Math�matiques,
suite, probabilit�s, fonction, g�om�trie
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.
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d’int�r�ts.
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Exercice 1.
( 5 points ).
Une
ancienne l�gende raconte que le jeu d'�checs a �t� invent� par un vieux
sage. Son roi voulut le remercier en lui accordant n'importe quel
cadeau en r�compense. Le vieux sage demanda qu'on lui fournisse un peu
de riz pour ses vieux jours, et plus pr�cis�ment qu’on place :
un grain de riz sur la premi�re case du jeu qu'il venait d'inventer,
puis deux grains de riz sur la case suivante, puis quatre grains de riz
sur la troisi�me case, et ainsi de suite, en doublant le nombre de
grain de riz entre une case et la suivante, et ce jusqu'� la 64e case
(puisqu’un plateau de jeu d’�checs comporte 64 cases).
On note u1 le nombre de grains de riz pr�sents sur la
premi�re case, u2 le nombre de grains sur la deuxi�me case,
et ainsi de suite jusqu’� la 64e case.
1. D�terminer u1,
u2, u3, u4 et u5.
u1 = 1 ; u2 = 2 ; u3 = 22
=4 ; u4 = 23 = 8 ; u5 = 24
=16.
2. Exprimer, pour
tout entier naturel n non nul, un+1 en fonction de un.
un+1 =2 un.
3. En d�duire la nature de la suite
(un) et en pr�ciser les �l�ments caract�ristiques.
Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, un en fonction
de n.
Suite g�om�trique de premier terme 1 et de raison 2.
un = 2n-1.
4. Calculer le
nombre de grains de riz qui doivent �tre dispos�s sur le plateau pour
satisfaire � la demande du vieux sage.
Somme des 64 termes de la suite g�om�trique.
S = 264-1 / (2-1)~1,85 1019.
5. On veut �crire
une fonction en langage Python qui d�termine � partir de quelle case,
le vieux sage disposera
d’au moins R grains de riz. Une �bauche de cette fonction est donn�e.
Recopier et compl�ter cette fonction afin qu’elle renvoie le r�sultat
d�sir�.
def nb_case(R)
case =1
u=1
somme u
while somme < R
u = 2 xu
somme
= somme +u
case
= case +1
return case.
Exercice 2. 5
points.
Une urne contient six jetons rouges dont un est marqu� � gagnant � et
quatre jetons verts dont trois d’entre eux sont marqu�s � gagnant �.
On tire au hasard un jeton de l’urne et on note les �v�nements :
R : � le jeton tir� est rouge �,
V : � le jeton tir� est vert �,
G : � le jeton tir� est gagnant �.
1. Mod�liser la
situation � l’aide d’un arbre de probabilit�.
2. Calculer la
probabilit� de l’�v�nement � le jeton tir� est un jeton vert et marqu�
gagnant �.
0,4 x 0,75 =0,3.
3. Soit P(G) la
probabilit� de tirer un jeton gagnant. Montrer que P(G) = 0,4.
Formule des probabilit�s totales : 0,6 / 6 + 0,4 x0,75 =0,1 +0,3 = 0,4.
4. Sachant que le
jeton tir� est gagnant, calculer la probabilit� qu'il soit de couleur
rouge.
PG(R) = P(G n R) / P(G)=0,1 / 0,4 = 0,25.
5. On tire
maintenant, toujours au hasard et simultan�ment, deux jetons dans
l'urne. Calculer la probabilit� que les deux jetons soient marqu�s
gagnant.
Dans le cas de tirages successifs :
probabilit� de tirer un premier jeton gagnant 4 / 10 = 0,4= 2 /5
Probabilit� de tirer un second jeton gagnant : 3 / 9 = 1 /3.
Probabilit� de tirer deux jetons gagnants : 2 / 5 x1 /3 = 2 / 15.
