Probabilit�s. Concours ITPE 2021.

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On dispose d'un d� �quilibr� � 6 faces et  d'une pi�ce non truqu�e. Soit N un entier naturel non nul fix�. On effectue N lancers du d�. On lance ensuite une pi�ce de monaie autant  de fois que l'on a obtenu de "6" au cours des N lancers du d�.  On d�finit alors les trois variables al�atoires X, Y et Z par :
Z d�signe le nombre de 6 obtenus au cours des N lancers.
X d�signe le nombre de pile obtenus lors de tous les lancers de la pi�ce.
Y d�signe le nombre de face obtenus lors de tous les lancers de la pi�ce.
1. D�terminer la loi de Z, son esp�rance et sa variance.
Chaque lancer du d�  est une exp�rience  de Bernoulli ; le succ�s est d'obtenir 6 ; sa probabilit� est p = 1 /6 = constante.
Z suit la loi de Bernoulli B (N ; 1 /6).
P(Z = k) = CkN (1/6)k (5/6)N-k.
Esp�rance E(Z) = N / 6 ; variance V(Z) =N x1 /6 x5 /6 = 5 N / 36.
2. D�terminer la relation entre X, Y et Z.
Z = nombre de lancers de la pi�ce = nombre de pile + nombre de face.
Z = X+Y.
3. Soient deux entiers k et n tous les deux inf�rieurs ou �gaux � N.
a. Donner la valeur de PZ=n(X=k) si k > n et expliquer pourquoi en une phrase.
On a obtenu n fois le nombre 6 ; on lance n fois la pi�ce ; on peut obtenir au mieux un nombre de pile inf�rieur ou �gal � n.
PZ=n(X=k) =0 si k > n.
b. Expliquer pourquoi PZ=n(X=k)= Cknx0,5n  si k < n.
X suit la loi binomiale  B(n ; 0,5) ; PZ=n(X=k)= Cknx0,5k  x0,5n-k.
 4. Soit deux entiers k et n tous les deux inf�rieurs ou �gaux � N.
a. Donner la valeur de P((Z=n) n (X=k)) si k > n.
k ne peut �tre sup�rieur � n : P((Z=n) n (X=k)) =0.
b. Montrer que si 0 < k < n <  N alors : P((Z=n) n (X=k)) =Ckn CnN 5N-n / (2n x6N).
PZ=n(X=k)= Cknx0,5n .
P(Z = n) = CnN (1/6)n (5/6)N-n=CnN (1/6)N (5)N-n.
 P((Z=n) n (X=k)) =PZ=n(X=k) x P(Z = n), les �v�nements lancer du d� et lancer de la pi�ce �tant ind�pendants.

5.a. Montrer que les �v�nements (Z=0), (Z-1)...., (Z=n) forment un syst�me complet d'�venements.
Soit Di l'�v�nement " le d� tombe sur la face i" lors d'un lancer. Cette probabilit� P(Ai) n'est pas nulle.
Il est impossible que le d� tombe sur deux faces diff�rentes lors du m�me lancer. P(Ai n Aj) = 0.
Il y a toujours un �v�nement de E qui est r�alis�. P(E1 u E2 u E3 u E4 u E5 u E6) =1.
Les �v�nements (Z=0), (Z-1)...., (Z=n) forment un syst�me complet d'�venements.
b. Ecrire la formule des probabilit�s totales pour calculer P(X=0) en utilisant le syst�me complet de la question pr�c�dente.
P(Z=0) = C0N(1/6)0x(5/6)N ; P(X=0)= 0 ;
P(Z=1) = C1N(1/6)1x(5/6)N-1 ; P(X=0)= P(Z=1) x1 /2 ;
P(Z=2) = C2N(1/6)2x(5/6)N-2 ; P(X=0)= P(Z=2) x(1 /2)2 ;
puis faire la somme.

c. En d�duire que :
P(Z=1) = C1N(1/6)1x(5/6)N-1 =(5/6)N x C1N(1/6)1x(6 /5) ; P(Z=1) x1 /2 =(5/6)N x C1N 1 /10.
P(Z=2) = (5/6)N x C2N(1/6)2x(6/5)N-2 ; P(Z=2) x(1 /2)2 =(5/6)N x C2N (1 /10)2.
Puis faire la somme.
d. En d�duire P(X=0) sous la forme (a / b) N o� on donnera les valeurs de a et b.
Formule du bin�me de Newton :

 6. En d�duire P(X=N).

7. Pour tout k appartenant � [1 ; N-1], expliciter p(X=k).

8. Justifier que X et Y ont la m�me loi.
Chaque lancer de la pi�ce est une exp�rience  de Bernoulli ; le succ�s est d'obtenir pile ; sa probabilit� est p = 1 /2 = constante.
X suit la loi binomiale  B(Z ; 0,5).
L'�chec est d'obtenir face ;  Y suit la loi binomiale  B(Z ; 0,5).
9. Donner l'esp�rance de X. On pourra utiliser la question 2.
 Esp�rance E(X) = Z / 2. Esp�rance E(Y) = Z / 2. Esp�rance E(Z) = N / 6.
E(X+Y) =E(X) +E(Y) = E(Z) ; E(X)=N / 12.



 
  

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