Math�matiques, QCM, fonction, suite, probabilit�s, g�om�trie.
enseignement de sp�cialit� premi�re g�n�rale.


Sujets 9
Exercice 1. ( 5 points ).
QCM ( aucune justification n'est demand�e)
1. On choisit au hasard un individu parmi les passagers en transit dans un a�roport. On a repr�sent� ci-dessous un arbre de probabilit�s li� � certains �v�nements dont certains �l�ments ont �t� effac�s.
On consid�re les �v�nements suivants :
— A : � le passager parle anglais �
— B : � le passager ne parle pas anglais �
— E : � le passager est un membre de l’Union Europ�enne �

R�ponse B : p(E) = 0,42.
2. Le plan est muni d’un rep�re orthonorm�. Soit D la droite d’�quation 3x + y −2 = 0.
a. Le point de coordonn�es (6 ; −15) appartient � D. Faux.
3*6-15 -2= 1, diff�re de z�ro.
b. D est perpendiculaire � la droite d’�quation 12x +4y = 0. Faux.
y = -3x+2  coefficient directeur : -3.
y = -3 x coefficient directeur -3. ces droites sont parall�les.
c. Le vecteur de coordonn�es (1; 3) est un vecteur directeur de D. Faux.
Coordonn�es d'un vecteur directeur de D : ( 1 ; -3).
d. Le vecteur de coordonn�es (3; 1) est un vecteur directeur des droites perpendiculaires � D. Vrai.
3. On consid�re dans l’ensemble des r�els l’�quation trigonom�trique sin x = 1.
a. Cette �quation admet une unique solution dans l’ensemble des r�els. Faux ( x = p/2 + 2kp avec k nombre entier relatif )
b. Cette �quation admet une infinit� de solutions dans l’ensemble des r�els. Vrai.
c. 2π est une solution de cette �quation. Faux.
d. − 57π / 2 est une solution de cette �quation. Faux.
-57 p /2 = -58 p /2 +p/2=-29 p +p/2 diff�re de p/2 + 2kp.

4. Soit f la fonction d�finie sur l’ensemble des nombres r�els par f (x) =2x /(x2 +1) et C sa courbe repr�sentative dans un rep�re du plan.
a. La courbe C n’admet pas de tangente au point d’abscisse 0
b. La tangente � C au point d’abscisse 0 pour �quation y = 2x. Vrai.
c. La tangente � C au point d’abscisse 0 a pour coefficient directeur 1
d. La tangente � C au point d’abscisse 0 est parall�le � l’axe des abscisses.
Calcul de la d�riv�e en posant u = 2x et v = x2+1 ; u' = 2 ; v' = 2x.
(u'v-v'u) / v2 =[2(x2+1)-4x2] / (x2+1)2 =2(-2x2+1) / (x2+1)2 .
f '(0) = 2.
Equation de la tangente en x = 0 : y = 2x.


5. Soit la fonction f d�finie sur l’intervalle ]−2 ; +∞[ par : f (x) =(x −3) / (x +2)
f est d�rivable sur l’intervalle ]−2 ; +∞[ et pour tout r�el x de ]−2 ; +∞[, la d�riv�e est :
On pose u = x-3 et v = x+2 ; u' =v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =(x+2-(x-3)) /(x+2)2 = 5 /(x+2)2 . R�ponse c.
.
Sujet 10.
1.  Lors d’une m�me exp�rience al�atoire, deux �v�nements A et B v�rifient :
P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,6 ; P(A∩ non B) = 0,3.
Alors :
a. P(A∩B) = 0,1 vrai ; b. P(A∩B) = 0,24 ; c. P(A∪B) = 1 ; d. P(A∪B) = 0,7.
Formule des probabilit�s totales : P(A) =P(A ∩ B) + P(A ∩ non B) ;
0,4 = P(A ∩ B) + 0,3 ; P(A ∩ B) =0,1.

