Math�matiques,
QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.
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Sujets 5
Exercice 1.
( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e)
1. Question 1
Soit f la fonction d�finie sur R par f (x) = sin(x)−x. Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
f est paire ; f est impaire vrai ; pour tout r�el x, f(x+2p) = f(x) ; pour tout r�el x, f(x+p) = -f(x).
f(-x) = sin(-x) -(-x) = - sin(x) +x = - [ sin(x) - x] = -f(x).
2. Dans l’intervalle ]−π ; π], l’�quation 2cos(x)−3� =0 a pour solutions :
�p/6 vrai; �p/4 ; �p/3 ; �2p/3.
cos(x) = 3� / 2 = cos (p/6) ; x = �p/6.
3. Soit ABCD un parall�logramme tel que :
R�ponse d.
4. Le plan est muni d’un rep�re orthonorm�
On consid�re la droite (d1) d’�quation 3x −4y +1 = 0. La droite (d2) perpendiculaire � (d1) et passant par le point A(1; 1) a pour �quation :
a. 4x +3y = 0 ; b. 4x +3y −7 = 0 vrai ; c. x + y −2 = 0 ; d. −4x +3y +1 = 0.
(d1) : y = 0,75 x +0,25 ; coefficient directeur de (d2) : -4/3.
Equation de (d2) : y = -4 / 3 x +b.
A appartient � (d2) : 1 = -4 /3 +b ; b = 7 /3.
y = -4 /3x +7/3 ou 3y =-4x +7 ou 3y +4x-7 =0.
5. Le plan est muni d’un rep�re orthonorm� d’�quations respectives 2x − y +5 = 0 et −4x +2y +7 = 0 sont :
a. confondues ; b. s�cantes ; c. parall�les vrai ; d. perpendiculaires.
y = 2x+5 ; coefficient directeur 2 ; y = 2x-3,5 ; coefficient directeur 2.
.
Sujet 6.
1.
Un vecteur normal � la droite d’�quation cart�sienne 2x−5y+3 = 0 a pour coordonn�es :
(-5 ; 2) ; (2 ; 5) ; (5 ; 2) ; (-2 ; 5).
y =0,4 x +0,6 coefficient directeur : 0,4.
Coefficient directeur de la droite perpendiculaire -1 /0,4 = -5 /2 = -2,5.
Coordonn�es de ce vecteur ( 1 ; -2,5) ou ( 2 ; -5).
2. Le centre A du cercle d’�quation x2 + y2 +6x −8y = 0 est :
A(3 ; 4) ; A(-3 ; 4) vrai ; A(-4 ; 3) ; A(4 ; 3).
x2 +6x +9-9 + y2−8y +16-16 = 0 ;
(x+3)2-9 +(y-4)2-16=0 ; (x+3)2 +(y-4)2=25.
3. On consid�re un triangle ABC tel que AB = 3, BC = 5 et AC = 6, on a alors :
R�ponse b.
4. Le nombre r�el -3p /4 est associ� au m�me point du cercle trigonom�trique que le r�el :
-3p /4 � 2p soit -3p /4 � 8p / 4 soit -11 p/4 ou 5p/4.
-3p /4 � 4p soit -3p /4 � 16p / 4 soit -19 p/4 ou 13p/4. R�ponse c.
5. La fonction g d�finie sur R par g (x)= (4x −7)3 a pour fonction d�riv�e :
On pose u = 4x-7 ; u' = 4 ; g'(x) =3u2u' =3(4x-7)2*4=12(4x-7)2. R�ponse d.
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Exercice 2. ( 5
points) Sujet 5.
Dans tout l’exercice, les r�sultats seront arrondis, si n�cessaire, au dixmilli�me.
On �tudie un test de d�pistage pour une certaine maladie dans une population donn�e. On sait que 1% de la population est atteint de la maladie. Des �tudes ont montr� que si une personne est malade, alors le test se r�v�le positif dans 97% des cas et si une personne n’est pas malade, le test est n�gatif dans 98% des cas.
Pour une personne � qui on fait passer le test de d�pistage on associe les �v�nements :
• M : la personne est malade,
• T : le test est positif.
1. Recopier et compl�ter sur la copie l’arbre de probabilit� suivant en utilisant les donn�es de l’exercice.
2. Justifier que P(non M n T) =0,0198
3. Montrer que P(T ) = 0,0295.
4. Calculer PT (M).
PT(M) = P(M n T) / P(T) =0,0097 / 0,0295 =0,3288.
5. Une personne dont le test se r�v�le positif est-elle n�cessairement atteinte par cette maladie ?
Non, parmi les personnes non malades, on trouve 1,98 % de tests positifs.
Sujet 6.
Un mod�le de t�l�phone portable d’une grande entreprise est produit par deux sous- traitants A et B.
Chez le sous-traitant A, qui assure 40% de la production totale, 4% des t�l�phones sont d�fectueux.
Le sous-traitant B assure le reste de la production.
On constate que la probabilit� qu’un t�l�phone pris au hasard dans les stocks de l’entreprise soit d�fectueux est de 0,034.
1. Quel pourcentage de la production totale le sous-traitant B assure-t-il ?
2. Quelle est la probabilit� qu’un t�l�phone provienne du sous-traitant B sachant qu’il est
d�fectueux? On arrondira le r�sultat � 10−3 pr�s.
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Exercice 3. ( 5
points). Sujet 5.
