Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujets 3
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e)
1. On lance deux fois une pi�ce �quilibr�e, de mani�res identiques et ind�pendantes.
Si le joueur obtient 2 Faces, il perd 5 €, s’il obtient exactement une Face, il gagne 2 €, s’il
obtient 2 Piles il gagne 4€. On note G la variable al�atoire correspondant au gain alg�brique du joueur, en euros..
E(G) =0,75 vrai ; E(G) = 1 /3 ; E(G) = 1 ; R(G) = 0,25.
Probabilit� d'obtenir 2 Faces  = probabilit� d'obtenir 2 Piles = 0,5 x0,5 = 0,25.
Probabilit� d'obtenir une Face = 0,50.
E(G) = 0,25 x(-5) +0,50 x2 +0,25 x4 =0,75.

2. A et B sont 2 �v�nements et P(A) = 3 / 7, P(B) = 3 / 20  P( A u B) =4 / 7.
A et B sont ind�pendants ;
PA(B) =3 / 980 ;
P(A n B ) = 1 /140 ; vrai.
PA(B) = 1 /60.
P(A n B) =P(A) +P(B) -P(A u B) =3 / 7 +3 / 20 -4 / 7 = -1 / 7 +3 / 20 = -20 / 140 +21 / 140 = 1 / 140.
P(A n B) diff�re de P(A) x P(B), A et B ne sont pas ind�pendants.
PA(B) =P(A n B) / P(A) =  7 / (140 x3).

3. On donne l'arbre de probabilit� ci-dessous, ainsi que P(C) = 0,48.
 x = 0,6 ; x = 0,36 ; x = 0,45 vrai ; x = 0,48 / 0,12.



4. On a trac� la courbe repr�sentative Cf d’une fonction f dans un rep�re orthonorm�, ainsi que deux de ses tangentes, au point E d’abscisse 2 et au point G d’abscisse 4.
Les coordonn�es des points E, F, G, H plac�s dans le rep�re ci-contre peuvent �tre lues graphiquement, ce sont des entiers.
La tangente � Cf au point E est la droite (EF).
La tangente �  Cf au point G est la droite (GH).
On note f ′ la fonction d�riv�e de f.
f '(2) = 4 ; f '(4) = 3 ; f '(4) =3 ; f '(4) = -3 vrai.


5.On consid�re la fonction Python suivante :
def evolu (k) :
i= 200
n = 0
while i < k :
i= 1.2 ∗ i + 10
n = n+ 1
return n
𝑎) 𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢(500) = 4  ; 𝑏) 𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢(600) = 4  ; 𝑐) 𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢(300) = 3   ; 𝑑) 𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢(400) = 4. vrai
k
 600
n
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
i
 200
 250
 310
 382
 468,4
 472,08
 696,496
i < k
 vrai
 vrai
 faux
 vrai
 vrai
 faux
 faux
.
Sujet 4.
1. Dans un rep�re orthonorm�, on consid�re les points A(4; 2), B(2; 6). Une �quation cart�sienne de la m�diatrice du segment [AB] est :
x = 3 ; x-2y+5 =0  vrai ; x+2y-11 = 0 ; y = 0,5x +3.
Coordonn�es du milieu I de [AB] :(4+2) / 2 = 3 ; (2+6) / 2=4.
x = 3 : les coordonn�es de I ne v�rifient pas y = 4.
Les coordonn�es de I v�rifient x-2y+5 =0.
Les coordonn�es de I v�rifient x+2y-11 = 0.
Les coordonn�es de I ne v�rifient pas y = 0,5x +3.
Soit M(x ; y) de la m�diatrice : AM (x-4 ; y-2) ; MA2 =(x-4)2 +(y-2)2 = x2 -8x+16+y2 -4y +4.
BM (x-2 ; y-6) ; MB2 =(x-2)2 +(y-6)2 = x2 -4x+4+y2 -12y +36.
MA = MB donne : x2 -8x+16+y2 -4y +4 = x2 -4x+4+y2 -12y +36.
 -8x+16 -4y +4 = -4x+4 -12y +36.
-4x+8y-20 = 0 ; -x+2y-5=0 ou x-2y+5 =0

 2. On donne deux points P et N tels PN = 6.
L’ensemble des points M tels que est :
a. la droite (PN).
 b. le cercle de diam�tre [PN]. vrai.
c. un cercle de rayon 6
d. le milieu du segment [PN].


