025 =1,2 102 N / m. 2. L'ensemble �tant � l'�quilibre, on �tire S du point O de OA = a = 1 cm et on le lance vers le haut avec une vitesse de module v0 = 0,78 m /s � la date t =0. S oscille ensuite librement. Les forces dissipatives sont n�glig�es. L'origine de l'�nergie potentielle de pesanteur est la position d'�quilibre du solide. L'abscisse de M est z = mesure alg�brique de OM. 2.1 Faire le sch�ma et repr�senter les forces appliqu�es au solide S � un instant quelconque. 2.2. D�terminer l'�quation diff�rentielle du mouvement de S. Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe Oz : -k(z-L0)+mg=mz" -k(z-z�q +z�q -L0)+mg = mz" ; -k(z-z�q ) -k(z�q -L0)+mg = mz" Or k(z�q -L0)= mg d'o� : -k(z-z�q ) = mz". On choisit la position d'�quilibre comme nouvelle origine en posant u = z-z�q : il vient : -ku = mu" soit u" +k/m u= 0 ; u"+w2u = 0 (1) avec w2 = k/m = 120 / 0,3 =400 ; w = 20 rad /s. 2.3. L'�quation horaire du mouvement est de la forme z = Zm sin ( wt+f). D�terminer Zm, w et f. Zm n'est pas �gal � "a" car le pendule est lanc� initialement avec une vitesse v0. On choisit un axe vertical orient� vers le haut, l'origine est � la position d'�quilibre. Vitesse dz/dt = Zm w cos ( wt+f). A t = 0 ; v0 =Zm w cos (f)=  0,78. Zm cos (f)= 0,78 / 20 = 0,039. A t = 0, z = -a : -a = Zm sin (f) ; tan (f) =-a / 0,039 = -0,01 / 0,039 = -0,251 ; f ~ -0,25 rad. Par suite Zm =-a / sin (f) =-0,01 / sin(-0,25) ~ 0,04026 m. z = 0,04 sin (20 t-0,25). 2.4. D�terminer l'�nergie m�canique du syst�me ressort solide S. Energie m�canique = �nergie potentielle �lastique + �nergie potentielle de pesanteur + �nergie cin�tique. EM = �kz2 + mgz + �mv2 =�ka2 + �mv02 en absence de forces dissipatives. EM =0,5 x120 x 0,012 +0,5 x0,30 x0,782 = 0,006 +0,09126 =0,09726 ~0,097 J. 2.5. A quelle date le solide S passe-t-il pour la premi�re fois par sa position d'�quilibre ? L'�nergie m�canique est sous forme cin�tique � la position d'�quilibre, cette position �tant prise comme origine des �nergies potentielles. La vitesse est alors maximale. Au passage pour la premi�re fois � la position d'�quilibre, la vitesse est dans le sens de l'axe : Donc cos (20 t-0,25) = 1. 20 t-0,25 = 0. t = 0,251 / 20 ~ 0,013 s. .... Circuit RLC. 4 points. Un circuit RLC s�rie comprend un r�sistor R = 30 ohms, une bobine d'inductance L = 0,30 H et un condensateur de capacit� C = 20 �F. Ce dip�le est aliment� par une tension sinuso�dale variable de pulxation w variable de valeur efficace constante U = 100 V. 1. D�terminer � la r�sonance les valeurs de w0 et I0 de la pulsation et de l'intensit� du courant. A la r�sonance LC w02 = 1. w0 = 1 /(LC)� =1 / (0,30 x20 10-6) � ~ 408 rad /s. I0 = U / R = 100 / 30 ~3,3 A. 2. Pour w1= 500 rad /s, d�terminer le d�phasage entre l'intensit� et la tension. La phase de l'intensit� est prise comme origine des phases. tan j = (Lw - 1 /(Cw)) / R. tan j =(0,3 x400 -1 /(20 10-6x400)) / 30 =(120 -125) /30 =-0,167 ; f ~ -0,165 rad. 3. Exprimer I0 en fonction de I, w, w0 et Q ( facteur de qualit� du dip�le, o� I est l'intensit� du courant correspondant � la pulsation w. Q = Lw0 / R=1/ (RCw0). Z =[R2 +(Lw-1/(Cw))2]� =U / I. U =[R2 +(Lw-1/(Cw))2]� I I0= U / R RI0 =[R2 +(Lw-1/(Cw))2]� I. I0 =[1 +(Lw / R-1/(RCw))2]� I. I0 =[1 +(Qw / w0 - (Qw0/w))2]� I. Interf�rences. On r�alise des interf�rences � la surface de l'eau � partir de deux points sources S1 et S2 anim�s par un m�me vibreur. Les sources vibrent � la m�me fr�quence, avec la m�me amplitude et sont constamment en opposition de phase. 1. Ecrire l'�quation d'un point M situ� � une distance d1 de S1 et d2 de S2. Signal �mis par S1 : s1(t) =a cos (wt) ; Signal �mis par S2 : s2(t) =a cos (wt+p) . En un point M : s1(M,t) =a cos (w(t-d1 /c)) = a cos(wt-wd1 /c). s2(M,t) =a cos (w(t-d2 /c)+p))=a cos(wt-wd2 /c+p). Le signal r�sultant est de la forme : s(M,t) = s1(M,t) +s2(M,t). cos p + cos q = 2 cos ((p+q)/2)cos ((p-q) / 2). s(M,t) =2 cos (wt-w(d1+d2)/(2c)+p/2) cos(w(d2-d1) / (2c)+p/2). Interf�rences constructives : w(d2-d1) / (2c)+p/2 = 2 kp avec k appartenant � Z. w = 2p / T ; w / (2c) = 2p / (2cT) = p / l. (d2-d1) / l = 2 k+1/2. La diff�rence de marche est �gale � un nombre impair de demi-longueur d'onde. Interf�rences destructives : w(d2-d1) / (2c)+p/2 = (2 k+1)p/2 avec k appartenant � Z. (d2-d1) / l = 2 k. La diff�rence de marche est �gale � un nombre entier de longueur d'onde.

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