Math�matiques.
E3C, contr�le continu premi�re technologique
02 / 2020.
Fonctions, d�riv�e, loi de probabilit�s.
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d’int�r�ts.
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Exercice 2.
On
consid�re la fonction f du second degr� d�finie sur R dont la
repr�sentation graphique est donn�e ci-dessous.
Par lecture graphique, r�pondre aux questions suivantes.
1. R�soudre dans R
f(x) = 0.
x = -1 ; x = 7.
2. Dresser le
tableau de signe de f(x).
3. Donner une
�quation de l'axe de sym�trie de la courbe repr�sentative de f(x).
x = 3.
4. Dresser le
tableau de variations de la fonction f.
5. R�soudre dans R
l'in�quation f(x) >
28.
x appartient � [0 ; 6 ].
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Exercice 3.
Soit la fonction g d�finie sur R par g(x) =x3-6x2+5.
On a trac� ci-dessous une partie de la repr�sentation graphique
de cette fonction ainsi que la tangente � cette courbe au point
d'abscisse x = 0.
1. D�terminer ghraphiquement le
nombre d�riv� de la fonction en x =0.
La tangente � la courbe est horizontale. Le coefficient directeur de la
tangente, donc le nombre d�riv�, est nul en x = 0.
2. D�terminer pour
tout r�el x, g'(x) ou g'(x) d�signe la fonction d�riv�e de la fonction
g.
fonction
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x3
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x2
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-6x2
|
5
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d�riv�e
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3x2
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2x
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-12x
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0
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g'(x) = 3x2-12x.
3. 4. On admet que
g'(x) = 3x(x-4).
Dresser le tableau de signe sur R de la fonction g'(x) et en d�duire le
tableau de variations de g(x).
5. On consid�re
l'algorithme suivant :
x = -1
while x3-6x2+5 > -10
x = x+0,01
Apr�s
ex�cution x = 1,92. Interpr�ter ce r�sultat.
D�s que x devient sup�rieur �1,92, la fonction g(x) est inf�rieure �
-10.
Exercice 4.
Dans une maternit�, on estime qu'� la naissance, la probabilit� qu'un
enfant soit une fille est �gale � 0,51. On choisit de mani�re
ind�pendante trois enfants n�s dans cette maternit�. On note X la
variable al�atoire qui prend pour valeur le nombre de filles parmi ces
trois enfants.
1. Repr�senter
l'exp�rience al�atoire � l'aide d'un arbre de probabilit�.
2. Calculer la
probabilit� qu'exactement deux enfants soient des filles.
P(X=2) =3 [ 0,51 x0,51 x0,49 ]~0,382.
3. D�crire
l'�v�nement X = 0 et calculer sa probabilit�.
Les trois enfants sont des gar�ons.
P(X=0) = 0,49 x0,49 x0,49 ~0,118.
4. Compl�ter le
tableau suivant donnant la loi de probabilit� de X.
x
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0
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1
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2
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3
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P(X
=x)
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0,118
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3x0,492
x0,51~0,367
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0,382
|
0,513
~0,133
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5. Calculer
l'esp�rance de cette variable al�atoire et interpr�ter.
0 x0,118 +1 x0,367 +2 x0,382 +3 x0,133 ~1,53.
Sur 3000 enfants n�s dans cette maternit�, en moyenne, 1530 sont des
filles.
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Exercice 5.
L'objectif de cet exercice est de trouver le maximum de la fonction r d�finie sur l'intervalle [200 ; 400 ] par r(x) = -0,01 x3 +4 x2.
1. On admet que la fonction r est d�rivable sur cet intervalle et on note r' sa d�riv�e.
Calculer r'(x) et montrer que r'(x) = x(-0,03 x +8).
Fonction
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x3
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-0,01 x3
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x2
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4x2
| r(x)
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D�riv�e
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3x2
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-0,03 x2
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2x
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8x
| -0,03x2 +8x
|
r'(x) = x(-0,03 x +8).
2.3. Donner le tableau de signe de la fonction r'(x) et en d�duire le tableau de variation de la fonction r.
4. Quel est le maximum de cette fonction ? En quelle valeur est-il atteint ?
5. Pour v�rifier la solution de l'�quation r'(x) = 0 sur l'intervalle [200 ; 400 ] on utilise l'algorithme suivant :
def(balayage(pas)
x = 200
while x*(-0,03x*x+8) >0 :
x = x+pas
return (x-pas, x)
Que renvoie l'instruction balayage(1) ?
800 / 3 ~266,7.
Balayage (1) renvoie ( 266 ; 267).
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