3. Soit g la fonction d�finie sur R par g (x)= x3 −4x +5.
Une �quation de la tangente � la courbe repr�sentative de g dans un rep�re orthonorm� au point d’abscisse −1 est :
y= 8x+7 ; y = -7x+1 ; y = -x+7 vrai ; x = -0,5.
g' =3x2-4 ; g'(-1) =-1 ( coefficient directeur de la tangente en x = -1).
Equation de la tangente : y = -x+b.
La tangente passe au point (-1 ; g(-1) =8 ) ; 8 =1+b ; b = 7.

4. l'axe de sym�trie de la parabole d'�quation y = x2+x+3 est :
y = x ; y = -0,5x+1 ; y = -0,5 ; x = -0,5 vrai.
x = -b /(2a) = -1 / (2*1)=-0,5.

5. l'in�quation -3ex+2 >-3e4 d’inconnue x, a pour ensemble de solutions :
]-2 ; +oo[ ; ]2 ; +oo[ ; ]-oo ; 2 [ vrai ; ]-oo ;-2[.
ex+2 < e4  ; x+2 < 4 ; x < 2.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 3.

Un artisan commence la pose d’un carrelage dans une grande pi�ce. Le carrelage choisi a une forme hexagonale.
L’artisan pose un premier carreau au centre de la pi�ce puis proc�de en �tapes successives de la fa�on suivante :
 � l’�tape 1, il entoure le carreau central, � l’aide de 6 carreaux et obtient une premi�re forme.
 � l’�tape 2 et aux �tapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme pr�c�demment construite.


On note un le nombre de carreaux ajout�s par l’artisan pour faire la n-i�me �tape (n ≥ 1).
Ainsi u1 = 6 et u2 = 12.
1. Quelle est la valeur de u3 ?
u3 = 18.
2. On admet que la suite (un ) est arithm�tique de raison 6. Exprimer un en fonction de n.
un = 6n.
3. Combien l’artisan a-t-il ajout� de carreaux pour faire l’�tape 5 ? Combien a-t-il alors pos� de carreaux au total lorsqu’il termine l’�tape 5 (en comptant le carreau central
initial) ?
u5 =30 ;1 + u1 +u2 +u3 +u4 +u5 =1 +6+12+18+24+30=91.
4. On pose Sn =  u1 +u2 +....+un . Montrer que Sn = 6(1 + 2 + 3 + ⋯ + n) puis que Sn = 3n2 + 3n.
Sn =6 +12 +...+6n = 6(1 +2 +...+n).
Somme des terme des n premiers termes d'une suite arithm�tique de raison 1 et de premier terme 1 : n(n+1) / 2.
Sn =6n(n+1) / 2 = 3n2 + 3n.
5. Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux pos�s par l’artisan depuis le d�but, lorsqu’il termine la n-i�me �tape, est donc  3n2 + 3n + 1.
� la fin de sa semaine, l’artisan termine la pose du carrelage en collant son 2977 e carreau. Combien a-t-il fait d’�tapes ?
2977 -1 = 2976 = 3n2 + 3n ; 3n2 + 3n-2976 = 0.
Discriminant : 9 +4*3*2976 =35721 ; n = (-3 +189) / 6 =31

Sujet 4.
Partie A :
(un) est une suite g�om�trique de premier terme u0 = 25000 et de raison 0,94.
(vn) est une suite d�finie par : vn = 50(104+25n) pour tout entier naturel n.
1. D�terminer une forme explicite de la suite (un).
un = u0  x0,94n = 25 000 x0,94n.
2. Calculer la somme des sept premiers termes de la suite (un).
S = u0(1-qn+1) / (1-q) =25 000 x(1-0,947) / (1-0,94)=146 4679,7.
3. Comparer les termes u0 et v0 puis u20 et v20.
v0 = 50 x104 =5200 ; v0 < u0.
u20 =25 000 x0,9420 = 7252,65 ; v20 =50x(104 +25 x 20) =30200 ; v20 > u20.
4. D�terminer le plus petit entier naturel n tel que un < vn.
u18 =25 000 x0,9418 ~ 8208 ; v18 =50x(104 +25 x 18) =27700 ;
u10 =25 000 x0,9410 ~ 13465 ; v10 =50x(104 +25 x 10) =17700 ;
u8 =25 000 x0,948 ~ 15239 ; v8 =50x(104 +25 x 8) =15200 ;
u9 =25 000 x0,949 ~ 14325 ; v9 =50x(104 +25 x 9) =16450. R�ponse n = 9.

