Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujets 1 et 2.
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e)
1. ABC est un triangle tel que AB = 5, AC = 6 et .
a) 15 x2�  vrai ; b) 15 x3� ; c) 7,5 ; d)15.
AB *AC * cos(45) = 5 x 6 x 2� / 2 = 15 x2�.

2. ABCD est un carr� de centre O tel que AB = 1.
a) 1 ; b) 0 ; c) -0,5 ; d) -1.


3. On consid�re deux vecteurs orthogonaux tels que :



4. On se place dans un rep�re orthonorm� du plan.
Sur la figure ci-dessous, on a trac� la courbe repr�sentative not�e 𝐶 d’une fonction 𝑓 d�finie sur ℝ. La droite 𝐷 est tangente � la courbe 𝐶 au point A(5;0).
On note 𝑓 ′ la d�riv�e de la fonction 𝑓. Alors 𝑓 ′(5) est �gal � :
a) 3 ; b) -3 ; c) 1 /3 ; d) -1/3.

f '(5) = coefficient directeur de la tangente � la courbe en x = 5 :  -2 / 6 = -1 / 3

5. Pour tout r�el 𝑥 de l’intervalle ]−∞;0], on a :
a) f '(x) < 0 ; b)  f '(x)  > 0 ; c) f(x) > 0  vrai ; d) f(x) < 0.

Sujet 2.
1. L'�quation e-2x > 0 a pour ensemble de solution.
 R, vrai. ; ]0 ; + oo[ ; ] -oo ; 0[ ; aucune solution.

2. Pour tout r�el x, (ex-1)2 est �gal � :
e2x-1 ; e2x+1 ; e2x-2ex+1 vrai ; exp(x)2 -1.

3. Soit la fonction f d�finie sur R par f(x) = e5x-1. Pour tout r�el x, f '(x) est �gale � :
e5x-1 : 5 e5x ; 5 e5x-1 vrai ; 5x e5x-1.

4. Dans un rep�re orthonorm�, la droite passant par A(4 ; 7) et de vecteur normal de coordonn�es (-1 ; 3) a pour �quation :
 . 3x+y-19 = 0 ; 3x+y+19 = 0 ; -x+3y +17 =0 ; -x+3y-17 =0 ; vrai
Une �quation cart�sienne est de la forme -x+3y +c = 0.
A appartient � la droite, donc :-4 +3 *7 +c =0 ; c = -17.

5. On consid�re l'�quation du cercle x2-4x+(y+3)2=3.
Son centre a pour coordonn�es : (-2 ; -3 ) ; (2 ; -3) vrai ; (-4 ; 3) ; (4 ; -3).
 x2-4x+4 -4 +(y+3)2=3 ; (x-2)2 +(y+3)2=7.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 1.

Une entreprise pharmaceutique fabrique un soin antipelliculaire. Elle peut produire entre 200 et 2 000 litres de produit par semaine. Le r�sultat, en dizaines de milliers d’euros, r�alis� pour la production et la vente de x centaines de litres est donn� par la fonction R d�finie par :
R(x)=(5x−30) e-0,25x, pour tout r�el x∈[2;20]
1) Calculer le r�sultat r�alis� par la fabrication et la vente de 7 centaines de litres de produit. On l’arrondira � l’euro pr�s.
x = 7 ; R(7) = (35-30)e-1,75 =0,8688697 dizaines de milliers d'euros = 8688,70 €..
2) V�rifier que pour la fabrication et la vente de 400 litres de produit, l’entreprise r�alise un r�sultat n�gatif (appel� d�ficit).
x = 4 ; R(4) = (20-30) e-1= -3,6788 dizaines de milliers d'euros.
3) R�soudre l’in�quation R(x) ≥ 0, d’inconnue x. Interpr�ter dans le contexte de l’exercice.
Le terme en exponentielle est toujours positif ; R(x) > 0 �quivaut � 5x-30 > 0 soit x > 6.
A partir de 600 litres fabriqu�s, on fait un b�n�fice.
4) On note R'′ la d�riv�e de la fonction R.
Un logiciel de calcul formel donne : R'(x)=(−1,25x+12,5)e-0,25x.
En d�duire la quantit� de produit que l’entreprise doit produire et vendre pour r�aliser le r�sultat maximal.
R'(x) =0 soit -1,25x +12,5 = 0 ; x = 10 soit 1000 litres.

Sujet 2.
Une cha�ne de salons de coiffure propose � ses clients qui viennent pour une coupe deux prestations suppl�mentaires cumulables :
— une coloration naturelle � base de plantes appel�e � couleur-soin �,
— des m�ches blondes pour donner du relief � la chevelure, appel�es � effet coup de soleil �.
Il appara�t que 40% des clients demandent une � couleur-soin �. Parmi ceux qui ne veulent pas de � couleur soin �, 30% des clients demandent un � effet coup de soleil �. Par ailleurs, 24% des clients demandent une � couleur soin � et un � effet coup de soleil �.
On interroge un client au hasard.
On notera C l’�v�nement � Le client souhaite une "couleur-soin." �.
On notera E l’�v�nement � Le client souhaite un "effet coup de soleil." �.
1. Donner les valeurs de P(C), P(C ∩E) et PC (E).
P(C) = 0,40 ; P(C ∩E) =0,24 ; PC (E) =P(C ∩E) / P(C) =0,24 / 0,4 =0,60.
2. Calculer la probabilit� que le client ne souhaite  ni une � couleur-soin �, ni un � effet coup de soleil �.
0,6 x0,7 = 0,42.
3. Montrer que la probabilit� de l’�v�nement E est �gale � 0,42.
Formule des probabilit�s totales.


