Math�matiques,
enseignement de sp�cialit�, classe de premi�re g�n�rale.
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Exercice 1. QCM (5
points).
Une seule des 4 propositions est exacte.
• Question 1 :
Pour tout r�el 𝑥, (ex)3 est �gal � : ex * e3 ; ex+3 ; e3x vrai ; exp (x3).
(ex)3 = ex *ex *ex = e3x.
• Question 2 :
Pour tout r�el x,cos(x+p) est �gal � :
sin x ; - cos x vrai ; cos x ; -sin x.
• Question 3 :
On
souhaite mod�liser le niveau de la mer par une suite (un) de fa�on
que u0 repr�sente le niveau de la mer, en mm, en 2003 et que un
repr�sente le niveau de la mer, en mm, n ann�es apr�s 2003.
Selon le site www.notre-planete.info/terre/climatologie_meteo, on
constate une hausse assez rapide du niveau de la mer, qu’on estime �
3,3 mm par an depuis 2003.
Pour traduire ce constat, la suite (un) doit �tre :
a. une suite g�om�trique de raison 3,3.
b. une suite g�om�trique de raison 1,033.
c une suite arithm�tique de raison 1,033.
d. une suite arithm�tique de raison 3,3. Vrai.
Hausse de 3,3 mm par an : un = u0 + 3,3 n.
• Question 4 :
Les figures ci-dessous repr�sentent quatre polyn�mes du second degr� dans un rep�re orthonorm� et le signe de leur discriminant D. Parmi ces propositions, laquelle est juste ?
D = 0, la courbe est tangente � l'axe des abscisses.
D < 0, la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses.
D > 0, la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts.
• Question 5 :
Le plan est rapport� � un rep�re orthonorm�.
D est une droite dont une �quation cart�sienne est 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0.
Parmi ces propositions, laquelle est juste ?
a) La droite D passe par le point A de coordonn�es (2 ; 1)
Si A appartient � la droite D : yA =1 ; 2xA+3 = 2*2+3 = 7; yA diff�re de 2xA+3.
b) La droite D est dirig�e par le vecteur de coordonn�es (−1; 2)
Une droite d'�quation r�duite y = 2x+3 poss�de un vecteur directeur de coordonn�e (1 ; 2).
c) Le vecteur de coordonn�es (2; −1) est normal � la droite D. Vrai.
d) Le point d’intersection de la droite D avec l’axe des abscisses a comme coordonn�es (0; 3).
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Exercice 2. (5
points).
Une entreprise de menuiserie r�alise des d�coupes dans des plaques rectangulaires de bois.
Dans un rep�re orthonorm� d’unit� 30 cm ci-dessous, on mod�lise la
forme de la d�coupe dans la plaque rectangulaire par la courbe Cf
repr�sentative de la fonction f d�finie sur l’intervalle [−1;2] par
f(x)=(−x+2)ex.
Le bord sup�rieur de la plaque rectangulaire est tangent � la courbe
Cf. On nomme L la longueur de la plaque rectangulaire et ℓ sa largeur.
1. On note f ' la fonction d�riv�e de f.
a. Montrer que pour tout r�el x de l’intervalle [−1;2],f '(x) = (-x+1)ex.
On pose u = -x+2 et v = ex ; u' = -1 et v' = ex.
u'v +v'u = -ex +(-x+2)ex =(-x+1)ex.
b. En d�duire le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur [−1;2].
ex est positif ; f '(x) = 0 pour x = 1.
Sur [-1 ; 1 [, f '(x) est positive et f(x) est strictement croissante.
Sur ]1 ; 2 ], f '(x) est n�gative et f(x) est strictement d�croissante.
2. La longueur L de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur ℓ exacte en cm.
La largeur correspond � f(1) = e soit en tenant compte des unit�s : l = 30 e cm.
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Exercice 3.
(5 points)
Une compagnie d’assurance auto propose deux types de contrat :
– un contrat � Tous risques � dont le montant annuel est de 500 € ;
– un contrat � de base � dont le montant annuel est de 400 €.
