Une
petite glace.
Concours ITPE 2021.
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R�alisation
d'une glace.
On
m�lange des fruits congel�s avec du sucre et des blancs d'oeuf �
temp�rature ambiante. On cherche � d�terminer la temp�rature finale du
m�lange selon les proportions choisies.
Hypoth�ses
: les fruits sont assimil�s � une masse m1 d'eau � la
temp�rature initiale T1 = -20�C.
Le m�lange sucre + blancs d'oeufs est assimil� � une masse m2
d'eau pris � la temp�rature initiale T2 = 20�C.
On n�glige la capacit� thermique du r�cipient.
Capacit� thermique de l'eau liquide : cl=4,18 kJ kg-1K-1
; de l'eau solide cs = 2,06 kJ kg-1 K-1.
Enthalpie massique de fusion de la glace DHfusion = 333 kJ
kg-1.
30.Le m�lange se fait rapidement,
justifier que la variation d'enthalpie du m�lange est nulle.
En
m�langeant rapidement fruits, sucre et blancs, les �changes avec le
milieu ext�rieur n'ont pas le temps de se r�aliser.
31. On
note x = m2 / m1 et Tf la temp�rature
finale. Quelles sont les valeurs limites de Tf ?
Si m2 tend vers z�ro, Tf = -20�C et si m1
tend vers z�ro, Tf = 20�C.
32. On consid�re la
valeur particuli�re x' conduisant � un m�lange de temp�rature finale
0�C compl�tement solide. Montrer que :
x' = cs(Tf-T1) / [cl(T2-Tf)+DHfusion]
Energie gagn�e par les fruits : Q1 = m1cs(Tf-T1).
Energie c�d�e par le sucre et les blancs : Q2
= m2[cl(Tf-T2)-DHfusion].
Q1 +Q2
=0 ; m1cs(Tf-T1) = -m2[cl(Tf-T2)-DHfusion].
x' = cs(Tf-T1)
/ [cl(T2-Tf)+DHfusion].
33.
D�terminer la m�me expression x" correspondant � un m�lange
compl�tement liquide.
Energie gagn�e
par les fruits : Q1 = m1[cs(Tf-T1)+DHfusion].
Energie c�d�e par le sucre et les blancs : Q2
= m2cl(Tf-T2).
Q1 +Q2
=0 ; m1[cs(Tf-T1)+DHfusion] = -m2cl(Tf-T2).
x" = [cs(Tf-T1)+DHfusion] / [cl(T2-Tf)]
34. Tracer l'allure du graphe T(x)
et calculer x' et x".
x' = 2,06(Tf+20)
/ [4,18(20-Tf)+333] =(2,06 Tf +41,2) / (416,6-4,18 Tf).
416,6x'-4,18 Tf x' =2,06 Tf +41,2.
(2,06 +4,18 x')Tf =416,6x'-41,2 ;
Tf =(416,6x'-41,2) / (2,06 +4,18 x').
x" = [2,06(Tf+20)+333] / [4,18(20-Tf) ]=(2,06 Tf +374,2) / (41,2-4,18 Tf).
(41,2-4,18 Tf )x"=2,06 Tf +374,2 ; (2,06 +4,18 x")Tf
= -333 ; Tf = (-374,2 +83,6x) / (2,06 +4,18 x").
x' = 2,06(0+20) / [4,18(20-0)+333]=41,2 /416,6 ~0,1.
x" = [2,06(0+20)+333] / [4,18(20-0) ]=374,2 / 83,6=4,48.
35. Calculer Tf si m1
= 300 g et m2 = 80 g.
x =80 / 300 ~0,227.
0,1 < 0,227 < 4,48 ; le m�lange est partiellement solide, sa
temp�rature est 0�C.
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