4. Les �v�nements C et E sont-ils ind�pendants ?
P(C) x P(E) =0,40 x0,42 =0,168 diff�re de P(C ∩E) : les �v�nements C et E ne sont pas ind�pendants.

Exercice 3. ( 5 points).  Sujet 1.
Lors du lancement d’un hebdomadaire, 1 200 exemplaires ont �t� vendus.
Une �tude de march� pr�voit une progression des ventes de 2 % chaque semaine.
On mod�lise le nombre d’hebdomadaires vendus par une suite (un) o� un repr�sente le nombre de journaux vendus durant la n-i�me semaine apr�s le d�but de l’op�ration.
On a donc u0= 1 200.
1) Calculer le nombre u2. Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
u1 = 1,02 u0 = 1,02 x 1200 =1224.
u2 = 1,02 u1 = 1,02 x 1224 =1248 exemplaires vendus la seconde semaine..
2) �crire, pour tout entier naturel n, l’expression de un en fonction de n.

Suite g�om�trique de raison 1,02 et de premier terme 1200: un = 1200 x 1,02n.
3) Voici un programme r�dig� en langage Python :

Le programme retourne la valeur 20. Interpr�ter ce r�sultat dans le contexte de l’exercice.
Au bout de 20 semaines, le total des exemplaires vendus est sup�rieur � 30 000.
4) D�terminer le nombre total d’hebdomadaires vendus au bout d’un an.
1 an = 52 semaines.
S = u0 + u1 +u2 +...+u52
S = 1200 x (1-1,0253) / (1-1,02) =111 380.

Sujet 2
Partie A.
Soit (un) une suite g�om�trique de raison 2 de premier terme u0 = 0,2.
1. Calculer u18 puis u50.
u18=u0 x 218 =0,2 x218 =52 428,8.
u50=u0 x 250 =0,2 x250 =225 179 981 368524,8.
2. Calculer u0 +u1 +u2 +u3 +u4 +. . .+u18, c’est-�-dire la somme des 19 premiers termes de la suite (un).
u0 ( 1-219) / (1-2) =104 857,4.
3. Recopier et compl�ter les trois parties en pointill� de l’algorithme suivant permettant de d�terminer le plus petit entier n tel que la somme des n +1 premiers termes de la suite u
d�passe 100 000.


Partie B.
Claude a donn� 20 centimes d’euros (soit 0,20 €) � son petit-enfant Camille pour sa naissance.
Ensuite, Claude a doubl� le montant offert d’une ann�e sur l’autre pour chaque anniversaire jusqu’aux 18 ans de Camille.
La somme totale vers�e par Claude � Camille permet-elle de payer un appartement � Angers d’une valeur de 100 000 € ?
Oui car : u0 ( 1-219) / (1-2) =104 857,4.
 

Exercice4. ( 5 points) Sujet 1.
Une agence de voyage propose deux formules week-end pour se rendre � Londres au d�part de Nantes. Les clients choisissent leur moyen de transport : train ou avion.
De plus, s’ils le souhaitent, ils peuvent compl�ter leur formule par l’option � visites guid�es �.
Une �tude a produit les donn�es suivantes :
 40 % des clients optent pour l’avion ;
 parmi les clients ayant choisi le train, 50 % choisissent aussi l’option � visites guid�es � ;
 12 % des clients ont choisi � la fois l’avion et l’option � visites guid�es �.
On interroge au hasard un client de l’agence ayant souscrit � une formule week-end � Londres.
On consid�re les �v�nements suivants :
A : � le client a choisi l’avion � ;
V : � le client a choisi l’option � visites guid�es �.
1) D�terminer PA(V).
PA(V) =P(A n V) / P(A) = 0,12 / 0,4 =0,3.
2) D�montrer que la probabilit� pour que le client interrog� ait choisi l’option � visites guid�es � est �gale � 0,42.
Formule des probabilit�s totales :


3) Calculer la probabilit� pour que le client interrog� ait pris l’avion sachant qu’il n’a pas choisi l’option � visites guid�es �. Arrondir le r�sultat au centi�me.
P non V A =P(non V n A) / P(nonV) =0,6 x0,5 / (1-0,42) ~0,52.
4) On interroge au hasard deux clients de mani�re al�atoire et ind�pendante.
Quelle est la probabilit� qu’aucun des deux ne prennent l’option � visites guid�es � ?
P(non V n non V) = (1-0,42) x(1-0,42) = 0,58 x 0,58 =0,3364.
Sujet 2.
Sur le dessin ci-dessous, la largeur du but est de : AB = 7,32 m�tres.
Les points A, B et D sont align�s.
On appelle T le point o� se trouve un ballon. Le triangle TAD est rectangle en D.


  

menu