2. On consid�re la fonction f d�finie sur R par f (x) = x2 −3x +4. L’abscisse duminimum de f est :
a. -1,5 ; b. 2 /3 ; c. 1,5 vrai ; d. 1.
f '(x) = 2x-3 ; f '(x) = 0 si x = 1,5.
Le coefficient a de la fonction du second degr� �tant positif, il s'agit d'un minimum.

 3. Soit (un) une suite arithm�tique telle que u5 = 26 et u9 = 8. La raison de (un) vaut :
a. −18  ; b. 8 / 26 ; c. 4,5  ; d. −4,5 vrai.
u9-u5 = 4 r ; 8-26 = 4 r ; r =  -4,5.

4. On consid�re l’algorithme suivant, �crit en langage usuel :
Suite(N)
A←10
Pour k de 1 � N
A 2*A-4
Fin Pour
Renvoyer A
Pour la valeur N = 4 le r�sultat affich� sera :
a. 4 ; b. 100 vrai ;  c. 52 ; d. 196.
Pour k = 1, A =16 ; pour k = 2, A =28 ; pour k = 3, A =52 ; pour k = 4, A =100.
5. On consid�re un rectangle ABCD tel que AB = 3 et AD = 2.
Alors le produit scalaire suivant vaut :
a. 0 ; b. 5 vrai ; c. 6 ; d. −6.

Exercice 2. ( 5 points)  Sujet 9.

� la naissance de Lisa, sa grand-m�re a plac� la somme de 5 000 euros sur un compte et cet argent est rest� bloqu� pendant 18 ans.
Lisa retrouve dans les papiers de sa grand-m�re l’offre de la banque :
Offre :
Int�r�ts compos�s au taux annuel constant de 3%.
� la fin de chaque ann�e le capital produit 3% d’int�r�ts qui sont int�gr�s au capital.
On consid�re que l’�volution du capital acquis, en euro, peut �tre mod�lis�e par une suite (un) dans laquelle, pour tout entier naturel n, un est le capital acquis, en euro, n ann�es apr�s la
naissance de Lisa.
On a ainsi u0 = 5000.
1. Montrer que u1 = 5150 et u2 = 5304,5.
u1 = 5000 x1,03 =5150 ; u2 = 5150 x1,03 =5304,5.
2. a. Pour tout entier naturel n, exprimer un+1 en fonction de un.
En d�duire la nature de la suite (un) en pr�cisant sa raison et son premier terme.
Suite g�om�trique de raison 1,03 et de premier terme u0 = 5000.
un+1 = 1,03un.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
un = 5000 x 1,03n.
3. Calculer le capital acquis par Lisa � l’�ge de 18 ans. Arrondir au centi�me.
u18 = 5000 x 1,0318 =8512,17 €.
4. Si Lisa n’utilise pas le capital d�s ses 18 ans, quel �ge aura-t-elle quand celui- ci d�passera 10 000 euros ?
5000 x 1,03n > 10 000 ; 1,03n > 2 ; n > ln(2) / ln(1,03) ; n >23,44 ; n > 24. (24 ans).

Sujet 10.

Un industriel souhaite fabriquer une bo�te sans couvercle � partir d’une plaque de m�tal de 18 cm de largeur et de 24 cm de longueur. Pour cela, il enl�ve des carr�s dont la longueur du c�t� mesure x cm aux quatre coins de la pi�ce d em�tal et rel�ve ensuite verticalement pour fermer les c�t�s.

Le volume de la bo�te ainsi obtenue est une fonction d�finie sur l’intervalle [0; 9] not�e V (x).
1. Justifier que pour tout r�el x appartenant � [0; 9] : V (x) = 4x3 −84x2 +432x.
Largeur : 18-2x ; longueur 24-2x ; hauteur x.
V = (18-2x) (24-2x) x = (432 -36x -48+4x2) x =(432 -84 x +4x2) x =4x3 −84x2 +432x.
2. On note V ′ la fonction d�riv�e de V sur [0; 9]. Donner l’expression de V ′(x) en fonction de x.
V'(x) =12x2 -168x+432 = 12 (x2-14x+36).
Solutions de x2-14x+36=0 ; discriminant : 142 -36*4= 52.
Valeur retenue :(14 -2 *13�) / 2 =7 -13�~3,4.
V'(x) >0 si 0 < x < 3,4 et V(x) croissante ; V'(x) < 0 si 3,4 < x < 9 et V(x) d�croissante.
3. Dresser alors le tableau de variations de V en d�taillant la d�marche.