On s’int�resse � la consommation d’essence d’un v�hicule en fonction de sa vitesse.
Lecture graphique.
Le graphique ci-dessous repr�sente la consommation d’essence en litres pour 100 km en fonction de la vitesse en km.h−1 du v�hicule.
Avec la pr�cision permise par le graphique, r�pondre aux questions suivantes :
1. Quelle est la consommation du v�hicule lorsque celui-ci roule � 40 km.h−1 ?
2. Pour quelle(s) vitesse(s) le v�hicule consomme-t-il 8 litres pour 100 km?
3. Pour quelle vitesse la consommation du v�hicule semble-t-elle minimale ?
Mod�lisation
Si on note x la vitesse du v�hicule en km.h−1, avec 30 < x <130, la consommation d’essence en litres pour 100 kmest mod�lis�e par la fonction f d’expression :
f (x) = (20x2−1600x +40000) / x2 .
On d�signe par f ′ la fonction d�riv�e de la fonction f sur l’intervalle [30; 130].
4. Montrer que pour tout x ∈ [30 ; 130], f ′(x) = 800(2x −100) / x3.
On pose u = 20x2−1600x +40000 et v = x2 ; u' =40x -1600 ; v' =2x.
(u'v-v'u) / v2 =[(40x-1600) x2-2x(20x2−1600x +40000)] /x4=[(40x-1600) x-2(20x2−1600x +40000)] /x3=(1600x -80 000) / x3 =800(2x −100) / x3.
5. D�montrer la conjoncture de la question 3.
La d�riv�e s'annule pour x = 50. Elle est n�gative pour x < 50 et positive pour x > 50.
f est d�croissante pour x < 50 et croissante pour x > 50.
Sujet 6.
Soit la suite (un) de premier terme u0 = 400 v�rifiant la relation, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,9un +60.
Soit la suite g�om�trique (vn) de premier terme v0 = −200 et de raison 0,9.
1. Calculer u2 et v2.
u1=0,9 x400 +60 =420 ; u2=0,9 x420 +60 =438 ;
v1 = -200 x0,9 =-180 ; v2 = -180 x0,9 =-162 .
2. Calculer la somme des 20 premiers termes de la suite (vn).
v0(1-qn+1) / (1-q)= -200(1-0,920) /0,1 = -1756,84.
3. La suite (un) est-elle arithm�tique? La suite (un) est-elle g�om�trique ?
Dans l'hypoth�se d'une suite arithm�tique : un+1 = un +constante.
Dans l'hypoth�se d'une suite g�om�trique : un+1 = un fois une constante.
La suite (un) n'est ni arithm�rtique, ni g�om�trique.
4. Recopier et compl�ter
la fonction Suite suivante �crite en Python qui permet de calculer la
somme S des 20 premiers termes de la suite (un).
def Suite ( ) :
U = 400
S = 0
for i in range (20)
S = S+U
U = 0,9 U +60
return (S)
5. On admet que un = vn +600. En d�duire u20.
v20 = -200 x0,920= -0,3594
u20 = -0,3594 +600 = 599,64.
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Exercice4. ( 5 points) Sujet 5. On consid�re la suite (un) d�finie pour tout entier naturel n, par un =(n +2) / (n +1).
1. Calculer u0, u1,u2 puis u99.
u0 =2 ; u1 =1,5 ; u2 = 4 / 3 ; u99 = 1,01.
2. a. Exprimer, pour tout entier naturel n, un −1 en fonction de n.
un-1 =(n-1 +2) / (n-1 +1) =(n+1) / n.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
un+1 −un = −1 / [(n +1)(n +2)].
un+1 −un = (n+3) / (n+2) -(n +2) / (n +1) = [(n+3)(n+1)-(n+2)2] / (n+1)(n+2)= -1 / / [(n +1)(n +2)]..
c. En d�duire le sens de variation de la suite (un).
Le d�nominateur est positif et le d�nominateur est n�gatif : un+1 −un < 0 ; un+1 < un.
La suite est d�croissante.
3. Soit a un nombre r�el dans l’intervalle ]1 ; 2].
Recopier et compl�ter sur la copie le programme Python suivant pour
qu’il permette de d�terminer le plus petit entier naturel n tel que un < a, o� a est un nombre de l’intervalle
]1; 2].
Def sruil (a)
n=0
while (n+2) / (n+1) > a :
n = n+1
return
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Sujet 6.
On consid�re un c�ne de r�volution ayant une g�n�ratrice de longueur 20 cm et d’une hauteur h en cm.
On rappelle que le volume V en cm3 d’un c�ne de r�volution de base un disque d’aire A en cm2
et de hauteur h en cm est : V =1 /3 Ah
Dans cet exercice, on cherche la valeur de la hauteur h qui rend le volume du c�ne maximum.
1. Exprimer le rayon de la base en fonction de h.
202 = h2 +R2 ; R =(400-h2)�.
2. D�montrer que le volume du c�ne, en fonction de sa hauteur h, est :
V (h) =p /3(400h-h3)
A = p R2 =p(400-h2) ; V = 1 /3 Ah =p /3(400h-h3).
3. Quelle hauteur h choisir pour que le volume du c�ne soit maximum ?
D�river V par rapport � h ; V ' = p /3(400-3h2).
V' = 0 pour h2 = 400 / 3 soit h ~11,547 cm
Si h < 11,547, V ' >0 et V fonction croissante.
Si h > 11,547, V ' < 0 et V fonction d�croissante.
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