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Exercice 3. ( 5
points)
On consid�re la fonction f d�finie sur R
par f(x) = x3 +7x2+11x-19. On note C sa courbe
repr�sentative dans un rep�re orthonorm� du plan.
1. D�terminer
l'expression de sa d�riv�e f '(x).
f '(x) = 3x2 +14x+11.
2. R�soudre dans R
l'in�quation 3x2 +14x +11 >0 et en d�duire le tableau de
variation de f.
Calcul du discriminant de 3x2 +14x +11 :
D = 142
-4 * 3*11 =64 ; racine carr�e du discriminant : 8.
Racines r�elles du polynome : x1 = (-14 +8) / 6 = -1 ; x2 = (-14 -8) /
6 = -11 /3.
Le coefficient principal du polynome �tant positif : a = 3.
Solutions de l'in�quation :
]-oo ; -11 /3[ union ]-1 ; +oo[.
Tableau de variation :
3. D�terminer l'�quation r�duite de
la tangente � C au point d'abscisse 0.
Equation r�duite de la tangente : y= ax +b avec a = f '(0) =11.
La tangente passe au point de coordonn�es (0 ; -19).
-19 =11 *0 +b ; b = -19.
y = 11x-19.
4. Justifier que 1
est solution de x3+7x2+11x-19=0. et v�rifier que
f(x)=(x-1)(x2+8x+19).
f(1)=1 +7+11-19 =0.
(x-1)(x2+8x+19) = x3+8x2+19x-x2-8x-19=x3+7x2+11x-19=f(x).
5. Etudier le signe de la fonction f
et en dresser le tableau de signes sur R.
Signe de
x-1 : x-1 =0 soit x =1. x-1 >0 si x > 1.
Signe
de : x2+8x+19.
Discriminant D = 82-4*19=
-12.
Le coefficient principal de ce polyn�me �tant positif et le
discriminant �tant n�gatif : x2+8x+19 > 0.
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Exercice4. ( 5 points)
Dans un rep�re
orthonorm� on consid�re les points A(3 ; 1), B(-3 ; 3) et C(2 ; 4).
1. Montrer que
l'�quation x+3y-6=0 est une �quation cart�sienne de la droite (AB).
Equation cart�sienne d'une droite : y=ax+b.
La droite passe par le point A :1 = 3a+b. (1)
La droite passe par le point B :3 = -3a+b. (2).
(1) +(2) donne : 4=2b soit b = 2. Par suite a = -1 /3.
y = -x/3 +2 soit x+3y-6=0.
2. D�terminer une
�quation cart�sienne de la droite d, perpendiculaire � la droite (AB)
et passant par C.
Droite (AB) : y = -x/3 +2 ; coefficient directeur -1/3.
Coefficient directeur de la droite d, perpendiculaire � (AB) : 3.
Equation de la droite d : y = 3x+b'.
C appartient � d : 4=3*2+b' ; b' = -2.
Par suite y = 3x-2 ou y-3x+2=0.
3. En d�duire les
coordonn�es du point K, projet� orthogonal du point C sur la droite
(AB).
K est l'intersection des droites d et (AB).
Droite (AB) : y = -x/3 +2 ; droite d :y = 3x-2.
3x-2 = -x / 3 +2 ;10x / 3 =4 ; x =1,2.
Par suite y =3*1,2-2 = 1,6
4. Calculer la
distance AB et d�terminer les coordonn�es du milieu M du segment [AB].
AB2=(xB-xA)2 +(yB-yA)2
=(-3-3)2 + (3-1)2 =36+4=40 ; AB = 40�
= 2 *10�.
Coordonn�es du point M : x =(xB+xA)/ 2 =0 ; y =(yB+yA)/
2 =2.
5. En d�duire une
�quation du cercle de diam�tre [AB].
Rayon du cercle R = 10�. Centre du cercle M(0 ; 2).
Equation du cercle :(x-0)2 +(y-2)2 = 10.
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