Math�matiques, concours ESA 2019. Ecole de sant� des arm�es.

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Exercice 1.
Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.
On demande au candidat d’indiquer sans justification la r�ponse qui lui parait exacte en cochant la case sur la grille pr�vue � cet effet.
Toute r�ponse juste est compt�e +1 point, toute r�ponse fausse est compt�e −0,25 point. Une absence de r�ponse est compt�e 0 point. Si le total est n�gatif, la note est ramen�e � 0.

QCM1.

A. 0 : B. 1 vrai ; C. e ; D. e-2.


QCM2. L'�quation | ln(x) | >0 a pour solution :
Si x appartient � ]0 ; 1[, | ln(x) | = -ln(x), strictement positif.
Si x appartient � ]1 ; +oo[, | ln(x) | =ln(x), strictement positif.

A. ]0 ; 1 [ u ]1 ; +oo[ vrai ; B. 1 ; +oo[ ; C. ]0 ; 1 [ ; D. ]1 ; +oo[.

QCM 3.
Dans une universit� de m�decine o� la moiti� des �tudiants travaille s�rieusement, 60% des �l�ves sont re�us au concours de fin d’ann�e. De plus, parmi ceux qui travaillent s�rieusement, 90% r�ussissent le concours.
Quelle est la probabilit� qu’un �tudiant r�ussisse le concours sachant qu’il n’a pas travaill� s�rieusement ?
On d�fini les �v�nements suivants :
 T : travail s�rieusement ; R : r�ussite au concours.

A. 0,3 vrai : B. 0,15 ; C. 0,01 ; D. 0,505.

QCM 4.Calculer z2 sachant que :



QCM 5. On pose u = ln(x) ; u' =1 /x.

R�ponse C.

QCM 6.
La dur�e d’efficacit� d’un m�dicament, en heures, peut �tre mod�lis�e par une variable al�atoire qui suit une loi exponentielle.
Quel est le param�tre l de cette loi sachant que P(X >20) = 0,3.
A. −ln(0,7) / 20 ; B. ln(0,3) / 20 ; C. -ln(0,3) / 20  vrai; D. 20 ln(0,3).
P(X > 20) = e-20l =0,3 ;
ln(0,3)=-20 l ; l = -ln(0,3) / 20.

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 Exercice 2.
QCM 7.
L’ensemble des solutions de l’in�quation (ex −1) (1−x2) >0 est :
A. ]−∞; −1]∪[0 ; 1]  vrai ; B. [−1 ; 0]∪[1 ; +∞[   ; C. [0; 1] ; D. �[−1; 1].

QCM 8.
La  d�riv�e de la fonction f(x) = (e2x-1) / (e2x+1) d�finie sur R est :
On pose u = e2x-1 et v =e2x+1.
u' = 2e2x; v' = 2e2x;
(u'v-v'u) / v2 = [ 2e2x(e2x+1)-2e2x(e2x-1)] / (e2x+1)2.
f '(x)= [ 2e2x(e2x+1)-(e2x-1)] / (e2x+1)2.
f '(x) = 4e2x/ (e2x+1)2. R�ponse D.

QCM 9.
La fonction f est d�finie sur R-{1} par f (x) = exp( x /(1−x)) . Laquelle de ces propositions est exacte ?
Quand x tend vers plus l'infini :
 x / (1-x) = 1 / [1/x-1] tend vers -1.
f(x) tend vers e-1.
Quand x tend vers 1+ :
 x / (1-x)  tend vers -oo.
f(x) tend vers 0.
Quand x tend vers 1- :
 x / (1-x)  tend vers +oo.
f(x) tend vers +oo.
R�ponse B.

QCM 10.
La suite (un) d�finie par un+1 = ln(1+un ) et u0 = 1 est :
A. croissante ; B. d�croissante vrai ; C. convergente vers e ; D. divergente vers moins l'infini.
un+1 -un =ln(1+un ) -un.
Or ln(1+un ) < un  ; donc un+1 <un.
n
 0
 1
 2
 3
 4
un
 1
 ln(2) ~0,69
 ln(1+ln(2)) ~0,526
 ln(1+0,536)~0,423
 ln(1+0,423) ~0,353

QCM 11.
On lance trois fois un d� �quilibr�, la probabilit� d’obtenir exactement 2 fois le chiffre 6 est :

R�ponse B.

