Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujets 7
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e)
1. Question 1
On consid�re les points E(3 ; −4) et F(7; 2). La droite (EF) passe par le point :
a. A(O; 8) ; b. B(5,5; 0) ;  c. C(13; 11) vrai  ;  d. D(−25 ; 45).
Equation de la droite (EF) : y = ax +b.
E appartient � cette droite : -4 = 3a+b. (1)
F appartient � cette droite : 2 = 7a+b.(2).
(2)-(1) donne : 6=4a ; a = 6 /4 =1,5.
Par suit b = -4-3x1,5=-8,5
y = 1,5 x -8,5.
Les coordonn�es du point C v�rifient cette �quation.
2. On consid�re la droite D qui a pour �quation r�duite y = −2x +4.
Parmi les vecteurs suivants, d�terminer celui qui est un vecteur normal de la droite D :
Equation cart�sienne de la droite : 2x+y-4=0
Coordonn�es d'un vecteur normal de la droite D : (2 ; 1). R�ponse a.
3. Soit ABCD un carr� de c�t� 6 et I le milieu de [BC]. Alors le produit scalaire suivant vaut :

R�ponse b.

4. Sur le cercle trigonom�trique ci-dessous, le nombre 14 p /3 a pour image le point :
14 p / 3 = 12 p/3 + 2p /3 = 2 x 2 p +2p/3.


5. Soit le r�el x appartenant � l’intervalle [ �p ; p] tel que sin x = 0,8. Alors  cos x vaut :
cos2x + sin2x = 1 ; cos x = (1-0,82)� = �0,6.
x appartient � [ �p ; p], donc cos x = -0,6. R�ponse b.
.
Sujet 8.
1. r�ponse a.

2. Soit la suite d�finie par : u0 = 2 et un+1 = 3un-2.
u1 =3*2-2 = 4 ; u2 =3*4-2 = 10 ; u3 =3*10-2 = 28 ; r�ponse c.

3. Dans un atelier 3% des pi�ces produites sont d�fectueuses. On constate qu’au cours du contr�le qualit�, si la pi�ce est bonne, elle est accept�e dans 95% des cas, et que si elle est d�fectueuse, elle est refus�e dans 98% des cas.
La probabilit� qu’une pi�ce soit refus�e est �gale � :
0,0779 vrai ; 0,0294 ; 0,0485 ; 0,98.
Probabilit� qu'une pi�ce soit refus�e : 0,97 x 0,05 +0,03 x0,98 =0,0485 +0,0294=0,0779.

4. Sachant que cos x =5 / 13 et que x est compris entre −p/2 et 0, la valeur de sinx est :
8/13 ; -8/13 ; 12/13 ; -12 /13. vrai.
cos2 x +sin2x = 1 ; sin2 x = 1-25 /169 =(169-25) / 169 =144 / 169 ; sin x = � 12 / 13.
x est compris entre −p/2 et 0, donc sin x = -12 / 13.

5. La loi de probabilit� d’une variable al�atoire X est donn�e par le tableau ci-dessous :
valeurs de xi
 -2
 0
 5
pi = P(X = xi)
 0,3
 0,5
 0,2

L’esp�rance E(X) de la variable al�atoire X est �gale � : 3
 E(x) = -2 x 0,3 +0 x 0,5 +5 x 0,2 = -0,6 +1 = 0,4. R�ponse c.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 7.

Un magasin de t�l�phonie mobile lance une offre sur ses smartphones de la marque Pomme vendus � 800 € : il propose une assurance compl�mentaire pour 50 € ainsi qu’une coque � 20 €. Ce magasin a fait les constatations suivantes concernant les acheteurs de ce smartphone :
• 40% des acheteurs ont souscrit � l’assurance compl�mentaire.
• Parmi les acheteurs qui ont souscrit � l’assurance compl�mentaire, 20% ont achet� en plus la coque.
• Parmi les acheteurs qui n’ont pas souscrit � l’assurance compl�mentaire, deux sur trois n’ont pas achet� la coque.
On interroge au hasard un client de ce magasin ayant achet� un smartphone de la marque Pomme.
On consid�re les �v�nements suivants :
• A : � le client a souscrit � l’assurance compl�mentaire � ;
• C : � le client a achet� la coque �.
1. Calculer la probabilit� que le client ait souscrit � l’assurance compl�mentaire et ait achet� la coque.
P(A n C) =0,2 x0,4 = 0,08.
2. Montrer que P(C) = 0,28.

