La foudre, prise de terre, pourquoi les paratonnerres sont-ils pointus ? Concours interne ing�nieur de l'industrie et des mines 2020.

A Le coup de foudre.
La premi�re phase d'un coup de foudre est la formation d'une pr�-d�charge peu lumineuse appel�e traceur qui progresse � travers l'air avec une vitesse relativement faible. Elle prend naissance d'une part au sol ( traceur ascendant) d'autre part dans le nuage ( traceur descendant). Si les traceurs se rejoignent, il s'�tablit une liaison conductrice entre le nuage et le sol, un courant de forte intensit� va circuler dans l'air. La figure suivante donne un relev� in-situ de l'intensit� I(t) en kA d'un coup de foudre.

1. Evaluer la charge totale Q �coul�e et l'intensit� moyenne I_m du courant de foudre.
I_m ~70 kA sur une dur�e d'environ 500 �s.
Q = 70 10³ x 500 10^-6 ~ 35 C. ( aire sous la courbe).
2. Estimer la diff�rence de potentiel U entre le bas du nuage ( altitude 3 km) et le sol, sachant que le champ �lectrique vaut approximativement 27 kV m^-1.
U = 27 10³ x 3 10³ =81 10⁶ V ~100 MV.
3. Si on admet que l'�nergie dissip�e lors de l'�clair est celle d'un condensateur de charge Q sous la ddp U, quelle est la capacit� de ce condensateur ?
C = Q / U =35 / (81 10⁶)=4,3 10^-7 F.
4. Quels probl�mes se posent pour r�cup�rer cette �nergie ?
Cette �nergie est dispers�e et al�atoire.
Trop d'�nergie en trop peu de temps.
Il faudrait des millions de paratonnerres.
On ne sait pas stock�e l'�nergie �lectrique.
4. La foudre peut engendrer des perturbations le long des circuits �lectriques. Expliquer ce ph�nom�ne en s'appuyant sur les lois fondamentales de l'�lectromagn�tisme.
Lors d'un coup de foudre, l'air est ionis� dans un canal conduisant du sol au nuage orageux. On assimile l'�clair � un fil rectiligne infini, d'axe Oz et de rayon a, parcouru par un courant I(t) uniform�ment r�parti dans une section droite et l'on se place dans l'approximation des r�gimes quasi-stationnaires. Un point M au voisinage de l'�clair sera rep�r� en repr�sentation cylindrique, par ces coordonn�es ( r, q, z).

Des charges n�gatives s'�coulent de l'atmosph�re vers la terre : le sens de I(t) est donc ascendant.
On s'int�resse � l'expression du champ magn�tique cr�� par l'�clair, toujours mod�lis� par un fil infini de rayon a.
Expression du champ magn�tique B(M) cr�e par l'�clair.
Les vecteurs sont �crits en gras et en bleu.
L'axe Oz est axe de sym�trie du syst�me ; une rotation autour de cet axe ne modifie pas le champ : la variable q n'intervient donc pas dans l'expression du champ.
Toute translation le long de l'axe Oz, ne modifie pas le champ : la variable z n'intervient donc pas dans l'expression du champ.
Tout plan contenant l'axe Oz est plan d'antisym�trie : le champ appartient donc au plan contenant l'axe Oz et le point M d'o� : B_q( r, z) =0.
Le champ est orthoradial : B(M) = B( r, t) e_q.
On consid�re un ensemble de fils parcourus par des courants, la circulation C du champ magn�tique le long d'une courbe ferm�e (G) quelconque est :

On calcule la circulation sur un cercle : le champ est constant sur ce contour et reste tangent au cercle.

Un coup de tonnere est une d�charge �lectrique caract�ris�e par des courants de fortes amplitudes et de courtes dur�es.
On consid�re le circuit domestique d'alimentation d'une lampe. On l'assimile, pour simplifier, � un cadre rectangulaire de surface S, situ� � la distance r de l'�clair. On mod�lise l'�clair par un fil rectiligne parcouru par un courant d'intensit� I(t). Il produit un champ magn�tique d'expression B(r,t) = KI(t) / r.

Le circuit �lectrique et l'�clair sont coplanaires et suffisamment �loign�s l'un de l'autre pour que l'on puisse suppos� homog�ne le champ magn�tique au niveau du circuit.
Ce circuit est le si�ge d'un ph�nom�ne d'induction.

Prise de terre.
Lorsque le courant de foudre d'un impact direct sur un paratonnerre s'�coule par la prise de terre, celle-ci doit pr�senter une faible r�sistance. La limite est de 30 ohms. On consid�re la prise de terre constitu�e par une demi-boule m�tallique pleine de rayon a, plac�e dans un sol de r�sistivit� r = 100 W m.
Un courant de foudre, d'intensit� I, arrive via la tige paratonnerre fix�e au centre C de l'h�misph�re. On traite le probl�me avec l'�lectromagn�tisme des r�gimes permanents.
1. Rappeler l'expression locale de la loi d'Ohm pour le sol.
2. Quelle est la forme des lignes de courant dans la terre ?
Ce sont des demi-droites pasant par le centre de la demi-boule m�tallique.
3. Donner le potentiel V(r) en fonction de r, I et r

Mod�lisons l'�clair traversant l'arbre par un fil rectiligne vertical semi-infini, parcouru par un courant �lectrique ascendant d'intensit� I = 15 kA. Cette demi-droite prend fin au niveau du sol, o� l'on suppose que la densit� volumique de courant est radiale, de la forme

. l'�tude est men�e en r�gime stationnaire et l'on note g = 1 S m^-1 la conductivit� �lectrique du sol, inverse de sa r�sistivit�
Le courant traversant la demi- sph�re de surface S = 2 pR² est �gal au courant I circulant dans l'�clair.

4. Quel est alors le potentiel U de la demi-boule, le potentiel �tant nul � l'infini ? La r�sistance de terre R, �tant d�finie par U = RI, calculer le rayon a de l'h�misph�re de telle mani�re que la valeur de la r�sistance soit inf�rieur � 30 ohms.
La demi-sph�re est �quipotentielle : V =I / (2pg a).
U = V -V_infini = V.
R = U / I = 1 / (2pg a). R < R_max ; R < 30 ; a <1 / (2pg R_max). a < 1 / (2 x3,14 x 0,01 x30) ; a < 0,53 m.
5. La tension de pas V_P est la diff�rence de potentiel entre deux points de la surface du sol distants de un m�tre et situ�s sur une droite passant par le centre de l'h�misph�re. Calculer cette tension de pas � 100 m de la prise de terre, pour un courant I = 50 kA.
V = I / (2pg r).
dV = -I dr / (2pg r²).
1 m << 100 m : |V_P |~I Dr / (2pg d²) = 50 10³ x 1 / (2 x3,14 x0,01 x 100²) ~ 80 V.
6. La r�sistance entre deux pieds d'une persone est R= 2,5 kW et que l'intensit� de t�tanisation est de 25 mA, quelle est la distance de s�curit� au voisinage du paratonnerre ?
V_P / R < 0,025.
I/ (2pg d²R) < 0,025 ; 50 10³ / (2 x3,14 x0,01 x2500 d²) < 0,025 ;
318,5 / d² < 0,025 ; d² > 318,5 / 0,025 ; d² > 12 739 ; d > 113 m.
Dr / (2pg d²) = 62,5 ; d²=1 / (2 x3,14 x0,01 x 62,5) =0,254 ; d = 0,50 m.