M�canique et �lectronique : protection contre les s�ismes, Concours ITPE 2020.

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R�duction des oscillations propre du b�timent.
Sous l'action du vent ou d'un s�isme, un immeuble oscille, un peu comme un roseau. Ces ocillations risquent d'endommager la structure. On s'int�resse � la tour Citicorp � New-York haute de 279 m pour 59 �tages. En l'absence de dispositif adapt�, la tour oscille avec une pseudo-p�riode de 6,5 s et l'amplitude de ces oscillations ne  diminue que de 5 % par cycle.
Le comportement est analogue � celui d'un oscillateur harmonique amorti. L'�quation diff�rentielle du mouvement horizontal x du centre de masse  de la tour se met sous la forme :
x" +w0/ Q x'+w02 x = 0.
 1. Quelles sont la signification et la dimension de Q et w0 ?
w0 : pulsation propre en  rad / s.
Q : facteur de qualit� sans dimension.
[w0 /Q x'] est homog�ne � une acc�l�ration et [x'] est homog�ne � une vitesse.
[w0 /Q) est donc homog�ne � l'inverse d'un temps ;  w0 est la pulsation propre ( rad/s). Q est sans dimension.
2. On s'int�resse � l'action d'une rafale brutale qui communique � l'immeuble une vitesse initiale v0. Au vu des donn�es, quelle est la nature du r�gime �tudi� ? Quelle in�galit� v�rifie Q ?
Oscillations libres amorties.
Equation caract�ristique associ�e � x" + w0 /Q x' + w02 x =0 : r2 +w0 /Q r + w02=0.
Le discrimant D = (w0 /Q)2-4w02 doit �tre n�gatif. 1 / Q2-4 < 0 ; Q2 >0,25 ; Q >0,5.
3. On confond la pulsation propre et la pseudo-pulsation. A l'aide des donn�es, d�terminer w0.
w0 =2 p / T0 =2 p / 6,5 ~0,31 p ~ 0,97 rad / s.
4. Montrer que le facteur de qualit� de la tour v�rifie Q = -p / (ln(1-1 / 20)) ~ 20 p.
Dans le cas du r�gime pseudop�riodique, les solutions de l'�quation diff�rentielle sont de la forme :
x (t)= A exp-(w0t / (2Q)) cos( wt+f).
L'amplitude des oscillations ne  diminue que de 5 % par cycle : 1- 5 / 100 = 1-1 / 20.
exp-(w0T / (2Q))=1 -1 /20.
-w0T / (2Q)=ln(1-1 / 20) ; -p / Q = ln(1-1 / 20) ;
Q = -p / (ln(1-1 / 20)) ~ 20 p.
5. Quelle est la dur�e n�cessaire pour que l'amplitude des oscillations atteigne 1 % de son amplitude initiale ?
A(nT) / A0 =0,01 ; � chaque cycle A(2T) = 0,95 A(T).
A(nT) = 0,95n A0. 0,95n =0,01. n ln(0,95) =ln(0,01) ; n ~ 89.
Dur�e n�cessaire : 89 x 6,5 ~578 s ~6 min 38 s.

Pour limiter les oscillations, on installe au sommet du gratte-ciel un oscillateur r�sonant muni d'un dispositif d'amortissement : il s'agit d'une masse de 400 t plac�e sur une couche dhuile et  reli�e aux murs par des ressorts et des amortisseurs.
6. Gr�ce � ce dispositif, l'att�nuation des oscillations est de 50 % par cycle. En d�duire la nouvelle valeur de Q et commenter.
L'amplitude des oscillations  diminue de 50 % par cycle : 1- 50 / 100 = 0,5.
Q = -p / ln(0,5) ~4,5.
Le retour de la tour � l'�quilibre est plus rapide.

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Sismographe.
Un sismographe est un dispositif enregistrant les mouvements du sol. Une station sismique doit comporter 3 sismographes, un vertical et  deux horizontaux. Les p�riodes des ondes sismiques varient sur une large gamme, du dixi�me de seconde � plus de 1000 secondes.

