Math�matiques.
E3C, contr�le continu premi�re technologique
01 / 2020.
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Exercice 1.
Sans calculatrice.
1. Donner le coefficient multiplicateur correspondant � une hausse de 25 %.
100 +25 = 125 ; coefficient multiplicateur : 1,25.
2. Donner le coefficient multiplicateur correspondant � une baisse de 11 %.
100 -11 = 89 ; coefficient multiplicateur : 0,89.
3. Une calculatrice qui co�te 79 € b�n�ficie d'une remise de 20 %. Quel est son prix final ?
100 -20 = 80 ; coefficient multiplicateur : 0,8.
0,8 x79 =63,2 €.
4. R�soudre dans R l'�quation : 3x-8 = 5x +10.
3x -5x =10+8 ; -2x = 18 ; x = -18 /2 ; x = -9.
5. R�soudre dans R l'�quation : x2 = 144.
Racine carr�e (144) = 12 ; x = �12.
6. Un jean co�te 110 euros, il est d’abord sold� � 30 % puis il est de nouveau sold� � 20 %. Quel est le prix final ?
100-30 =70 ; premier coefficient multiplicateur : 0,70.
110 x0,70 =77.
100-20 = 80 ; second coefficient multiplicateur : 0,80.
77 x0,80 =61,6 €.
7. R�soudre dans R l'in�quation : 5t-6 > 2t+6.
5t-2t >6+6 ; 3t > 12 ; t >12 /3 ; t > 4.
8. Apr�s une augmentation de 20 %, un objet co�te 72 euros. Quel est son prix initial ?
100 +20 = 120 ; coefficient multiplicateur 1,20.
72 / 1,2 = 60 €.
9. A l'aide de la capture d'�cran ci-dessous, d�terminer le signe sur R de l'expression -2,25 -45,5 x.
Cette expression est nulle si x = -9 / 182.
Cette expression est n�gative si x > -9 / 182.
Cette expression est positive si x < -9 / 182.
10. Donner le tableau de signe sur R de l’expression − 7(𝑥 − 2)(−2𝑥 + 5).
Exercice
2.
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En 2017, les Fran�ais ont en moyenne produit 513 kg de d�chets m�nagers
par habitant. � [Source : le site internet Planetescope].
En 2017, le maire d’une commune obtient 530 kg de d�chets m�nagers en
moyenne par habitant. L’objectif du maire est de r�duire la production
de d�chets de 1,7 % par an pendant 5 ans, en esp�rant atteindre la
moyenne nationale de 2017.
On mod�lise la situation par la suite (d(n))o� d(n) repr�sente pour
tout entier naturel n la quantit� en kg de d�chets m�nagers moyenne
produite par habitant de cette ville durant l’ann�e 2017 + n.
1. Justifier que 𝑑(0) = 530 et que pour tout entier naturel n, on a :
d(n+1) = 0,983 x d(n).
La quantit� initiale de d�chets est de 530 kg par habitant.
100 -1,7 = 98,3 ; coefficient multiplicateur : 0,983.
2. Le tableur nous donne les premi�res valeurs de la suite et permet de les repr�senter graphiquement :
a. Quelle formule destin�e � �tre recopi�e vers le bas, peut-on saisir dans la cellule B3 pour obtenir les valeurs de la suite d ?
=B2*0,983
b. Quelle devrait
�tre � ce rythme-l�, la production en kilogramme de d�chets m�nagers
par habitant dans cette ville en 2022 ? La campagne de sensibilisation
du maire a-t-il permis au maire d’atteindre son objectif ?
2017
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2018
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2019
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2020
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2021
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2022
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530
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530 x0,983 ~521
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521 x0,983 ~512
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512 x0,983 ~503,4
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503,4 x0,983 ~494,9
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494,9 x0,983~486,5.
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486,5 < 513, l'objectif est atteint.
3. Le maire souhaite maintenant atteindre la moyenne europ�enne de 2017 qui �tait de 487 kg de d�chets m�nagers par habitant.
a. Recopier et
compl�ter l’algorithme ci-dessous permettant d’obtenir le rang de
l’ann�e � partir de laquelle l’objectif du maire sera atteint.
n=0
d = 530
while d > 487
n = n+1
d = 0,983*d
b. En quelle ann�e l’objectif du maire est-il atteint ?