3. Le client interrog� a achet� la coque.
Quelle est la probabilit� qu’il n’ait pas souscrit � l’assurance compl�mentaire ?
PC non A =P (C n non A) / P(C) =0,2 / 0,28 =0,714.
4. D�terminer la d�pense moyenne d’un client de ce magasin ayant achet� un smartphone de la marque Pomme.
On pourra noter X la variable al�atoire qui repr�sente la d�pense en euros d’un client de ce magasin ayant achet� un smartphone de la marque Pomme.
P(X =800+ 50+20) =P(X = 870) = 0,08.
P(X = 850) =0,4 x0,8 = 0,32.
P(X =820) = 0,2.
P(X =800)=0,6 x 2 /3 =0,4.
D�pense moyenne : 820 x 0,2 +850 x 0,32 + 870 x 0,08 +800 x0,4=4 +16 +5,6 =825,6 €.

Sujet 8.

En 2019, le nombre d’abonn�s � une page de r�seau social d’un musicien �tait de 6 000.
On suppose que chaque ann�e, il obtient 750 abonn�s suppl�mentaires.
On d�signe par un le nombre d’abonn�s en 2019+n pour tout entier naturel n.
1.  Calculer le nombre d’abonn�s en 2020 et 2021.
6750 en 2020 et 7500 en 2021.
2. Exprimer un+1 en fonction de un.
un+1 = un + 750.
3. Quelle est la nature de la suite (un) ?
C'est une suite arithm�tique de raison 750 et de premier terme 6000.
4. En d�duire une expression de un en fonction de n.
un = 6000 +750n.
5. En quelle ann�e le nombre d’abonn�s aura tripl� par rapport � l’ann�e 2019 ?
un = 18000 =6000 +750n ; 12000 = 750 n ; n =16 ( ann�e 2019 +16 = 2035).

Exercice 3. ( 5 points).  Sujet 7.

On consid�re les deux suites suivantes :
• la suite (un) d�finie pour tout entier n par : un =(8n −4) / (n +1)
• la suite (vn) d�finie par v0 = 0 et vn+1 = 0,5vn +3,5 pour tout entier n.
1. Calculer les termes d’indice 3 des suites (un) et (vn).
u3 =(8*3-4) /(3+1) =0 / 4 = 5.
v1 =0,5v0 +3,5 =0,5 *0+3,5 = 3,5.
v2 =0,5v1 +3,5 =0,5 *3,5 +3,5 = 5,25.
v3 =0,5v2 +3,5 =0,5 *5,25 +3,5 = 6,125.
2. On s’int�resse aux variations de la suite (un). Pour cela, on consid�re la fonction f d�finie sur [0 ; +∞[ par :
f (x) =(8x −4) / (x +1).
a. D�montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; +∞[.
Calcul de la d�riv�e f ' en posant u = 8x-4 et v = x+1 ; u' =8 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =[8(x+1) -(8x-4] /(x+1)2 =12 /(x+1)2.
La d�riv�e �tant positive, la fonction est strictement croissante.
b. En d�duire la monotonie de la suite (un).
La fonction f �tant strictement croissante, la suite (un) est monotone.
3. On consid�re l’affirmation suivante :
� pour tout entier n, un < vn �.
Camille pense que cette affirmation est vraie alors que Dominique pense le contraire.
Pour les d�partager, on r�alise le programme suivant �crit en langage Python :
def algo( n= 0 :
u=-4
v= 0
while u < v
n = n+1
u = (8*n - 4)/(n + 1)
v = 0,5*v + 3,5
return(n)
Le programme renvoie la valeur 11. Qui de Camille ou Dominique a raison ? Expliquer.
D'apr�s ce programme, un < vn tant que n est inf�rieur � 11. Si n est sup�rieur � 11, alors un > vn . Dominique a raison.

Sujet 8.