Le sismographe est constitu� d'un solide de masse m suspendu � un ressort dont l'autre extr�mit� W est li�e � un b�ti rigide solidaire du sol en vibration. Un dispositif d'acquisition permet d'enregistrer le mouvement du solide par rapport au b�ti. On souhaite que ce mouvement reproduise le plus fid�lement possible celui du sol par rapport au r�f�rentiel d'�tude R suppos� galil�en. On appelle RS le r�f�rentiel li� au b�ti rigide.
Le sol est suppos� horizontal. Son mouvement vertical, lors d'une secousse sismique sinuso�dale de pulsation w, est rep�r� par la cote, mesur�e par rapport � R :
Zs(t) = Z0 cos ( wt).
Le ressort de masse n�gligeable, de constante de raideur k, de longueur au repos L0, a pour valeur L(t) � l'instant t. Un amortisseur reli� au ressort, exerce sur le solide une action m�canique mod�lis�e par la force
est la vitesse du solide dans le r�f�rentiel Rs.
On note L1 la longueur du ressort quand le solide est � l'�quilibre en absence de secousse sismique. Le solide se situe � la cote z1 rep�r�e par rapport au bati. La position du solide est rep�r�e par x(t) = z(t) - z1.
8. Etablir l'�quation diff�rentielle v�rifi�e par x(t).
A l'�quilibre le poids et la tension du ressort sont deux forces oppos�es : mg = k(L1-L0) avec L1 = h-z1.
z1 = h - L0-mg / k. (1)
 Dans le r�f�rentiel non galil�en Rs, en translation par rapport au r�f�rentiel galil�en R, le solide S est soumis � une force d'inertie :
Ecrire la relation fondamentale de la dynamique apliqu�e au solide dans le r�f�rentiel li� au bo�tier :

Zs(t) = Z0 cos ( wt) ; dZs(t) /dt = -wZ0 sin ( wt) ; d2Zs(t) /dt2 = -w2Z0 cos ( wt).
Projeter sur l'axe vertical : m z" = -mg +k(h-z-L0) -l z' + mw2Z0 cos ( wt).
Tenir compte de (1) : m z" = k(z1-z) -l z' + mw2Z0 cos ( wt).
Or : x(t) = z(t) - z1 d'o� :  x" + k/m  x + l /m x' = w2Z0 cos ( wt).
En posant w02 =k/m et Q = mw0 / l = (km)�/ l :  x" + w0 /Q x' + w02 x =  w2Z0 cos ( wt). (2)

On cherche la r�ponse du sismographe sous la forme : x(t) = X0 cos ( wt+F). On pose u = w / w0.
10. Montrer que :
En notation complexe : x(t) =X0 exp (j F) ; x'(t) = jwX0 exp (j F) ; x"(t) = (jw)2X0 exp (j F)= -w2X0 exp (j F). Repport dans (2).
-w2X0 exp (j F) + w0 /Q  jwX0 exp (j F) + w02 X0 exp (j F) =  w2Z0.
Diviser par w02 : (-w2/ w02 +j w /(Qw0) +1) X0 exp (j F)=  w2/ w02Z0.
(1-u2 + j u / Q) X0 exp (j F) = u2Z0.
Identifier les modules : ((1-u2)2 + u2/Q2)� X0 = u2Z0 ; X0 /Z0 = u2/ ((1-u2)2 + u2/Q2)�.
Le graphe repr�sentant X0 /Z0 en fonction de u, pour diff�rentes valeurs du param�tre Q est donn� :

 11. V�rifier que l'allure de ce graphe est compatible, � haute et basse fr�quence, avec l'expression calcul�e.
A haute fr�quence, u tend vers l'infini et X0 /Z0 tend vers 1. A basse fr�quence, u tend vers 0 et X0 /Z0 tend vers z�ro.

On pose Y = (Z0/X0)2 et x = 1/u.
12. Montrer qu'il ne peut pas y avoir de r�sonance si Q est inf�rieur � une valeur limite Q0 � d�terminer.
((1-u2)2 + u2/Q2 ) / u4 = Y ; Y =  (1-1/u2)2 + 1/(Qu)2 ; Y = (1-x2)2 + x2/Q2 ;
D�river Y par rapport � x et chercher la valeur de x qui annule cette d�riv�e :Y ' = -4x(1-x2) +2x/Q2 =0.
x = 0 et -2(1-x2) +1/Q2 =0 ; x = (1-1/(2Q2))�. 1-1/(2Q2) doit �tre positif ou nul : 1-1/(2Q2) >=0 ; Q =Q0 >= 1 / 2�.
Pour x = 0, Y = 1 ; pour x tr�s grand Y tend vers l'infini ; pour Q =Q0 , Y pr�sente un minimum et par suite X0 /Z0 pr�sente un maximum ( r�sonance ).
Il ne peut pas y avoir de r�sonance si Q < Q0.
13. Comment faut-il choisir w0 par rapport � w de la secousse sismique ? Justifier.
Le mouvement du solide doit restituer le mouvement du sol : X0 = Z0 : u = w / w0 soit w >> w0.
Quel est le meilleur choix pour le param�tre Q, en termes de fid�lit� de la r�ponse et de dur�e du rgime transitoire ?
Pour Q = Q0, X0 /Z0 tend rapidement vers 1 pour u = 3 et de plus la dur�e de l'amortissement est faible.
Quel est l'ordre de grandeur de l'allongement du ressort � l'�quilibre d'un sismographe optimis� pour d�tect� des ondes sismiques dont la p�riode est une seconde ? Commenter.
L�q-L0 = mg / k avc w02 = k / m ; L�q-L0 = g / w02 = 9,8 / (4p2)~0,25 m pour une fr�quence f = 1 Hz.
L�q-L0 =9*9,8 / (4p2 )~2,2 m pour une fr�quence f = 3 Hz.
Un sismographe de ce type doit avoir de tr�s grandes dimensions.
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 Filtrage du signal en sortie du sismographe.
Le signal en sortie du sismographe est souvent parasit� par un bruit haute fr�quence. On cherche � �liminer les parasites en utilisant un filtre passif constitu� d'un circuit RLC s�rie.