QCM 12.
L’�quation x2 ln(2) = x3 ln(3) a pour solution :
x = 0 est solution.
ln(2) = x ln(3) ; x = ln(2) / ln(3).
R�ponse B.
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 Exercice 3.
PARTIE A
Dans un pays une maladie virale est transmise d’un �tre humain � un autre par un insecte infect�.
Un test a �t� mis en place pour le d�pistage de ce virus. On sait que :
• La probabilit� qu’une personne atteinte par le virus ait un test positif est de 0,98.
• La probabilit� qu’une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de 0,01.
On proc�de � un test de d�pistage syst�matique dans la population de ce pays. Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :
• M l’�v�nement : � l’individu est atteint par le virus � ;
• T l’�v�nement : � Le test de l’individu choisi est positif �.
On notera p la proportion de personnes atteintes par le virus dans la population.
1. Calculer p(T ).
2. D�montrer que la probabilit� de M sachant T est donn�e par la fonction f d�finie sur [0; 1] par f (p) =98p / (97p +1)

3. �tudier les variations de f .
On pose u = p ; v = 97p+1 ; u' = 1 ; v' = 97.
f '(x) =(u'v-v'u/) / v2 = [(97p+1)-97p] / (97p+1)2 = 1/ (97p+1)2 .
La d�riv�e est strictement positive ; la fonction f(p) est strictement croissante.
4. On consid�re que le test est fiable lorsque la probabilit� qu’une personne ayant un test positif soit r�ellement atteinte par le virus est sup�rieure ou �gale � 0,95.
� partir de quelle proportion p,les malades dans la population le test est-il fiable?
Donner la valeur de p sous forme de fraction irr�ductible.
98p /(97p+1) >0,95.
98p > (97p+1) x0,95.
98p-97 x0,95p > 0,95.
(9800-95 x97)p > 95.
585 p > 95 ; p > 19 /117.
 

PARTIE B
Dans toute la partie B, un institut sanitaire estime que la probabilit� qu’une personne soit atteinte par le virus est 0,15.
On choisit 100 individus au hasard dans cette population. Les tirages sont ind�pendants.
1. Soit X la variable al�atoire qui, aux 100 individus choisis, associe le nombre de personnes atteintes par le virus.
D�terminer la loi de probabilit� X.
Loi binomiale.
Les tirages sont ind�pendants et deux issues sont possibles: �tre atteinte par le virus p = 0,15 ; ne pas �tre atteint 1-p = 0,85.
2. Dans l’�chantillon pr�c�dent, on d�nombre 20 personnes atteintes par le virus.
Quelle conclusion peut-on tirer � propos de la valeur p = 0,15 au seuil de 95%?
Aide au calcul : 1,96�(0,15�0,85)� ≈ 0,70 � 10−2 pr�s.
On cherche un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % :
1,96 (p(1-p) / n)� = 1,96 (0,15 x0,85 / 100)� ~0,70 / 10 = 0,07.
[0,15 -0,07 ; 0,15 +0,07] soit [0,08 ; 0,22].
La fr�quence observ�e 20 / 100 = 0,20 appartient � cet intervalle. L'estimation p = 0,15 est correcte.

PARTIE C.
Dans cette partie, on suppose p inconnue.
On choisit 100 individus au hasard dans la population. Les tirages sont ind�pendants. On d�nombre 20 personnes atteintes par le virus.
Donner un intervalle de confiance de p au seuil de 95%.
On cherche un intervalle de confiance au seuil de 95 % :
 n > 30 ; n f = 20 > 5; n(1-f) = 80 >5.
 Les conditions sont requises por d�finir un intervalle de confiance au seuil de 95 %.
1/100� = 1 /10 = 0,10.
Fr�quence observ�e : f = 20 / 100 = 0,20.
Intervalle de confiance : [0,20 -0,10 ; 0,20 +0,10) soit [0,10 ; 0,30 ].

 PARTIE D.
Le temps d’incubation en heures du virus peut �tre mod�lis� par une variable al�atoire Y suivant une loi normale de moyenne 20 et d’�cart-type 5.
1. Que vaut P(15 < Y < 25) � 10−2 pr�s ?
P(15 < Y) =0,158655 ; P(25 < Y) =0,841344 ;
P(15 < Y < 25)=0,841344 - 0,158655 ~0,68.
2. Que vaut P(Y > 15) � 10−2 pr�s ?
P(Y > 15) = 1 -P(15 < Y) =1-0,158655 ~0,84.
3. Trouver a tel que P(Y < a) = 0,975 et interpr�ter le r�sultat obtenu.
La calculatrice conduit � : P(Y < 30) = 0,977.
P(Y < 29) =0,964.
On retient a = 30.
L'apparition des premiers sympt�mes appara�t dans un d�lai de 30 heures dans 97,5 % des cas.
 


  

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