Fonctions, tableaux de signe, math�matiques, classe de premi�re.

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1. Donner les tableaux de signes de :
a). g(x) = (x+4)(-2x+5).
x+4 =0 , soit x = -4.
-2x+5 = 0 soit 2x = 5 et x = 2,5.

b). f(x) = (2x-5) -(2-x)(2x-5).
On factorise : f(x) = (2x-5) [1-(2-x)].
f(x) = (2x-5)(1-2+x).
f(x) = (2x-5)(x-1).
2x-5 = 0, soit 2x =5 et x = 2,5.
x-1 = 0 soit x = 1.

c). R�duire au m�me d�nominateur puis �tablir le tableau de signes.


Exercice 2.
Soit la fonction g dont on donne la repr�sentation graphique. Les r�ponses seront donn�es avec la pr�cision permise par le graphique.

1. Quelles sont les images de -1 et de 0 ?
L'image de -1 est g(-1) = 2. L'image de 0 est g(0) = 3.
2. Quels sont les ant�c�dents de -2,5 et 1 ?
L'ant�c�dent de -2,5 est 3. Les ant�c�dents de 1 sont : 1 ; environ -1,5 et environ 3,4.
3. R�soudre graphiquement f(x) = 2.
Solutions { -1 ; ~1,6 ; ~3,5 }.
4. Dresser le tableau de variations de g(x) sur l'intervalle [-2 : 3,5].

5. Soit f la fonction d�finie sur R par f(x) = -x+1.
a. Repr�senter la coube associ�e � la fonction f(x) sur le graphe pr�c�dent.

La droite passe par les points de coordonn�es (0 ; 1) et (1 ; 0).
b. Quelles sont les solutions de l'�quation g(x) = f(x) ?
Les courbes se coupent aux points d'abscisses : { -1 ; ~2,4 ; ~ 3,2 }.

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Exercice 3.
Soit f la fonction d�finie sur R par g(x) = -x2 +2x +2.
1. Quel est le nom de la courbe correspondante ?
Il s'agit d'une parabole.
2. La repr�senter et donner l'�quation de son axe de sym�trie.
a = -1 ; b = 2 ; -b / (2a) = -2 / (2(-1))= 1.

3. Donner le tableau de variation de g.

4. Calculer g(1) et g(3).
g(1) = -12 +2*1+2 = 3 ; g(3) = -32 +2*3+2 = -9+6+2= -1.
5. Soit M le point de la courbe d'abscisse 0 et P le point de la courbe d'abscisse 3.
Calculer le taux de variation de f entre M et P.
M(0 ; 3 ) ; P( 3 ; -1).
Taux de variation demand� :  [g(xP) -g(xM)]  / (xP-xM)  =(-1-3) / (3-0) = -4 / 3.

Exercice 4.
 On consid�re la fonction f d�finie sur l'intervalle [-2 ; 4]. Sa courbe repr�sentativeC  est une parabole.
 
Une tache d'encre masque une partie de la courbe.
1. Lire sur le graphique l'image de -1 et de 3 par f.
f(-1) =0 ; f(3) =0.
2. R�soudre par lecture graphique sur l'intervalle [-2 ; 4], l'in�quation f(x) < 0.
x appartient � [-1 ; 3 ].
3. On admet que l'expression de la fonction f est de la forme f(x) = (x-x1)(x-x2) avec x1 < x2. Pr�ciser les valeurs de x1 et x2.
f(x) = (x-x1)(x-x2) = 0 conduit � :
x-x1 =0 soit x = x1 = -1 et � x-x2 =0 soit x = x2 = 3.
Par suite f(x) = (x-(-1))(x-3)=(x+1)(x-3) = x2 -3x+x-3 = x2 -2x-3.
4. Retrouver les coordonn�es du sommet de la parabole.
La courbe est sym�trique par rapport � la droite d'�quation x = 1.
Ou bien x = -b / (2a) = -(-2) / (2 *1) = 1.
f(1) = 12-2*1-3 = -4.
5. Dresser le tableau de variations de f. On admet que f(-2) = f(4) = 5.


Exercice 5.
On consid�re la fonction f d�finie sur [-4 ; +4] par f(x) = x2-2x-3.
1. Calculer l'image de -1 par f.
f(-1) = (-1)2-2(-1)-3 =1+2-3=0.
2. Montrer que 3 est solution de f(x) = 0.
f(3) = 32 -2 *3 -3 = 9-6-3=0.
3. Donner une forme factoris�e de f(x).
f(x) = (x-3)(x-(-1)) =(x-3)(x+1)..
4. Dresser le tableau de signes de f sur cet intervalle.

5. D�terminer quelle courbe repr�sente la fonction f. Justifier.

C1 ne convient pas : elle est positive sur [-1 ; 2 ].
C3 ne convient pas : elle est n�gative sur [0 ; 4 ].
C2 convient : elle est n�gative sur [-1 ; 3 ].

Exercice 6.
 Une entreprise commercialise des chocolats. La production hebdomadaire maximale est de 30 000 chocolats. On suppose que la totalit� est vendue chaque semaine. les charges de production, en euros, pour x milliers de chocolats vendus sont mod�lis�es par la fonction C d�finie sur [0 ; 30 ] par C(x) = 4x2 +4x+520.
Prix de vente d'un chocolat : 0,128 €.
Pour la vente de x milliers de chocolats le chiffre d'affaires, en euros, est donn� par la fonction R d�finie sur [0 ; 30 ) par R(x) = 128 x.
CR et CC d�signent les courbes repr�sentatives de R et C.

Le r�sultat r�alis� pour x milliers de chocolats vendus est donn� par la fonction B par B(x) = R(x) - C(x).
1. Montrer que B(x) = -4x2 +124 x -520.
B(x) = 128 x -(4x2 +4x+520) = -4x2 +124 x -520.
2. Montrer que B(x) = -4(x-5)(x-26).
On d�veloppe : -4 ( x2 -26x -5x +130)= -4 ( x2 -31x +130)= -4x2 +124 x -520.
3. En d�duire le tableau de signe de B(x).

4. D�terminer les quantit�s de chocolat � produire pour obtenir un r�sultat positif.
x doit �tre compris entre 5000 et 26 000 chocolats , ]5000 ; 26 000  [.
5. Quelle est la quantit� de chocolat � produire pour maximiser le b�n�fice habdomadaire ? Donner sa valeur.
B(x) = -4x2 +124 x -520.
x = -b / (2a) = -124 / (2 *(-4))=124 / 8 =15,5.
B(15,5) = -4 *15,52+124*15,5 -520= -961 +1922-520=441 €.
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Exercice 7.
Soit f la fonction d�finie sur R par f(x) = -2x2+6x+8.
1. Montrer que f(x) = -2(x+1)(x-4).
On d�veloppe : -2 ( x2+x-4x-4) = -2(x2-3x-4) = -2x2+6x+8.
2. R�soudre l'�quation f(x) = 0.
x+1=0 ; x = -1 ; x-4=0 ; x = 4.
3. Faire un sch�ma de l'allure de la courbe repr�sentative de f.

4. Expliquer pourquoi le maximum est atteint pour x = 1,5.
Le maximum est atteint pour x = -b / (2a) soit x = -6 / (2 *(-2)) = 6 / 4 = 1,5.
l'axe de sym�trie de la courbe est la droite d'�quation x = 1,5.
5. Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle [-1 ; 4].
 

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