 

Il est soumis � une tension d'entr�e sinusoidale e(t)=U0 cos(wt). On note s(t) la tension de sortie.

14. Montrer que s(t) v�rifie l'�quation :
s''(t)+ w0/Q s'(t) +w02 s(t) = w02 e(t) avec w02 =1 / (LC) et w0/Q = R / L.
Additivit� des tensions :

e(t) = R i + Ldi /dt +s(t) avec i = C ds(t) / dt =  Cs'(t) ; di/dt =C s"(t).
e(t) = RC s'(t) +LC s"(t) +s(t).
e(t) / LC = R / L s'(t) +s"(t) +s(t) / (LC).
 w02 e(t) =s''(t)+ w0/Q s'(t) +w02 s(t).
On se place en r�gime permanent : on cherche s(t) =um cos ( wt+F).
On utilise la notation complexe : e(t)=U0 exp(jwt) ; s(t)=um exp(jwt) ; um =umexp(jF).
15. D�terminer le circuit �quivalent � haute et basse fr�quence. En d�duire la nature de ce filtre.
 

Le filtre coupe les hautes fr�quences, mais laisse passer les basses fr�quences : filtre passe bas.

16. Montrer que :

Le d�nominateur compte un terme en w2 : donc filtre d'ordre 2.

17. On donne l'allure du diagramme de Bode pour H. Justifier que f0 = w0 / 2p = 1 kHz.


On appelle gain, la fonction , telle que GdB= 20 log H .

18. Donner les �quations des asymptotes de GdB aux basses fr�quences et aux hautes fr�quences.
On pose x = w / w0.
H = 1/ (jx / Q +1-x2) = [(1-x2)-jx/Q ] / [(1-x2)2+Q-2x2 ].
H =[(1-x2)2+Q-2x2 ]-�.
GdB= -10 log [(1-x2)2+Q-2x2 ]

si x tend vers 0, alors GdB est �quivalent � 0. L'axe des abscisses est asymptote horizontale.
si x tend vers l'infini, alors GdB est �quivalent � -40 log x. ( droite de pente -40 dB par d�cade).
Cette droite asymptote coupe l'axe des abscisses en x=1.
 

19. D�terminer les valeurs limites de la phase � basse et haute fr�quence. V�rifier la coh�rence avec le diagramme suivant.

Argument de H : tan F = -x / [Q(1-x2)].

Recherche des asymptotes :
lorsque x tend vers 0+, F tend vers 0-: l'axe des abscisses est asymptote.

lorsque x tend vers l'infini, F tend vers -p+ : la droite F= -P est asymptote.

valeur particuli�re F(1) = -� p .

Le filtre est un filtre passe bas d'ordre 2.

20. En r�alit�, le signal d'entr�e s'�crit e(t) = U1 cos (w1t) +U2 cos (w2t) avec f1 = w1 / (2p) = 100 Hz et  f2 = w2 / (2p) = 20 kHz. Quel est sans calcul l'allure du signal de sortie ? On pr�cisera en particulier sa fr�quence  et son amplitude.
Le filtre est un filtre passe bas d'ordre 2. Seul le signal de  fr�quence f1 = 100 Hz est obtenu en sortie.
Le gain est �gal � z�ro : H = 1 ; l'amplitude du signal de sortie est �gale � celle du signal d'entr�e soit U1.


  

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