4. Pour quelle(s) valeur(s) de x la contenance de la bo�te est-elle maximale ?
V est maxi pour x ~3,4.
5. L’industriel peut-il construire ainsi une bo�te dont la contenance est sup�rieure ou �gale � 650 cm3 ? Justifier.
650 < 655, donc l'industriel peut construire une bo�te de contenance sup�rieure � 650 cm3.

Exercice 3. ( 5 points).  Sujet 9.

Le rectangle OABC ci-dessous repr�sente une place touristique vue de dessus. Le plan est muni d’un rep�re orthonorm�.
Afin d’�clairer le plus grand nombre demonuments, on place au point O, un projecteur lumineux qui permet d’�clairer la partie du plan d�limit�e par les segments de droite [OK] et [OL] tels que
K est le milieu de [AB] et
1. D�terminer par lecture graphique les coordonn�es des points A, B, C, K et L.

2. Un visiteur affirme : �Moins de 70% de la surface de la place est �clair�e �. Cette affirmation est-elle exacte?
Aire du trap�ze OCBK : (24 +12) *35 /2 =630 m2.
Aire du triangle OCL : 24 *7 /2 =84 m2.
Aire �clair�e : 630-84 =546 m2.
Aire du rectangle OABC : 24 x35 = 840 m2.
546 / 840 =0,65 (65 %). L'affirmation est exacte.
3. a. Donner les coordonn�es des vecteurs suivants :
b. Montrer que leur produit scalaire est �gal � 533.
c. En d�duire la mesure, arrondie au degr�, de l’angle  form� par ces 2 vecteurs.

Sujet 10.

Une angine peut �tre provoqu�e soit par une bact�rie (angine bact�rienne) soit par un virus (angine virale). On admet qu’un malade ne peut pas �tre � la fois porteur du virus et de la bact�rie.
L’angine est bact�rienne dans 20% des cas.
Pour d�terminer si une angine est bact�rienne, on dispose d’un test. Le r�sultat du test peut �tre positif ou n�gatif. Le test est con�u pour �tre positif lorsque l’angine est bact�rienne mais il pr�sente
des risques d’erreur :
• si l’angine est bact�rienne, le test est n�gatif dans 30% des cas
• si l’angine est virale, le test est positif dans 10% des cas
On choisit au hasard un malade atteint d’angine. On note :
• B l’�v�nement : � l’angine est bact�rienne � ;
• T l’�v�nement : � le test effectu� sur le malade est positif �.
Si besoin, les r�sultats seront arrondis � 10−3 pr�s.
1. Repr�senter la situation par un arbre pond�r�.


2. Quelle est la probabilit� que l’angine soit bact�rienne et que le test soit positif ?
P(B n T) = 0,2 x0,7 = 0,14.
3. Montrer que la probabilit� que le test soit positif est 0,22.
Formule des probabilit�s totale : P(T) =P(B n T) +P(non B n T)=0,14 +0,8 x0,1 = 0,14 +0,08 = 0,22.
4. Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilit� pour que son angine soit bact�rienne?
PT(B) = P (B n T) / P(T) =0,14 / 0,22 ~0,636.

Exercice4. ( 5 points) Sujet 9.

