Montagnes
russes, moteur asynchrone, looping.
Concours ITPE 2021.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
..
..
|
|
......
.....
|
Remont�e
des wagons.
a =
45� ; hauteur maximale H ; m : masse d'un wagon.
1.a.
Moteur asynchrone.
Le stator ( non �tudi� ici ) permet de g�n�rer
le champ magn�tique suppos� uniforme B0 et tournant � la
vitesse angulaire w.
Le rotor est mod�lis� par une bobine plate constitu�e de N spires
travers�es par un courant �lectrique induit d'intensit� i(t).
Les spires sont suppos�es confondues, circulaires, de section S. La
vitesse de rotation du rotor W
est suppos�e constante.
La r�sistance �lectrique du rotor est R et son inductance L.
Le rotor subit l'action motrice des forces de Laplace dont le moment en
O est  ainsi que l'action r�sistive
permettant d''entrainer la cha�ne et les wagons dont le moment en O est
 .
1. D�terminer le
flux du champ magn�tique F
engendr� par le stator � travers le rotor en fonction de B0,
S, N, W, w et t.
2.
En D�duire l'expression de la force �lectromotrice e induite dans
le rotor en fonction de
B0, S, N, W,
w et t.
e = -dF /dt = N B0
S (w-W) sin((w-W)t).
3. Proposer un
sch�ma �lectrique �quivalent du rotor et en d�duire que le courant
�lectrique i(t) v�rifie l'�quation diff�rentielle suivante : Ldi/dt +Ri
= F0 wg sin(wgt) o� wg = w-W, vitesse angulaire de glissement et F0 = NSB0.
4.
On cherche la solution de cette �quation diff�rentielle en notation
complexe sous la forme i
= I exp(j(wgt+f). D�terminer les
expressions de I et f en fonction de R, L,wg et F0.
di/dt = j I wg exp(j(wgt+f).
L'�quation diff�rentielle s'�crit : j L I wg exp(j(wgt+f)+ R I exp(j(wgt+f) = F0 wg exp(jwgt).
j
L I wg exp(jf)+ R I
exp(jf) = F0 wg .
(j Lwg +R)
I exp(jf) = F0 wg .
Egaler les modules : (R2 +(Lwg)2)� I= F0 wg . I = F0 wg / (R2
+(Lwg)2)�.
Egaler les arguments : f
=- tan-1(Lwg /R).
5. Quel est le
moment magn�tique associ� au rotor ?
i(t) = F0 wg / |Z|
sin (wgt+f).
Moment magn�tique d'une spire orient� suivant l'axe perpendiculaire �
la spire :
 ; M = i(t) S = F0 wg S / |Z|
sin (wgt+f).
6. En d�duire
l'expression du moment en O des forces de Laplace exerc� sur le rotor.
Montrer que sa valeur moyenne est :
< GL>
= F20 wg R / (2((R2 +(Lwg)2)).
Ce moment magn�tique est soumis � un couple m�canique dont le moment
par rapport � l'axe vaut : 
GL
= F20 wg / |Z|sin (wgt+f). sin (wgt).
avec sin (wgt+f). sin (wgt) = � [cos (f)- cos(2wgt+f)]
GL
= F20 wg / (2|Z|)[cos
(f)-
cos(2wgt+f)].
La valeur moyenne de cos(2wgt+f) est nulle et cos (f) = R /|Z|.
<
GL> = F20 wg R / (2((R2 +(Lwg)2)).
La figure suivante donne la repr�sentation graphique de <
GL> en
fonction de la vitesse de rotation du rotor W dans le cas ou w = 100 rad /s.
7. Quel domaine de
vitesse de rotation du rotor W
correspond � un fonctionnement moteur de cette machile asynchrone ?
Estimer le couple moteur Gmax.
<
GL>
doit �tre positif pour un fonctionnement moteur : W
inf�rieur � 100 rad /s. Gmax
=200 N m.
8. Pour un couple
r�sistant Gf
appartenant � [G0,
Gmax[
constant, justifier que le rotor peut tourner � vitesse constante pour
deux valeurs W1
et W2
> W1.
Que repr�sente G0
? D�terminer sa valeur. Comment obtenir graphiquement W1 et W2.
Couple de d�marrage G0 ~100 N m.
Pour R petit, la
zone WS-R/L
< W < WS+R/L
peut �tre mod�lis�e par une droite ; cela permet d'avoir une vitesse de
rotation constante ( stabilit� ) quelques soient les variations du
couple de charge.
9. Etudier dans le domaine Gf appartenant � [G0, Gmax[ la
stabilit� des rotations W1 et W2. On pourra raisonner sur l'�volution de G au voisinage de W1
et W2.