Partie B :
Un concessionnaire de voitures propose des voitures �quip�es d’un moteur diesel ou d’un moteur essence.
Durant sa premi�re ann�e d’existence en 1995, il a vendu 25 000 v�hicules avec un moteur diesel et 5 200 v�hicules avec un moteur essence.
Ses ventes de voitures avec un moteur diesel ont diminu� de 6% chaque ann�e, alors que ses ventes de voitures avec un moteur essence ont augment� de 1 250 unit�s tous les ans.
En quelle ann�e les ventes de voitures avec un moteur essence ont elles d�pass� les ventes de voitures avec un moteur diesel ?
Diesel : suite g�om�trique de raison 0,94 et de premier terme 25 000 ; un = 25 000 x0,94n.
Essence : suite arithm�tique de raison 1250 et de premier terme 5200 ; vn = 5200 +1250 n.
D'apr�s la partie A, n = 9 ; 1995 +9 = 2004.

Exercice 3. ( 5 points).  Sujet 3.

Un propri�taire souhaite construire un enclos rectangulaire sur son terrain.
Celui-ci est repr�sent� ci-dessous dans un rep�re orthonorm�, d’unit� le m�tre. Il est d�limit� par l’axe des abscisses, l’axe des ordonn�es, la droite d’�quation x=5 et la courbe C f repr�sentative de la fonction f d�finie sur [0 ; 5] par f(x)=4e-0,5x.


L’enclos est repr�sent� par le rectangle OABC o� O est l’origine du rep�re et B un point de C f, A et C �tant respectivement sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonn�es. On note x l’abscisse du point A et D le point de coordonn�es (5 ; 0). Le but de l’exercice est de d�terminer la position du point A sur le segment [OD] permettant d’obtenir un enclos de superficie maximale.
1. Justifier que la superficie de l’enclos, en m2, est donn�e en fonction de x par g(x)=4x e-0,5x pour x dans l’intervalle [0 ;5].
Largeur du rectangle : f(x)  ; longueur : x ; aire de l'enclos : x f(x) = 4x e-0,5x .
2. La fonction g est d�rivable sur [0 ;5]. Montrer que, pour tout r�el x de l’intervalle [0 ; 5], on a g'(x)=(4−2x)e-0,5x.
On pose u = 4x et v = e-0,5x  ; u' = 4 ; v' = -0,5e-0,5x ; u'v+v'u = 4e-0,5x -2xe-0,5x =(4−2x)e-0,5x.
3. En d�duire le tableau de variations de la fonction g sur [0 ; 5].
Le terme en exponentielle est positif ; le signe de g'(x) est celui de 4-2x.


4. O� doit-on placer le point A sur [OD] pour obtenir une superficie d’enclos maximale ? Donner la superficie maximale possible en arrondissant le r�sultat au dm2.
OA = 2 m  ; surface maxi : 2,94 m2 = 294 dm2.

Sujet 4.

On dispose d’un paquet de cartes contenant un nombre identique de cartes de la cat�gorie �Sciences � et de la cat�gorie ��conomie �.Une question li�e � un de ces deux th�mes figure sur chaque carte. Les cartes sont m�lang�es et on en tire une au hasard dans le paquet. Ensuite, on essaye de r�pondre � la question pos�e.
Un groupe de copains participe � ce jeu. Connaissant leurs points forts et leurs faiblesses, on estime qu’il a :
• 3 chances sur 4 de donner la bonne r�ponse lorsqu’il est interrog� en sciences ;
• 1 chance sur 8 de donner la bonne r�ponse lorsqu’il est interrog� en �conomie.
On note S l’�v�nement � La question est dans la cat�gorie Sciences � et B l’�v�nement � La r�ponse donn�e par le groupe est bonne �.
Partie A :
1. Calculer P(B n S).
P(B n S) = 0,5 x0,75 = 0,375.
2. D�terminer la probabilit� que le groupe de copains r�ponde correctement � la question pos�e.

3. Les �v�nements S et B sont-ils ind�pendants ?
P(S) = 0,5 ; P(B) = 0,4375 ; P(S) x P(B) = 0,21875 diff�re de P(B n S).
Les �v�nements S et B ne sont pas ind�pendants.