On consid�re la fonction f d�finie et d�rivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ par [(x) =x3 -x2 -x-1.
1. On note f ′ la fonction d�riv�e de f .
a. Montrer que, pour tout r�el x, f ′(x) = 3(x+1/3)(x-1).
f '(x) = 3x2-2x-1.
3(x+1/3)(x-1) =(3x+1)(x-1) =3x2-3x+x-1 =3x2-2x-1= f '(x)
b. En d�duire le tableau de variation de f sur [0 ; +∞[.

c. D�terminer l’abscisse du point de la courbe repr�sentative de f pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut 7.
f '(x) = 7 ; 3x2-2x-1 = 7 ; 3x2-2x-8 =0.
Discriminant : 22 +4*8*3=100;solution retenue : x = (2 +10)/6 = 2.
2. On note x0 l’unique solution de l’�quation f (x) = 0. On admet que x0 ∈ [1 ; 2].
On consid�re la fonction suivante d�finie en langage Python.
 def zero_de_f(n) :
 a = 1
 b = 2
 for k in range(n) :
 x = (a + b)/2
 if x∗∗3 - x∗∗2- x - 1 < 0 :
 a = x
 else :
 b = x
 return a, b
a. On applique cette fonction pour n = 3. Reproduire sur la copie et compl�ter le tableau suivant, jusqu’� l’arr�t de l’algorithme.
it�ration
 x = (a+b) / 2
 f(x) < 0 ?
 a
 b
 amplitude de [a ; b]
k=0
 1,5
 oui
 1,5
 2
 0,5
k=1
 1,75
 oui
 1,75
 2
 0,25
k=2
 1,875
 non
 1,75
 2
 0,25

b. En d�duire un encadrement de x0, d’amplitude 0,125, par deux nombres d�cimaux.
1,75 < x0 < 1,875
Sujet 10.
Un service de vid�os � la demande r�fl�chit au lancement d’une nouvelle s�rie mise en ligne chaque semaine et qui aurait comme sujet le quotidien de jeunes gens favoris�s.
Le nombre de visionnages estim� la premi�re semaine est de 120 000. Ce nombre augmenterait ensuite de 2% chaque semaine.
Les dirigeants souhaiteraient obtenir au moins 400 000 visionnages par semaine.
On mod�lise cette situation par une suite (un) o� un repr�sente le nombre de visionnages n semaines apr�s le d�but de la diffusion. On a donc u0 = 120000.
1. Calculer le nombre u1 de visionnages une semaine apr�s le d�but de la diffusion.
u1 =120 000 x1,02 =122 400.
2. Justifier que pour tout entier naturel n : un = 120000�1,02n .
La suite est g�om�trique de premier terme u0 = 120 000 et de raison q = 1,02.
3. � partir de combien de semaines le nombre de visionnages hebdomadaire sera-t-il sup�rieur � 150 000 ?
120000�1,02n > 150 000 ; 1,02n > 15 /12 ; n ln(1,02) > ln(15 /12) ; n > 11,27 soit n > 12.
Au bout de 12 semaines le nombre de visionnages d�passe 150 000.
4. Voici un algorithme �crit en langage Python :
def seuil():
u=120000
n=0
while u<400000:
n=n+1
u=1.02*u
return n
D�terminer la valeur affich�e par cet algorithme et interpr�ter le r�sultat pr�c�dent dans le contexte de l’exercice.
L'algorithme affiche au bout de combien de semaines le nombre de visionnage d�passe 400 000.
120000�1,02n > 400 000 ; 1,02n > 40 /12 ; n ln(1,02) > ln(40 /12) ; n > 60,8 soit n > 6112.
Au bout de 61 semaines le nombre de visionnages d�passe 400 000.
5. On pose pour tout entier naturel n : Sn = u0 +. . .+un. Montrer quel’on a :
Sn = 6 000 000�(1,02n+1  −1) .
Somme de n termes d'une suite g�om�trique de premier terme 120 000 et de raison q = 1,02.
S = 120 000 (1-1,02n+1) / (1-1,02)=120 000 (1-1,02n+1) / (-0,02 )=6 000 000�(1,02n+1  −1) .
En d�duire le nombre total de visionnages au bout de 52 semaines (arrondir � l’unit�).
S52 = 6 000 000�(1,0253  −1)~1,114 107.


  

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