10. Que se passe
t-il si Gf >
Gmax
? Arr�t du moteur.
11. Que se passe t-il si Gf appartient �
[0 ; G0]
?
12. A quelle
condition sur Gf
le moteur peut-il d�marrer ? Le couple de d�marrage G0 n'est pas nul, une machine asynchrone est
capable de d�marer seule.
Vitesse d'ascension du wagon.
La cha�ne
tractant les wagons est entrain�e par le moteur pr�c�dent. On admet que
la relation entre la vitesse de mont�e du wagon v et la vitesse de
rotation du moteur : v = k W
o� k = m /30. On n�glige toute perte d'�nergie par frottements.
13.
D�terminer l'expression de la force qu'exerce la
chaine sur le wagon de vitesse v constante en fonction de m, g et
a.
Le wagon est soumis � son poids, verticale vers le bas, valeur mg, �
l'action du plan perpendiculaire au plan et � l'action de la chaine,
parall�le au plan, vers le haut du plan. La vitesse �tant constante, la
somme vectorielle des forces est nulle.
Projection
de la somme vectorielle des forces sur un axe parall�le au plan : mg
sin a = F.
14. Exprimer la
puissance re�ue par le wagon de la part de l'ensemble {chaine +
moteur} en fonction de m, g, a,
k et W. En
d�duire une expression du couple r�sistif Gf.
Puissance re�ue= force fois vitesse = mg kW sin a .
A vitesse constante la puiisance re�ue est �gal � la puissance du
couple r�sistif.
Couple r�sistif= puissance / vitesse de rotation = mg k sin a .
15.
D�terminer la masse maximale du wagon pouvant �tre tract� sur une pente
d'angle a =
45�. Quelle est alors sa vitesse ?
Couple
r�sistif=m g m / 30 sin 45 = m2
x9,8 *sin(45) / 30 ~0,231 m2.
Couple moteur maxi =200 Nm ; 0,231 m2 =200 ; m = 29,4 kg.
W =75
rad / s ; v = k W
= m / 30 W =29,4 / 30 x75 =73,5 m /s.
16.
Quelle vitesse maximale ne peut d�passer un wagon plus l�ger ?
Wmax
= 100 rad /s ; v max =k Wmax= m / 30 Wmax =10 m /3.
|
...
|
|
|
....
|
Looping.
On s'interesse � la descente et � la possibilit� de faire un looping.
On cherche la hauteur H minimale permettant la russite d'un looping
circulaire de centre O, de rayon a et de hauteur h = 2a.
On mod�lise le wagon par un point mat�riel P glissant sans frottement
sur les rails. Initialement le wagon part du point A, d'altitude H �
vitesse n�gligeable.
17. D�terminer la vitesse vB au point B en fonction de g et H.
Conservation de l'�nergie m�canique.
En A, EM = mg H ; en B, origine des altitudes, EM = �mv2B.
�mv2B = mgH ; vB = (2gH)�.
18. En supposant que le wagon ne peut rompre le contact avec les rails, d�terminer la vitesse vC
au point C et trouver une condition reliant h et H n�cessaire pour que
le wagon puisse atteindre C. Cette condition sera valide par la suite.
Energie m�canique en C : 2 mg a+�mv2C ;
Conservation de l'�nergie m�canique entre A et C : 2mga+�mv2C =mgH ;
v2C =2g(H-2a) ; vC =(2g(H-2a))�.
On peut atteindre C avec une vitesse vC =0 ; soit H = 2a= h.
Dans certains man�ge, le wagon n'est pas attach� au rails mais juste
pos� dessus. Il faut �viter que le wagon ne rompe le contact avec les
rails.
19. D�terminer l'expression de la vitesse v(q) de P en fonction de g, H, a et q.
Conservation de l'�nergie m�canique entre A et P :
mgH =�mv2P +mga(1-cos(q)).
v2P =2gH -2ga(1-cos(q)).
20. D�montrer l'expression ci-dessous.
N = mg(2H/a +3 cos q-2).
Relation fondamental de la dynamique en projection sur l'axe OP :
-N +mgcos(q) = -mv2P / a ; N =mgcos(q) +mv2P / a ;
N =mgcos(q)+2mgH /a -2mg(1-cos(q)).
N = mg[2H /a +3cos(q)-2].
21. En d�duire la condition limite de d�collage.
Lorsque N s'annule, le wagon d�colle : 2H /a +3cos(q)-2 =0.
22. On souhaite �viter qu'un tel d�collage intervienne lors du looping. En d�duire la hauteur minimale Hmini que doit d�passer H afin de r�ussir le looping.
2Hmini /a =2-3cos(q) avec q = p.
2Hmini /a =5 ; Hmini =2,5 a.
|
|