Partie B :
Pour participer � ce jeu, on doit payer 5 € de droit d’inscription. On recevra :
• 10 € si on est interrog� en sciences et que la r�ponse est correcte;
• 30 € si on est interrog� en �conomie et que la r�ponse est correcte;
• rien si la r�ponse donn�e est fausse.
Soit X la variable al�atoire qui, � chaque partie jou�e, associe son gain. On appelle gain la diff�rence en euros entre ce qui est re�u et les 5€ de droit d’inscription.
1. D�terminer la loi de probabilit� de X.
P(X =5)=0,375 ; P(X = 25) =0,0625 ; P(X = -5) =1-0,4375 =0,5625.
Gain moyen : E(X) =5 x0,375 +25 x0,0625 -5 x0,5625 =0,625.

2. Que retourne la fonction Jeu �crite ci-dessous en langage Python avec les listes :
L =[-5; 5; 25] et G = [0,5625; 0,375; 0,0625] ?
def Jeu ( L, G) :
n = len(L)
E=0
for i in range(n)
E = E+L[i]*G[i]
returne(E).
Ce programme calcul le gain moyen.

Exercice4. ( 5 points) Sujet 3.

Le logo d’une entreprise est constitu� d’un carr�, d’un cercle et d’un triangle.
Il a �t� repr�sent� ci-dessous dans un rep�re orthonorm� .
On donne les coordonn�es des sommets du carr� :
A(−3 ; 3) ,B(3 ; 3) ,C(3 ; −3) ,D(−3 ; −3).
On consid�re le point E(−2 ;3+√5).
On admettra que E est situ� sur le cercle de diam�tre [AB].
On note I le milieu de [AB].

1. Donner une �quation cart�sienne de la droite (BD) et une �quation du cercle de diam�tre [AB].
La droite (BD) passe par l'origine: son �quation est de la forme y = ax.
B(3 ; 3) appartient � la droite : 3 = 3a ; a = 1 ; y = x.
Centre du cercle (0 ; 3) de rayon R=3.
Equation du cercle : x2+(y-3)2 = 9.
2. Montrer que la hauteur du triangle BDE issue de E admet pour �quation cart�sienne x+y−(1+√5)=0.
Coefficient directeur de la droite (EH), perpendiculaire � la droite (BD) : -1.
Equation de cette droite : y = x+b.
E appartient � cette droite : 3+√5 = -1 *(-2) +b ; b = 1+√5. ; y = -x +1+√5.
3. D�terminer les coordonn�es du projet� orthogonal H du point E sur la droite (BD).
H appartient � BD : xH = yH.
2xH −(1+√5)=0 ; xH = yH =(1+√5) / 2.
4. Calculer l’aire du triangle BDE (en unit�s d’aire).
BD * EH / 2.
BD = diagonale du carr� de c�t� 6 cm ; BD = 6 √2.
EH : [(0,5+0,5√5+2)2 +(0,5+0,5√5-3-√5)2]� =[ (2,5+0,5√5)2 +(-2,5-0,5√5)2]�=[ 2(2,5+0,5√5)2 ]�.
[ 2(6,25 +1,25+2,5√5) ]� =[ 15 +5√5) ]� .
Aire : 3 √2 [ 15 +5√5) ]� .
5. .
Sujet 4.
On souhaite fabriquer des bo�tes de rangement sans couvercle.
Les bo�tes auront la forme d’un parall�l�pip�de rectangle de hauteur 16 cm et de base un rectangle ayant pour dimensions x et y exprim�es en cm.
Chaque bo�te a un volume de 10 000 cm3.
1. Calculer y lorsque x = 20 cm.
10 000 = 16 x y = 16*20y ; y = 10 000 / 320 =31,25 cm.
2. Pour toute valeur de x > 0, on note f (x) l’aire du parall�l�pip�de rectangle.
D�montrer que : pour tout x > 0, f (x) =20000 / x +32x +625
fond : xy ; aire lat�rale : 2*16(x+y) ; aire totale : f(x) =xy+32x+32y.
De plus xy = 10 000 /16 = 625 ; y = 625 / x.
f(x) = 625 +32x +32*625 /x = 625 +32x+20 000 / x.
3. Quelles dimensions doit-on donner � ces bo�tes pour que leur surface ait une aire minimale ?
f '(x) = -20 000 /x2+32 ; la d�riv�e s'annule pour x2 = 20 000 /32 ; x =25.
f '(x) est n�gative pour x < 25 et positive pour x > 25.
f(x) pr�sente un minimum pour x = 25 ; y = 625 / 25 =25.
Le fond est un carr� de c�t� 25 cm. 


  

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