Un m�dicament contre la douleur est administr� par voie orale. La concentration du produit actif dans le sang, en milligramme par litre de sang, est mod�lis� par la fonction f qui, au temps �coul�
x en heure, x �tant compris entre 0 et 6, associe :
f (x) = x3 −12x2 +36x o� x appartient � [0 ; 6].
Le produit actif est efficace si sa concentration dans le sang est sup�rieure ou �gale � 5 mg/L.
1. En ex�cutant le script Python ci-dessous, on obtient la liste [0, 1, 1, 1, 1, 1, 0].
1 liste=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
2 for x i range(0,7) :
3 if x**3-12*x**2+36*x>=5:
4 liste[x]= 1
5 print(liste)
� l’aide de ce r�sultat, indiquer l’intervalle de temps en unit� d’heures sur lequel le m�dicament est efficace.
Le m�dicament est efficace entre 1 heure et 5 heures apr�s la prise.
2. On admet que la fonction f est d�rivable sur l’intervalle [0; 6], calculer sa fonction d�riv�e.
f '(x) = 3x2 -24x +36.
3. Justifier que la tangente T � la courbe repr�sentative de la fonction f au point A d’abscisse 4 admet pour �quation r�duite y = −12x +64.
Coefficient directeur de la tangente = f '(4) =3*16 -24*4+36= -12.
Ordonn�e du point A : f(4) =43-12 *16 +36*4 =16.
Les coordonn�es de A v�rifient l'�quation de la tangente : 16 = -12 *4 +b ; b = 64.
y = 12x +64.
4. D�montrer que f (x)−(−12x +64) = (x −4)3.
(x-4)(x-4)2 =(x-4)(x2-8x+16) =x3-8x2+16x-4x2+32x-64 =x3-12x2+48x-64.
f (x)−(−12x +64) =x3 −12x2 +36x +12x-64=x3-12x2+48x-64.
5. En d�duire la position relative de la courbe repr�sentative de la fonction  par rapport � la tangente T au point A.
f (x)−(−12x +64) =(x −4)3 est n�gatif si x < 4 et positif si x > 4.
T est au dessus de la courbe reprentative de f si x < 4 et en dessous si x > 4.

Exercice4. ( 5 points) Sujet 7.

Le plan est muni d’un rep�re orthonorm�. La courbe repr�sentative C d’une fonction f d�finie sur R est donn�e ci-dessous :

1. Par lecture graphique, r�soudre l’�quation f (x) = 0 d’inconnue x.
x = -2 et x = 3.
2. On donne f ′(x) = −x +0,5 pour tout r�el x.
D�terminer qu’une �quation de la tangente T � la courbe C au point d’abscisse −1 est y = 1,5x +3,5.
Equation de la tangente T = y = ax+b avec a = f '(-1) =-(-1)+0,5= 1,5.
Les coordonn�es du point C (-1 ; 2) v�rifient l'�quation de T : 2 =1,5 *(-1) +b ; b = 3,5.
y = 1,5 x +3,5.
3. On consid�re le point E de coordonn�es (1; 5).
Dans cette question, on cherche � d�terminer les points de la courbe C en lesquels la tangente passe par le point E.
a. Montrer que le point E appartient � la tangente T .
5 =1,5 *1 +3,5 est bien v�rifi� ; E appartient � la tangente T.
b. D�terminer l’autre point de la courbe en lequel la tangente passe par le point E.
Equation de la tangente T ' : y=ax+b.
E (1 ; 5) appartient � T ' : 5 = a+b ; b = 5-a.
a = f '(x) = -x+0,5 ; y = (-x+0,5) x+5-(-x+0,5) =-x2+0,5x +5+x -0,5 = -x2 +1,5 x +4,5.
Equation de la courbe C : y = -0,5x2 +0,5x +3.
-0,5x2 +0,5x +3 = -x2 +1,5 x +4,5.
0,5x2 -x-1,5 = 0. Discriminant : 12-4*0,5*(-1,5) =4.
Solutions : x = (1+2) / (2 *0,5) =3 et x = (1-2) / (2 *0,5) =-1.
Les coordonn�es de l’autre point de la courbe en lequel la tangente passe par le point E sont :
x = 3  et y = -0,5 *32+0,5 *3+3= 0..
Sujet 8.
Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on consid�re le point A de coordonn�es (3; 1) ainsi que la droite (d) d’�quation cart�sienne x −3y −4 = 0.
1. D�terminer les coordonn�es du point B d’abscisse 7 appartenant � la droite (d).
7 -3 y-4=0 ; y = 1.
2. Donner un vecteur normal � la droite (d).
Coordonn�es d'un vecteur normal de la droite (d) : (1 ; -3).
3. D�terminer une �quation de la droite (D) perpendiculaire � la droite (d) passant par le point A.
Coefficient directeur de cette droite : -3 ; y = -3x+b.
A (3 ; 1) appartient � cette droite : 1 =-3*3+b ; b =10 ; y = -3x +10.

4. Calculer les coordonn�es du projet� orthogonal H du point A sur la droite (d).
H est l'intersection des deux droites perpendiculaires.
yH = -3xH +10=xH /3-4 /3 ; 10 / 3 xH =34 /3 ; xH =3,4.
yH = -3,4 *3 +10 = -0,2.
 5. Calculer la distance AH et en donner une interpr�tation.
AH =[ (3,4-3)2 +(-0,2 -1)2]� =(0,16 +1,44)� =1,6� .
AH est la distance de A � la droite d.


  

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