Machine � glace autonome. Concours ITPE 2021.

La machine est �quivalente � un cong�lateur. On utilise un mod�le simple de cycle frigorifique pour �valuer l'efficacit�.

1 -->2 : compression isentropique : s = 1,75 kJ /kg. Le fluide � l'�tat de vapeur est compress� et sort du compresseur � haute pression et haute temp�rature.
2 --> 3 �change thermique isobare dans le condenseur sous 10 bar : h₂ ~430 kJ / kg ; h₃ ~255 kJ / kg.
Les vapeurs c�dent de la chaleur dans le milieu ambiant ( pi�ce) et se liqu�fient (liquide sous haute pression).
3 --> 4 d�tente adiabatique dans le d�tendeur.
Une partie du fluide est vaporis�. Le fluide est � son �tat le plus froid du cycle.
4 --> 1 �change thermique isobare sous 0,85 bar.
Le fluide absorbant de la chaleur est compl�tement vaporis� dans l'�vaporateur qui se trouve � l'int�rieur du cong�lateur.
Masses volumiques (kg m^-3) aux diff�rents points du cycle :
�₁ = 4,2 ; �₂ =45,5 ; �₃ = 1,3 10³ ; �₄ = 12,5.
C_p ~C_v ~1 kJ kg^-1 K^-1.
36. Donner et justifier les signes des grandeurs alg�briques suivantes : w₁₂, q₂₃ et q₄₁.
w₁₂>0 travail re�u dans le compresseur.
q₂₃ < 0 : condensation du fluide qui lib�re de l'�nergie dans le milieu ambiant.
q₄₁ > 0 : le fluide re�oit de l'�nergie des aliments � refroidir pour passer � l'�tat vapeur.
37. Dans un congelateur, o� se situent la source froide et la source chaude.
Source chaude : l'ext�rieur chauff� par le condenseur ; source froide : l'int�rieur du congelateur.
38. La transformation 3 --> 4 est une d�tente de Joule-Thomson. Le d�tendeur peut �tre assimil� � un simple �tranglement local de la conduite : il n'y a pas de pi�ce mobile et les parois sont calorifug�es. Justifier que cette �tape est isenthalpique.
Pas de pi�ce mobile, donc pas de travail ; parois calorifug�es, donc pas d'�change de chaleur avec l'ext�rieur.
39. Etablir que lors de la transformation 3 -- > 4 , la variation d'enthalpie peut s'�crire : Dh₃₄ = Dh_vap(T₄) x₄ +C_p(T₄-T₃).
x₄ : titre en vapeur.
Energie n�cessaire pour vaporiser une partie du liquide : Dh_vap(T₄) x₄ ;
�nergie n�cessaire pour amener le fluide de la temp�rature T₃ � T₄ : C_p(T₄-T₃).
40. D�terminer graphiquement Dh_vap(T₄). En d�duire par calcul (T₄-T₃) variation de temp�rature lors de la transformation 3--4.
Etat 4 : fraction de la vapeur : 0,45 ; fraction du liquide 0,55.
h₁ = 380 kJ kg^-1 ; h₄ =250 kJ kg^-1 ; Dh_vap(T₄) = h₁ - h₄ = 380-250 = 130 kJ kg^-1 .
x₄ =0,45 ; C_p ~C_v ~1 kJ kg^-1 K^-1.
T₄-T₃=130 x 0,45 / 1 ~59�C.
41. Rappeler la d�finition de l'efficacit� et donner son expression.
Au cours d'un cycle le fluide re�oit le travail w₁₂ , prend la chaleur q₄₁ � la source froide (aliments � refroidir) et c�de la chaleur q₂₃ � l'ext�rieur, source chaude.
efficacit� : �nergie thermique enlev�e � la source froide divis�e par le travail investi.
e = q₄₁ / w₁₂.
42. D�terminer graphiquement les variations d'enthalpie au cours des transformations du cycle.
h₁₂ ~430-380 =50 kJ kg^-1 ; h₂₃ ~255-430 = -175 kJ kg^-1 ; h₃₄ = 0 kJ kg^-1 ; h₄₁ ~125 kJ kg^-1 .
43. D�terminer w₁₂, q₂₃ et q₄₁. En d�duire l'efficacit�.
w₁₂ ~55 kJ kg^-1 ; q₂₃ = -180 kJ kg^-1; q₄₁~125 kJ kg^-1 .
e =q₄₁ / w₁₂ =125 / 55 =2,3.
44. Etablir l'espression de l'efficacit� de Carnot en fonction des temp�ratures ( T_chaude = 40�C ; T_froide = -30�C) Faire l'application num�rique et conclure.
Premier principe : w₁₂ +q₂₃+q₄₁ = 0 sur le cycle.
Second principe : q₂₃/ T₃+q₄₁/ T₄ = 0 sur le cycle ( transformations r�versibles).
q₂₃ / q₄₁= -T₃ / T₄ ;
e_c = q₄₁ / w₁₂ = -q₄₁ / (q₂₃+q₄₁) = -1 / (1+ q₂₃/ q₄₁).
Or q₂₃ / q₄₁= -T₃ / T₄ ;
e_c = -1 /(1-T₃ / T₄) =T₄ / (T₃-T₄) =(273-30)/(40+30)~ 3,5.
Valeur maximale correspondant � un cycle r�versible ; l'efficacit� d'un cycle r�el est inf�rieure � celle du cycle de Carnot.