Fin 2022 soit d�but 2023.
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Exercice 3 .
Durant une balade en for�t, un enfant se fabrique un arc et des fl�ches. Il s’int�resse � la trajectoire d’une de ses fl�ches.
L’enfant d�cide de tirer sa fl�che par-dessus un hangar d�saffect�.
La trajectoire est une portion de la courbe repr�sentative de la
fonction f situ�e dans le quart de plan rapport� au rep�re (O, I, J)
ci-dessous et
d�finie pour tout r�el x, par f(x) = −0,2(x − 5)2 + 6,5.
Une unit� graphique correspond � 1 m�tre dans la r�alit�.
1. a. De quelle hauteur, en m�tre, la fl�che est-elle tir�e ? Justifier la r�ponse.
f(0) = −0,2(0 − 5)2 + 6,5= -0,2(-5)2 +6,5 = -5+6,5 = 1,5 m.
b. Quelle hauteur maximale, en m�tre, atteint-elle ? Justifier la r�ponse.
f(5) =−0,2(5 − 5)2 + 6,5= 0+6,5 = 6,5 m.
2. On s’int�resse au pan du toit repr�sent� par le segment [AB], o� A(10 ; 2) et B(6 ; 5,6) dans le rep�re (O, I, J).
D�montrer qu’une �quation de la droite (AB) est y = − 0,9x + 11.
Equation de la droite : y = ax+b.
A(10 ; 2) appartient � la droite : 2 =10a +b.
B(6 ; 5,6) appartient � la droite : 5,6 = 6a +b.
Soustraire : 2-5,6 = 10a-6a ; -3,6 = 4 a ; a = -3,6 / 4 = -0,9.
Par suite b = 2-10a = 2-10(0,9) = 2+9=11.
y = -0,9x +11.
On appelle g la fonction affine d�finie sur R par g(x) = − 0,9 x + 11.
3. D�montrer que pour tout r�el x , f(x)-g(x) = − 0,2(x− 5)(x − 9,5).
−0,2(x − 5)2 + 6,5.-(-0,9x+11) =−0,2(x − 5)2 +0,9x+6,5-11=−0,2(x − 5)2 +0,9x -4,5.
−0,2(x − 5)2 +0,9(x-5) = (x-5)[-0,2(x-5)+0,9] =(x-5)(-0,2x+1+0,9) =(x+5)(-0,2x +1,9)
(x+5)(-0,2x +0,2 x9,5) = -0,2(x+5)(x-9,5).
4. Quelles sont les coordonn�es exactes du point d’impact sur le toit ?
(x+5)(x-9,5) = 0 avec x positif.
x-9,5 = 0 ; x = 9,5.
y = -0,9 x9,5 +11 =-8,55 +11 = 2,45.
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Exercice 4.
Une
usine d’horlogerie fabrique une s�rie de montres. Au cours de la
fabrication, il appara�t deux types de d�fauts, le d�faut m�canique A
et le d�faut esth�tique B.
Sur un lot de 200 montres, 2 % des montres fabriqu�es pr�sentent le
d�faut A, 10 % le d�faut B et 178 montres ne pr�sentent aucun des deux
d�fauts.
1. a. Combien de montres fabriqu�es pr�sentent le d�faut A ?
200 x 0,02 = 4.
b. Combien de montres fabriqu�es pr�sentent le d�faut B ?
200 x0,10 = 20.
c. Recopier et compl�ter sur votre copie le tableau crois� des effectifs suivant :
1. Compl�ter le tableau suivant :
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montre avec le d�faut A
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montre sans le d�faut A
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total
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montre avec le d�faut B
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2
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18
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20
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montre sans le d�faut B
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2
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178
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180
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total
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4
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196
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200
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2. a. Quelle est la fr�quence f des montres pr�sentant les deux d�fauts ?
2 / 200 = 0,01.
b. Parmi les montres pr�sentant le d�faut B, quel est le pourcentage de celles pr�sentant le d�faut A ?
2 / 20 = 0,10.
c. Le directeur de l’usine affirme : � Il y a plus de 90 % des montres qui ne pr�sentent aucun des deux d�fauts �. A-t-il raison ?
178 / 200 =0,89 < 0,90. L'affirmation est fausse.
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