En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les donn�es suivantes :
– 60% des clients poss�dent un v�hicule r�cent (moins de 5 ans). Les autres clients ont un v�hicule ancien ;
– parmi les clients poss�dant un v�hicule r�cent, 70% ont souscrit au contrat � Tous risques � ;
– parmi les clients poss�dant un v�hicule ancien, 50% ont souscrit au contrat � Tous risques �.
On consid�re un client choisi au hasard.
D’une mani�re g�n�rale, la probabilit� d’un �v�nement 𝐴 est not�e 𝑃(𝐴) et son �v�nement contraire est not� 𝐴̅.
On note les �v�nements suivants :
𝑅 : � le client poss�de un v�hicule r�cent � ;
𝑇 : � le client a souscrit au contrat � Tous risques �.
On note 𝑋 la variable al�atoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.
1. Recopier et compl�ter l’arbre pond�r� de probabilit� traduisant les donn�es de l’exercice.
2. Calculer la
probabilit� qu’un client pris au hasard poss�de un v�hicule r�cent et
ait souscrit au contrat � Tous risques �, c’est-�-dire calculer
𝑃(𝑅∩𝑇).
0,6 x0,7 = 0,42.
3. Montrer que 𝑃(𝑇)=0,62.
Formule des probabilit�s totales : 0,42 +0,20 = 0,62.
4. La variable
al�atoire 𝑋 ne prend que deux valeurs 𝑎 et 𝑏. D�terminer ces deux
valeurs, les probabilit�s 𝑃(𝑋=𝑎) et 𝑃(𝑋=𝑏), puis l’esp�rance de
𝑋.
a = 500 ; b = 400.
p(X=500) =P(T) = 0,62 ; p(X=400) =P(nonT) =1- 0,62= 0,38.
Esp�rance de X : 0,62 x500 +0,38 x400 = 462.
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Exercice 4 (5 points).
En traversant une plaque de verre teint�e, un rayon
lumineux perd 20 % de son intensit� lumineuse. L’intensit� lumineuse
est exprim�e en candela (cd).
On utilise une lampe torche qui �met un rayon d’intensit� lumineuse r�gl�e � 400 cd.
On superpose n plaques de verres identiques (n �tant un entier naturel) et on d�sire mesurer l’intensit� lumineuse In du rayon � la sortie de la n-i�me plaque.
On note I0=400 l’intensit� lumineuse du rayon �mis par la
lampe torche avant de traverser les plaques (intensit� lumineuse
initiale). Ainsi, cette situation est mod�lis�e par la suite (In).
1. Montrer par un calcul que I1=320.
I1 = 0,8 I0 = 0,8 x400 = 320.
2. a. Pour tout entier naturel n , exprimer In+1 en fonction de In.
In+1 = 0,80 In.
b. En d�duire la nature de la suite (In). Pr�ciser sa raison et son premier terme.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,8. Il s'agit d'une suite g�om�trique de raison 0,80 et de premier terme I0 = 400.
c. Pour tout entier naturel n, exprimer In en fonction de n.
In = 400 x 0,80n.
3. On souhaite
d�terminer le nombre minimal n de plaques � superposer afin que le
rayon initial ait perdu au moins 70 % de son intensit� lumineuse
initiale apr�s sa travers�e des plaques.
a. Afin de d�terminer le nombre de plaques � superposer, on consid�re la fonction Python suivante.
def nombrePlaques(J):
I=400
n=0
while I > J:
I = 0.8*I
n = n+1
return n
Pr�ciser, en justifiant, le nombre J de sorte que l’appel nombrePlaques(j) renvoie le nombre de plaques � superposer.
In < 0,70 x400 ; In < 280. J = 280.
b. Le tableau suivant donne des valeurs de In. Combien de plaques doit-on superposer ?
n
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0
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1
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2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
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In
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400
|
320
|
256
|
204,8
|
163,84
|
131,07
|
104,85
|
83,886
|
400 x0,70 = 280 ; il faut superoser 2 plaques.
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